2017高考十年高考数学(理科)分项版 专题12 概率和统计(北京专版)(解析版) 含解析

1. 【2012高考北京理第2题】设不等式组⎩
⎨⎧≤≤≤≤20,
20y x ,表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点,则此点到坐
标原点的距离大于2的概率是（ ）
（A ）4
π （B ）22
π- (C)6
π （D ）44
π-
【答案】D
考点:
几何概型概率。

2。

【2012高考北京理第8题】某棵果树前n 前的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高m 值为( ）
A.5
B.7
C.9 D 。

11 【答案】C 【解析】
试题分析:由图可知6，7,8，9这几年增长最快,超过平均值，所以应
该加入，因此选C. 考点：平均数.
3。

【2010高考北京理第11题】从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米）数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝__________.若要从身高在［120，130），[130,140)，［140,150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140，150］内的学生中选取的人数应为__________．
【答案】0。

030 3[］
考点：频率分布直方图.
4。

【2005高考北京理第17题】(本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2
1，乙每
次击中目标的概率为.3
2
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率;
(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率。

【答案】
解：（I)
03313
(();
28P C ξ=0)==
13
313(1();
28P C ξ=)==
23313
(2();
28P C ξ=)==
33
313(3();
28P C ξ=)==
ξ的概率分布如下表：
1331
0. 1. 2. 3. 1.5(8888
E ξ=+++=或13. 1.5.)2E ξ==
5. 【2006高考北京理第18题】（本小题共13分）
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案。

方案一：考试三门课程,至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响。

（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
【答案】解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A,B,C ，相应的
ξ
1
2
3
P
18
38
38
18
概率为a,b,c
（1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为AB __
C ＋A __
B C
＋__
A BC ＋ABC,设其概率为
P 1,则P 1＝ab(1－c ）＋a （1－b ）c ＋（1－a ）bc ＋abc ＝ab ＋ac ＋bc －2abc
设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P 2，则P 2
＝13ab ＋13ac ＋1
3
bc
6。

【2007高考北京理第18题】（本小题共13分）
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
(I)求合唱团学生参加活动的人均次数;
（II ）从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率．
1
2
3
（III ）从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．
7。

【2008高考北京理第17题】(本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数,求ξ的分布列．
【答案】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A
E ,那么
3
324541
()40
A A P E C A ==
,
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
1
40
． （Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件
E
，那么
4424541
()10
A P E C A ==，
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10
P E P E =-=．
（Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ="是指有两人同时参加A 岗位服务，
则23
53
34541(2)4
C A P C A ξ===．
所以3(1)1(2)4
P P ξξ==-==，ξ的分布列是
8。

【2009高考北京理第17题】（本小题共13分)
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min 。

（Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.
∴即ξ的分布列是
ξ02468
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
81812781813
9. 【2010高考北京理第17题】（13分) 某同学参加3门课程的考试．假
，第二、第三门课程设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4
5
取得优秀成绩的概率分别为p、q（p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为[］
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（2)求p，q的值；
(3)求数学期望Eξ。

【答案】
10。

【2011高考北京理第17题】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认, 在图中以X 表示.
（1)如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望。

（注：方差
2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+
+-,其中x 为1x ,2x ，…,n x 的平均数）
同理
可得;4
1)18(==Y P ;4
1)19(==Y P .8
1)21(;4
1)20(====Y P Y P
所以随机变量Y 的分布列为：
17(17)18(18)19(19)20(20)EY P Y P Y P Y P Y =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=21(21)P Y +⨯=
=1111117181920218
4
4
4
8
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19
11。

【2012高考北京理第17题】（本小题共13分）
近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾
,数据统计如下（单位：吨）：
（Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率；
(Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾"箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中a ＞0，c b a ++=600.当数据c b a ,,的方差2
s 最
大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明),并求此时2
s 的值。

（注:])()()[(1
222
212
x x x x x x n
s
n -++-+-= ，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数）
12。

【2013高考北京理第16题】（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望；
(3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明)
【答案】解：设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13）．
，且A i∩A j＝ （i≠j)．
根据题意，P（A i)＝1
13
所以X的分布列为:。

故X的期望EX＝0×5
13131313
（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
13。

【2014高考北京理第16题】（本小题满分13分）
李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独
立）:
（1）从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的
概率；［］ (2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,
求李明的
投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；
(3)记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小（只需写出结论）
【答案】（1）0。

5;（2）25
13；（3）x EX 。

【解析】
考点：概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率。

14。

【2015高考北京，理16】A,B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下:
A组：10，11，12,13，14，15，16
B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ）如果25
a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时,A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
【答案】（1）3
7，(2)10
49
，(3）11
a 或18
【解析】
考点：1、古典概型；2、样本的方差
15【2016高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。

甲、乙、丙是三个空盒。

每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(）A。

乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B。

乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中
红球一样多
【答案】C
【解析】
考点:概率统计分析。

【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数,再求概率,此题即是如此。

列举的关键是要有序(有规律），从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用。

16.【2016高考北京理数】（本小题13分）
A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时）；
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人,A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立，
求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7，9，8。

25（单位：小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
1
μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0
μ和1μ的大小，（结论不要求证明)
【答案】（1）40;（2)3
8;（3）
10
μμ
<.
【解析】
试题分析：（Ⅰ)根据图表判断C班人数，由分层抽样的抽样比计算C班的学生人数;
（Ⅱ）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由独立事件概率公式求概率。

(Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可.
考
点:1。

分层抽样；2。

独立事件的概率;3。

平均数
【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法,将所求
事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公
式)(
A
=，即运用逆向思维的方法（正难则反）求解，应用此公P-
(A
P
1
)
式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏.特别是对于含“至多"“至少"等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便.。