线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

线性代数超强总结
⎧A 不可逆⎧A 可逆
⎪
⎪
r (A )<n r (A )=n
⎪⎪⎪
⎪Ax =0只有零解A =ο⇔⎨Ax =ο有非零解
⎪
⎪0是A 的特征值⎪A 的特征值全不为零⎪⎪⎪⎩A 的列（行）向量线性相关
A ≠ο⇔⎨A 的列（行）向量线性无关
⎪A T A 是正定矩阵⎪
⎪A 与同阶单位阵等价⎪
⎪A =p 1p 2⋅⋅⋅p s ,p i 是初等阵n ⎪⎩∀β∈,Ax =β总有唯一解
向量组等价⎫
⎪
具有相似矩阵⎬−−−→反身性、对称性、传递性
矩阵合同⎪⎭
√关于e 1
,e 2
,⋅⋅⋅,e n
：
①称为
n
的标准基，
n
中的自然基，单位坐标向量；
②e 1
,e 2
,⋅⋅⋅,e n
线性无关；③e 1
,e 2
,⋅⋅⋅,e n
=1；
④tr(E )=n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用e 1
,e 2
,⋅⋅⋅,e n
线性表示.
1
√行列式的计算：
A *
=
A ο=
A ο
=A B
①若A 与B 都是方阵（不必同阶）,则
ο
B
*
B
ο
B
*A
B ο
=(-1)mn A B ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
*
a 1n
ο
a
1n
③关于副对角线：
a
2n -1
=
a
2n -1
=(-1)n (n -1)2a 1n a
2n
a
n 1
a
n 1
ο
a
n 1
ο
√逆矩阵的求法:
①A -1=
A *
A
②(A E )−−−−
初等行变换→(E A -1)⎡a b ⎤-11⎡d -⎡A B ⎤T ③⎢⎡A T C T ⎤
⎣c d ⎥⎦=b ⎤
ad -bc ⎢⎣-c a ⎥⎦⎢⎣C D ⎥⎦=⎢⎣B
T D T ⎥⎦
⎡⎤-1⎡1
⎤
⎢a 1⎥
⎢a 1
a -11⎤⎡1
⎥⎡⎥
⎢④⎢a
2
a 2
⎥⎢⎢⎥⎥⎢a
2
⎥=⎢
⎢⎥
=⎢
⎢⎥
⎢⎣
a ⎥
⎢⎥
⎢n
⎦⎢⎣1⎥⎢a n ⎥⎢⎦
⎣a n
⎦⎢⎣1a 1
2
1
a n
⎤⎥⎥1a ⎥2
⎥⎥
⎦
-1⎢1-1
⎥1
-1
1
-1
n
⑤⎢A
2
A-1
⎥
A
⎥⎥
2
⎢⎥
⎢
⎥
⎢
2
⎥
⎢
⎢⎥
=⎢
⎢⎥
⎢
⎥
=⎢
-1
⎥
⎣A ⎥⎢⎥
⎢A
2
⎥
n ⎦⎢⎣A-1
⎥
⎢
⎢
n
⎦⎥⎣A
⎥
n
⎦
⎢
⎢⎣A-1
1
⎥⎦
√方阵的幂的性质：A m A n=A m+n(A m)n=(A)mn
√设f(x)=a
m x m+a
m-1
x m-1++a
1
x+a
，对n阶矩阵A规定：f(A)=a m m-1
m
A+a
m-1
A++a
1
A+a
E为A的一个多项式.
√设A
m⨯n ,B
n⨯s
,A的列向量为α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
,B的列向量为β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
，AB
则：r
i =Aβ
i
,i=1,2,,s,即A(β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
)=(Aβ
1
,Aβ
2
,,Aβ
s
)⎫用A,B中简
r,r 若β=(b Tα
⎪1
,b
2
,,b
n
),则Aβ=b
1
α
1
+b
22
+b
n
α
n
⎪单的一个提
1,r
2
,
s
,
即：AB的第i个列向量r
⎬
i
是A的列向量的线性组合,组合系数就是β
i
的各分量；高运算速度
⎪
AB的第i个行向量r
i
是B的行向量的线性组合,组合系数就是α
i
的各分量.⎪⎭
√用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
⎡⎢A
11
ο⎤ο⎤
与分块对角阵相乘类似,即：A=⎢A
⎥
⎡B
11
22
B
⎥
22
⎢⎥
⎢
⎥
,B=⎢⎥
⎢⎥
⎣οA ⎥
⎢
⎢
kk ⎦⎣οB
⎥
kk
⎦
3
列量为
的向
1111
⎢AB =⎢
⎢⎢⎣ο
A 22
B
22
⎥⎥⎥⎥A kk B kk
⎦√矩阵方程的解法：设法化成(I)AX =B
或 (II)XA =B
当A ≠0时,
（当B 为一列时,初等行变换(I)的解法：构造(A B )−−−−
→(E X )即为克莱姆法则）
(II)的解法：将等式两边转置化为A T X T =B T ，
T 用(I)的方法求出X ，再转置得X
√Ax =ο和Bx =ο同解（A ,B 列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；③ 它们有相同的内在线性关系.
√判断η1
,η2
,
,ηs
是Ax =0的基础解系的条件：
,ηs
线性无关；
,ηs
是Ax =0的解；
①η1
,η2
,
②η1
,η2
,
③s =n -r (A )=每个解向量中自由变量的个数.
4
①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
⑤两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
⑥向量组α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
中任一向量α
i
(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦向量组α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示.
向量组α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性无关⇔向量组中每一个向量α
i
都不能由其余n-1个向量线性表示.
⑧m维列向量组α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性相关⇔r(A)<n；
m维列向量组α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性无关⇔r(A)=n.
⑨r(A)=0⇔A=ο.
⑩若α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性无关，而α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
,β线性相关,则β可由α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性表示,且表示法惟一.
⑪矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
⑫矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
5
向量组等价α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
和β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
n
可以相互线性表示.记作：
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
=
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
n
矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：A=B
⑬矩阵A与B等价⇔r(A)=r(B)≠>A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵A与B作为向量组等价⇔r(α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
)=r(β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
n
)=r(α
1
,α
2
,⋅⋅⋅α
n
,β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
n
)⇒
矩阵A与B等价.
⑭向量组β
1,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
可由向量组α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性表示⇔r(α
1
,α
2
,⋅⋅⋅α
n
,β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
)=r(α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
)⇒r(β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
)≤r(α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
).
⑮向量组β
1,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
可由向量组α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性表示,且s>n，则β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
线性相关.
向量组β
1,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
线性无关,且可由α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性表示,则s≤n.
⑯向量组β
1,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
可由向量组α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性表示,且r(β
1
,β
2
,⋅⋅⋅,β
s
)=r(α
1
,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
),则两向量组等价；
⑰任一向量组和它的极大无关组等价.
⑱向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.
⑲若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
⑳若A是m⨯n矩阵,则r(A)≤min{m,n},若r(A)=m，A的行向量线性无关；
若r(A)=n，A的列向量线性无关,即：
α
1,α
2
,⋅⋅⋅,α
n
线性无关.
6
线性方程组的矩阵式Ax =β向量式
x 1α1
+x 2
α2
+
+x n
αn
=β
⎡a
11a 12
⎢a a 22A =⎢21
⎢⎢
⎣a m 1a m 2a 1n ⎤⎡α1j ⎤
⎡x 1⎤⎡b 1⎤⎢α⎥
⎢x ⎥⎢b ⎥a 2n ⎥⎥,x =⎢2⎥,β=⎢2⎥α=⎢2j ⎥,j =1,2,j ⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥a mn ⎦x b ⎢⎣n ⎦⎣m
⎦⎣αmj ⎥⎦
,n
7
⎧⇒
当A为方阵时
⇔Ax=β有无穷多解Ax=ο有非零解−−−−−→A=0
⎪
<≠
⎪<n
⎪⇒α
1
,α
2
,,α
n
线性相关
⎪
⎪⇒
当A为方阵时
⎪⇔Ax=β有唯一组解Ax=ο只有零解−−−−−→A≠0
⎪
β可由α
1
,α
2
,,α
n
线性表示⇔Ax=β有解⇔r(A)=r(Aβ)⎨<≠
⎪
⎪=n
⎪⇒α
1
,α
2
,,α
n
线性无关
⎪
⎪
当A为方阵时
⎪−−−−−→克莱姆法则
⎪⎩
⎧⇔r(A)≠r(Aβ)
⎪
β不可由α
1
,α
2
,,α
n
线性表示⇔Ax=β无解⎨⇔r(A)<r(Aβ)
⎪⇔r(A)+1=r(Aβ)
⎩
矩阵转置的性质：(A T)T=A
矩阵可逆的性质：(A-1)-1=A
伴随矩阵的性质：(A*)*=A
⎧n若r(A)=n
⎪
r(A*)=⎨1若r(A)=n-1
⎪0若r(A)<n-1
⎩
n-2
(AB)T=B T A T(kA)T=kA T A T=A
A-1=A
A*=A n-1
-1
(A+B)T=A T+B T
(A-1)T=(A T)-1(A-1)k=(A k)-1=A-k
A
A
(AB)-1=B-1A-1(kA)-1=k-1A-1
A(AB)*=B*A*(kA)*=k n-1A*
(A-1)*=(A*)-1=
(A T)*=(A*)T
(A*)k=(A k)*AA*=A*A=A E
AB=A B kA=k n A A k=A k
8
⎧(1)η1,η2是Ax =0的解,η1+η2
也是它的解⎫
⎪⎪
(2)η是Ax =0的解,对任意k ,k η也是它的解⎪
⎪齐次方程组
⎪(3)η,η,,η是Ax =0的解,对任意k 个常数⎬12k
⎪⎪⎪⎪λ1
,λ2
,,λk
,λη11
+λ2η2
+λk ηk
也是它的解⎭
⎪⎪⎪
线性方程组解的性质：⎨(4)
γ是Ax =β的解,η是其导出组Ax =0的解,γ+η是Ax =β的解⎪(5)η,η是Ax =β的两个解,η-η是其导出组Ax =0的解1212
⎪⎪(6)η2是Ax =β的解,则η1也是它的解⇔η1-η2是其导出组Ax =0的解⎪⎪(7)η1,η2,,ηk
是Ax =β的解,则⎪λη+λη+λη也是Ax =β的解⇔λ+λ+λ=11122k k 12k ⎪⎪11
+λ2η2
+λk ηk
是Ax =0的解⇔λ1
+λ2
+λk
=0
⎩
λη√设A 为m ⨯n 矩阵,若r (A )=m ,则r (A )=r (A β),从而Ax =β一定有解.
当m <n 时,一定不是唯一解.⇒m 是r (A )和r (A β)的上限.
√矩阵的秩的性质：
①r (A )=r (A T )=r (A T A )②r (A ±B )≤r (A )+r (B )③r (AB )≤min {r (A ),r (B )}
方程个数未知数的个数
<,则该向量组线性相关.
向量维数向量个数⎧r (A )若k ≠0
④r (kA )=⎨
⎩0
若k =0⎡A ο
⎤
标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
AB=0⇒B=ο
AB=AC⇒B=C α与β正交(α,β)=0.
α是单位向量α=(α,α)=1.
√内积的性质：① 正定性：(α,α)≥0,且(α,α)=0⇔α=ο
② 对称性：(α,β)=(β,α)
③ 双线性：(α,β
1
+β
2
)=(α,β
1
)+(α,β
2
)
(α
1
+α
2
,β)=(α
1
,β)+(α
2
,β)
(cα,β)=(cα,β)=(α,cβ)
施密特α
1
,α
2
,α
3
线性无关,
⎧β
1
=α
1
⎪
⎪
⎪(α,β)
正交化⎨β
2
=α
2
-21β
1
(ββ)
11
⎪
⎪(α
3
,β
1
)(α
3
,β
2
)
β=α-β-β
2
⎪
331
(β
1
β
1
)(β
2
β
2
)
⎩
单位化：η
1
=
正交矩阵AA T=E.
β
β
1
β
η
2
=2η
3
=3
β
1
β
2
β
3
A 的特征多项式
λE -A =f (λ).A 的特征方程λE -A =0.Ax =λx →Ax 与x 线性相关√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√若A =0,则λ=0为A 的特征值,且Ax =0的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.√A =λ1λ2λn ∑λi
=tr A
1n ⎡a 1⎤⎢a ⎥
√若r (A )=1,则A 一定可分解为A =⎢2⎥[b 1
,b 2,⎢⎥⎢⎥⎣a n ⎦
的特征值为：λ1=tr A =a 1b 1+a 2b 2+√若A 的全部特征值λ1,λ2,,b n ]、A 2=(a 1b 1+a 2b 2++a n b n )A ,从而A +a n b n ,λ2=λ3==λn
=0.,λn
，f (x )是多项式,则:,f (λn
)；①f (A )的全部特征值为f (λ1),f (λ2),11②当A 可逆时,A -1的全部特征值为λ,λ2,1,
λ1n ,,λn
.A A *的全部特征值为λ1,λ2,k λ⎧kA ⎪a λ+b ⎪aA +bE 1-1⎪λ⎪A 分别有特征值.√λ是A 的特征值,则:⎨22
λ⎪A ⎪A m λm ⎪*A A ⎪⎩
A
A
的矩阵，P -1AP 为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.
√A 可对角化的充要条件：n -r (λi E -A )=k i k i 为λi
的重数.√若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.
A 与
B 正交相似B =P -1AP （P 为正交矩阵）
√相似矩阵的性质：①A -1
②A T
③A k B -1若A ,B 均可逆B T B k （k 为整数）
④λE -A =λE -B ,从而A ,B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
即:x 是A 关于λ0的特征向量,P -1x 是B 关于λ0
的特征向量.
⑤A =B
从而A ,B 同时可逆或不可逆
⑥r (A )=r (B )
⑦tr (A )=tr (B )
√数量矩阵只与自己相似.
√对称矩阵的性质：①特征值全是实数,特征向量是实向量；
②与对角矩阵合同；
③
不同特征值的特征向量必定正交；
A (α1,α2,,αn )=(A α1,A α2,,A αn )=(λ1α1,λ2α2,,λn αn )=[α1,α2,P ⎡λ1⎢λ2⎢,αn ]⎢⎢⎣
Λ⎤⎥⎥.⎥⎥λn
⎦√若A
B ,
C ⎡A ο⎤
D ,则：⎢⎥⎣οC ⎦⎡B ο⎤⎢οD ⎥.⎣⎦√若A
B ,则f (A )二次型f (x 1,x 2,f (B ),f (A )=f (B ).,x n )T ,x n )=X T AX A 为对称矩阵
X =(x 1,x 2,A 与B 合同B =C T AC .记作：A B （A ,B 为对称阵,C 为可逆阵）
√两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.
√两个矩阵合同的充分条件是：A B
√两个矩阵合同的必要条件是：r (A )=r (B )
正交变换
n √f (x 1,x 2,,x n )=X AX 经过合同变换T X =CY 化为f (x 1,x 2,,x n )=∑d i y i
2标准型.1
可逆线性变换√二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.
√当标准型中的系数d i 为1，-1或0时,则为规范形 .r (A )正惯性指数+
负惯性指数
√用正交变换法化二次型为标准形:
①求出A的特征值、特征向量；
②对n个特征向量单位化、正交化；
③构造C（正交矩阵）,C-1AC=Λ；
④作变换X=CY,新的二次型为f(x
1,x
2
,,x
n
)=∑d
i
y
i
2,Λ的主对角上的元素d
i
即为A的n
1
特征值.
正定二次型x
1,x
2
,,x
n
不全为零，f(x
1
,x
2
,,x
n
)>0.
正定矩阵正定二次型对应的矩阵.
√合同变换不改变二次型的正定性.
√成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
①正惯性指数为n；
②A的特征值全大于0；
③A的所有顺序主子式全大于0；
④A合同于E，即存在可逆矩阵Q使Q T AQ=E；
⑤存在可逆矩阵P，使A=P T P（从而A>0）；
⎡⎢λ
1
⎤
⎥
λ。