2020-2021学年上海市长宁、金山、青浦区第二次高考模拟高三数学试卷

上海市第二学期高三教学质量检测数学试卷
一、 填空题：
1、已知集合{}|1,A x x x R =>-∈，集合{}|2,B x x x R =<∈，则A B =I .
2、已知复数z 满足()2332i z i -=+（i 为虚数单位），则z = .
3、函数()sin 2cos 2cos sin x
x f x x x 的最小正周期为 .
4、已知双曲线()
()22
22103x y a a a -=>+的一条渐近线方程为2y x =，则a = .
5、若圆柱的侧面展开图是边长为4cm 的正方形，则圆柱的体积为 . cm 3
（精确到0.1cm 3） 6、已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 .
7、直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）的交点个数是 .
8、已知函数()22,0log ,01
x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩的反函数是()1f x -，则
112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 9、设多项式()()()()2311110,n x x x x x n N *
++++++++≠∈L 的展开式中
A x 项的系数为n T ，则2
lim n n T n →∞= . 10、生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率为0.9603，则p = .
11、已知函数()f x x x a =-，若对任意的[]1212,2,3,x x x x ∈≠，恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
，则实数a 的取值范围为 . 12、对于给定的实数0k >，函数()k f x x
=的图象上总存在点C,使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围为 .
二、选择题：
13．设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
14．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 （ ）
A. ①②③④
B. ①③
C. ①④
D. ②④
15．如图，AB 为圆O 的直径且AB=4，C 为圆上不同于A 、B 的任意一
点，若P 为半径OC 上的动点，则()
PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值为（ ） A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D. ﹣1
16．设1210,,x x x K 为1,2,,10L 的一个排列，则满足对于任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同的排列的个数为 （ ）
A. 512
B. 256
C. 255
D. 64
三、解答题：
17、（本题满分14分）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BC CD 线段的中点.
（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；
（2）求直线EF 与平面11ABB A 所成角的大小.
18.（本题满分14分）
某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为3
π（即3ACB π∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记.ABC θ∠=
（1）若4π
θ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大，问θ当何值时，该活动室面积最大？并求最大面积.
19.（本题满分14分）
已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(),0T t 0t >且与抛物线交于两点,A B ，O 为坐标原点.
（1）求抛物线的方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r 为值与直线倾斜角的大小无关；
（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.
20.（本题满分16分）
对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足:①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.
（1）求证：函数()2
2g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”； （2）若函数()()2112,0f x a R a a a x
=+
-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围； （3）对（2）中函数()f x ，若不等式()2
2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的
取值范围.
21.（本题满分18分）
已知数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意n N *∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；
（2）若11,2
a k ==-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使得数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存
在，请说明理由.。