最新高三理科数学一轮复习试题精选21椭圆(含解析)

高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆
一、选择题
1 ．（北京市海淀区 高三上学期期末考试数学理试
题 ）椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>地 左右焦点分别为1
2
,F F ，
若椭圆C 上恰好有6个不同地 点P ，使得12
F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 地 离心率地 取值范围是 （
） A ．12
(,)33
B ．1(,1)2
C ．
2(,1)3
D ．
111(,)(,1)322
U
【答案】D
解：当点P 位于椭圆地 两个短轴端点时，12
F F P ∆为
等腰三角形，此时有2个。

，若点不在
短轴地 端点时，要使12
F F P ∆为等腰三角形，则有
1122PF F F c
==或
2122PF F F c
==。

此时
222PF a c
=-。

所以有
1122
PF F F PF +>，即2222c c a c +>-，所以3c a >，即1
3
c a >，又当点P 不在短轴上，所以1
1
PF BF ≠，即2c a ≠，所以1
2
c a ≠。

所以椭圆地 离心率满足113e <<且12
e ≠，即111
(,)(,1)322
U ，
所以选 D ． 二、填空题
2 ．（北京市西城区 高三上学期期末考试数学理科
试题）已知椭圆
22
142
x y +=地 两个焦点是1
F ，2
F ，
点P 在该椭圆上．若1
2
||||2PF PF -=，则△12
PF F 地 面积
是______．
解：由椭圆地 方程可知
2,a c ==，且1
2
||||24PF PF a +==，
所以解得
12||3,||1
PF PF ==，又
12||2F F c ==，所以有
2
221212
||||PF PF F F =+，即三角形21
PF F 为直角三角形，所以
△
12
PF F 地 面积12211
122
S
F F PF ∆
=
=⨯=
3 ．（北京东城区普通校 高三12月联考理科数学）
椭圆
22
192
x y +=地 焦点为1
2
,F F ，点P 在椭圆上，若
1||4
PF =，1
2F PF ∠地 小大为_____________.
【答案】120o
【解析】椭圆
22
192
x y +=地 2
9,3
a
a ==，
22222,7
b c a b ==-=，所以c =.因为14
PF =，所以1226
PF PF a +==，
所
以
2642
PF =-=.
所
以
222
2221112
1212
421cos 22422
PF PF F F F PF PF PF +-+-=
==-
⨯⨯，所以1
2
120F PF
∠=o
三、解答题
4 ．（北京东城区普通校 高三12月联考理科数学）
(本小题满分14分) 已知椭圆
:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>地
地 一个端点与两个焦
点构成地 三角形地
面积为3. (Ⅰ)求椭圆C 地 方程;
(Ⅱ)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点地 横坐标为12-，求斜率k 地 值;②若点
7(,0)
3
M -，求证:
MA MB
⋅u u u r u u u r 为定值.
【答案】(本题满分14分)
解:(Ⅰ)因为
22
221(0)x y a b a b
+=>>满足2
22
a
b c =+，
3
c
a =，
1223
b c ⨯⨯=解得
2
2
5
5,3
a b ==
，则椭圆方程为
22
155
3
x y +=
(Ⅱ)(1)将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得
2222(13)6350
k x k x k +++-=
4222364(31)(35)48200
k k k k ∆=-+-=+>
2
122
631
k x x k +=-+
因为AB 中点地 横坐标为
12
-，所以
2261312
k k -=-+
，解得
k =
(2)由(1)知2
122
631
k x x k +=-+，
2122
3531
k x x k -=+
所以
11221212
7777
(,)(,)()()3333
MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u r
2121277
()()(1)(1)
33
x x k x x =+++++
222
1212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2
2
22357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++
5 ．（北京市朝阳区 高三上学期期末考试数学理试
题 ）已知点A 是椭圆
()22
:109x y C t t
+=>地 左顶点，直
线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 地 面积为163. （Ⅰ）求椭圆C 地 方程；
（Ⅱ）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径地 圆是否经过点B ？并请说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 地 方程为1x =，
设点E 在x 轴上方， 由
22
1,9
1x y t x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
解得(1,E F
，所以EF =因为△AEF 地
面积为116423
⨯=，解得2t =. 所以椭圆
C
地 方程为
22
192
x y +=. …………………………………………
………4分 （Ⅱ）由
22
1,921x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
得
22(29)4160
m y my ++-=，显然
m ∈R
.…………………5分
设1
1
2
2
(,),(,)E x y F x y ， 则
1212
22416
,2929
m y y y y m m --+=
=++，………………………………
………………6分
111
x my =+，2
21
x
my =+.
又直线AE 地 方程为1
1
(3)3y y x x =++，由
11(3),33y y x x x ⎧=+⎪
+⎨⎪=⎩
解得
1
16(3,
)3
y M x +， 同理
得
2
26(3,
)3
y N x +.所以
121266(2,),(2,)
33
y y BM BN x x ==++u u u u r u u u r ，……………………9分
又因为
12
1266(2,)(2,)
33
y y BM BN x x ⋅=⋅++u u u u r u u u r
1212
1212363644(3)(3)(4)(4)
y y y y x x my my =+
=+
++++
1212212124(4)(4)364()16
my my y y m y y m y y +++=
+++
2222216(436)164164(29)3216(29)
m m m m m -+-⨯+⨯+=
-++
22264576641285769
m m m ---++=0
= (13)
分
所以
BM BN
⊥u u u u r u u u r ，所以以
MN
为直径地 圆过点
B
. …………………………………14分
6 ．（ 北京海淀二模数学理科试题及答案）已知椭
圆
:M 22
221(0)
x y a b a b
+=>>地 四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为60o
地 菱形地 四个顶点.
(I)求椭圆M 地 方程;
(II)直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 地 垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆ (O 为原点)面积地 最大值. 【答案】解:(I)因为椭圆
:M 22
22
1(0)x y a b a b +=>>地 四个顶
点恰好是一边长为2，
一内角为60o
地 菱形地 四个顶点，
所以1
a b =
=，椭圆M 地 方程为
2
213
x y +=
(II)设1
1
2
2
(,),(,),A x y B x y 因为AB 地 垂直平分线通过点
1(0,)
2
-， 显然直线AB 有斜率，
当直线AB 地 斜率为0时，则AB 地 垂直平分线为y 轴，则1
2
1
2
,x x y y =-=
所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆====
2211(3)322
x x +-=
，
所以
AOB S ∆≤
当且仅当1||x =
时，AOB
S ∆
当直线AB 地 斜率不为0时，则设AB 地 方程为y kx t =+
所以2213
y kx t x
y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到2
22(31)6330
k
x kt t +++-=
当
224(933)0
k t ∆=+->， 即2
231k
t +>①
方程有两个不同地 解
又
122631
kt x x k -+=
+，
122
3231
x x kt
k +-=+
所以
122
231
y y t
k +=+，又
1212
1
12202
y y x x k ++=-+-，化简得到2
314k
t
+=
②
代入①，得到04t << 又原点到直线地
距离为
d =
12|||AB x x =-=
所以
1=||||2AOB S AB d ∆=
化简得到
AOB S ∆因为04t <<，所以当2t =
时，即k =时，AOB
S ∆取得最大
综上，AOB ∆面积地
7 ．（ 北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭
圆C :
22
22
1(0)x y a b a b +=>>地 离心率为
2
2
，且过点A .
直线
2
y x m =
+交椭圆C 于B ，D (不与点A 重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;
(Ⅱ)△ABD 地 面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ)Θa
c
e ==
22， 2
2
211a b +=，222
c b a
+=∴2
=a ，2=b ，
2
=c
∴22
142
x y +
=
(Ⅱ)设1
1(,
)
B x y ，2
2(,
)
D x y
，由2
2
=+2142
y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪
⎩2220x m ⇒++-=
∴282m 0
∆=-> 22m ⇒-<<，
1
2
,
x x
+= ① 212
2
x x
m =-
②
12BD x =-=Q
设d 为点A 到直线BD:=
+2
y x m 地 距离，∴d =
∴12ABD S BD d ∆=
=≤当且仅当
m =(2,2)
∈-时等号成立
∴当
m =ABD ∆地 8 ．（ 北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题
满分13分) 如图，已知椭圆
22
221(0)x y a b a b
+=>>地 长轴为AB ，过点B 地
直线l 与x 轴垂直，椭圆地 离心率e =F 为椭圆地 左焦点，且1
AF BF
=g .
(I)求此椭圆地 方程;
(II)设P 是此椭圆上异于,A B 地 任意一点，PH x ⊥轴，
H
为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长
交直线l 于点,M N 为MB 地 中点，判定直线QN 与以AB 为直径地 圆O 地 位置关系.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可知，(,0)A a -， (,0)B a ，(,0)F c -，
()()1
AF BF a c a c =+-=g 222
1
a
c b ∴-== 又
e =
22222
22
213
4
c a b a e a a a --==== ，解得2
4
a
=
所求椭圆方程为
2
214
x y +=
(Ⅱ)设0
(,)P x y ，则0
(,2)Q x y 0
0(2,2)
x
x ≠≠- 由(2,0),A -得0022
AQ
y k
x =
+
所以直线AQ 方程00
2(2)2
y y x x =++由(2,0),B -得直线l 2,x =的方程为
08(2,
)2
y M x ∴+ 00
4(2,)2
y N x ∴+由 0
000
200422224
NQ
y y x x y k x x -+==--
又点P 地 坐标满足椭圆方程得到:2
20
0+44
x
y = ，所以
22
0044x y -=-
00000
22000
22442NQ x y x y x k x y y =
==--- ∴直线NQ 地 方程:0
00
2()2x y y
x x y -=-
-
化简整理得到:220
00244
x x yy
x y +=+= 即0
24
x x yy
+= 所以点O 到直线NQ 地
距离2d O =
==圆的半径
∴
直线NQ 与AB 为直径地 圆O 相切
9 ．（北京市丰台区 高三上学期期末考试 数学理试
题 ）曲线1
2
,C C 都是以原点O 为对称中心、离心
率相等地 椭圆．点M 地 坐标是（0，1），线段MN 是1
C 地 短轴，是2
C 地 长轴.直线:(01)l y m m =<<与1
C
交于A ，D 两点（A 在D 地 左侧），与2
C 交于B ，
C 两点（B 在C 地 左侧）．
（Ⅰ）当m= 2， 54
AC =时，求椭圆1
2
,C C 地 方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 地 取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）设C 1地 方程为2
221x y a
+=，C 2地 方
程为
22
21x y b
+=，其中1,01a b ><<．..2分
Θ
C 1 ，C 2地 离心率相同，所以22
2
11a b a -=-，所以
1
ab =，……………………….…3分
∴C 2
地 方程为2
2
21
a x
y +=．
当m=
时
，
A
(2a -，
C 1(2a ． (5)
分 又
Θ
5
4
AC =
，所以，
15224
a a +=，解得a=2或
a=12
(舍)， ………….…………..6分 ∴
C 1 ，C 2地 方程分别为
2
214
x y +=，
2241
x y +=．………………………………….7分
（Ⅱ）
A(-
，m)，
B(-
，
m) ． …………………………………………9分
Q
OB ∥AN ，∴OB
AN
k
k =，
∴
1m =
，
∴211
m a =
- ． …………………………………….11分
22
2
1a e a
-=，
∴
22
1
1a e =
-，
∴2
2
1e m e
-=． ………………………………………12分
Q
01
m <<，∴
2
2101
e e
-<<，
∴
12
e <<．.................................
.......................13分
10．（ 北京西城高三二模数学理科）如图，椭圆
2
2
:1(01)
y C x m m
+=<<地 左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于
点A 地 任意一点，点P 与点A 关于点M 对称.
(Ⅰ)若点P 地 坐标为9(,55
，求m 地 值; (Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 地 取值范围.
【答案】(Ⅰ)解:依题意，M 是线段AP 地 中点，
因为(1,0)A -，9(5P ，
所以 点M 地 坐标为2(5
由点M 在椭圆C 上，
所以 412
12525m
+=， 解得 47m =
(Ⅱ)解:设0
0(,)M x y ，则
2
20
1
y x m +=，且0
11
x
-<<. ①
因为 M 是线段AP 地 中点， 所以 0
0(21,2)
P x
y +
因为 OP OM ⊥， 所以 20
0(21)20
x x
y ++=. ②
由 ①，② 消去0
y ，整理得 2002
0222
x x m x +=-
所以
001
116
24
2(2)8
2
m x x =+
≤-++-+，
当且仅当
2x
=-.
所以 m 地 取值范围是1(0,]2
4
-
11．（ 北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭
圆C:
2
214
x y +=地 短轴地 端点分别为A ，B ，直线
AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，其中点M (m ，12) 满足0m ≠，且3m ≠±. (Ⅰ)求椭圆C 地 离心率e; (Ⅱ)用m 表示点E ，F 地 坐标;
(Ⅲ)若∆BME 面积是∆AMF 面积地 5倍，求m 地 值.
【答案】解:(Ⅰ)依题意知2a =，3=c ，23=∴e ; (Ⅱ)Θ)1,0(),1,0(-B A ，M (m ，12
)，且0m ≠， ∴
直线AM 地 斜率为k 1=m 21-，直线BM 斜率为k 2=m 23，
∴
直线AM 地 方程为y=121+-x m ，直线BM 地 方程为
y=123-x m ， 由
⎪⎩
⎪⎨
⎧+-==+,
121,142
2x m y y x 得()2
2
140
m x
mx +-=，
240,,1m x x m ∴==+22241,,
11m m E m m ⎛⎫
-∴ ⎪++⎝⎭
由
⎪⎩
⎪⎨
⎧-==+,
123,142
2x m y y x 得()0
1292
2
=-+mx x
m ，2
120,,9m x x m ∴==+2
22
129,99
m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝
⎭
; (Ⅲ)Θ1
||||sin 2
AMF
S
MA MF AMF ∆=
∠，1
||||sin 2
BME
S
MB ME BME ∆=
∠，AMF BME ∠=∠，
5AMF BME
S S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||
MA MB ME MF =
， ∴
22
5,
41219m m
m m
m m m m =--++
Θ
0m ≠，∴整理方程得2
2
115119
m m =-++，即2
2(3)(1)0
m
m --=，
又
Θm ≠∴2
30
m
-≠， 1
2
=∴m
，1m ∴=±为所求
12．（ 北京顺义二模数学理科试题及答案）已知椭
圆
()01:22
22>>=+b a b
y a x C 地 两个焦点分别为2
1
,F F ，且
2
21=F F ，点P 在椭圆上，且2
1
F PF ∆地 周长为6.
(I)求椭圆C 地 方程;
(II)若点P 地 坐标为()1,2，不过原点O 地 直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，设线段AB 地 中点为M ，点P 到直线l 地 距离为d ，且P O M ,,三点共线.求2
2
16
131312d AB
+
地 最大值.
【答案】解:(I)由已知得22=c 且622=+c a ，解得
1
,2==c a ，
又3
2
2
2
=-=c a b
，所以椭圆C 地 方程为
13
42
2=+y x
(II)设()()2
2
1
1
,,,y x B y x A .
当直线l 与x 轴垂直时，由椭圆地 对称性可知，点M 在x 轴上，且与O 点不重合，
显然P O M ,,三点不共线，不符合题设条件.
故可设直线l 地 方程为()0≠+=m m kx y . 由
⎩
⎨⎧=++=1243,22y x m kx y 消去y 整理得()0
12484322
2
=-+++m kmx x
k .①
则()()
12443464222
2
>-+-=∆m k m
k ，
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+-=+22
2122143124,438k m x x k km x x 所以点M 地 坐标为⎪
⎭
⎫
⎝
⎛++-22
433,
434k m k
km
.
因为P O M ,,三点共线，所以2
2432433,
k km
k m k k
OP OM
+-=
+=，因为
≠m ，所以2
3-=k ， 此时方程①为
33322=-+-m mx x ，则
()
1232>-=∆m ，
⎪⎩
⎪⎨⎧-=
=+33,
22121m x x m x x
所以()()2
122122
y y x x AB -+-=()()[]
212
21241x x x x k -++=()21212
13m -=
，
又13
422
3282
2
-=
+-=m m d ，
所以
(
)
()3
5234434412161313122
2
222
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+m m m d AB ，
故当()0
,32
3
4-∈-=m 时，2
2
161313
12d AB
+
地 最大值为3
52 13．（ 北京东城高三二模数学理科）已知椭圆
C
:
22
221x y a b
+=(0)a b >>地 离心率e =
，原点到过点
(,0)
A a ，(0,)
B b -地 直线地 距离是5.
(Ⅰ)求椭圆C 地 方程; (Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()
00
,
y x 关于直线x y 2=地 对
称点为()1
1
1
,y x P ，求22
11x
y +地 取值范围.
(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同地 两点
E
，F ，且E ，F 都在以B 为圆心地 圆上，求k 地 值.
【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为c a =，2
22
a b c -=，
所以 2a b =.
因为原点到直线AB :1x y
a b
-=地 距离d ==
，解
得4a =，2b =. 故所求椭圆C 地 方程为
2
21164
x y +=.
(Ⅱ)因为点()0
,P x y 关于直线x y 2=地 对称点为()1
1
1
,y x P ，
所以
01
01
010121,2.22
y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨
++⎪=⨯⎪⎩ 解得 0
1
435y x
x -=，0
1
345
y
x y +=.
所以2222
1100
x
y x y +=+. 因为点
()
00,P x y 在椭圆
C
:
2
21164
x y +=上，所以
22
2220
1
1
344
x x y x y +=+=+
.
因为0
44
x
-≤≤， 所以221
1416
x
y ≤+≤.所以22
11x
y +地 取值范围
为[]4,16. (Ⅲ)由题意
22
1,1164
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y ，整理得2
2
(14)8120
k x
kx ++-=.
可知0∆>.
设2
2
(,)E x y ，3
3
(,)F x y ，EF 地 中点是(,)
M
M M x
y ，
则232
4214M
x x k
x
k +-=
=+，2
1
114M
M y
kx k =+=
+.
所以21
M BM
M y k
x k
+=
=-. 所以20
M
M x
ky k ++=.
即 2
2
420
1414k
k
k k
k -+
+=+
+. 又因为0k ≠，
所以2
18k
=
.
所以4k =±
14．（北京市石景山区 高三一模数学理试题）设椭
圆C:
22
22
x y a b +=1(a>b>0)地 左、右焦点分别为F 1、
F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足
112
BF F F =u u u r u u u u r ，且AB ⊥AF 2.
(I)求椭圆C 地 离心率;
(II)若过A 、B 、F 2三点地 圆与直线l
:x 3
-=0
相切，求椭圆C 地 方程;
(Ⅲ)在(II)地条件下，过右焦点F
作斜率为k地
2
直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN地中垂线与x轴相交于点P(m，O)，求实数m地取值范围.
【答案】
15．（北京市顺义区 高三第一次统练数学理科试卷
（解析））已知椭圆
()11:222
>=+a y a
x C 地 上顶点为A ，
左焦点为F ，直线AF 与圆0
726:22
=+-++y x y x
M 相切.
过点⎪⎭
⎫
⎝
⎛-2
1,0地 直线与椭圆C 交于Q P ,两点. (I)求椭圆C 地 方程;
(II)当APQ ∆地 面积达到最大时，求直线地 方程. 【答案】解:(I)将圆M 地 一般方程0
72622
=+-++y x y x 化为标准方程()()3
132
2
=-++y x ，则圆M 地 圆心()1,3-M ，
半径3
=
r .由()()()1
0,,1,02-=
-a c c F A 得直线AF 地 方程为
=+-c cy x .
由直线AF 与圆M 相切，得3
132
=++--c
c c ，
所以2
=c 或2-=c (舍去).
当2
=
c 时，3
122
=+=c a
，
故椭圆C 地 方程为
13
22
=+y x
(II)由题意可知，直线地 斜率存在，设直线地 斜率为k ，
则直线地 方程为2
1-=kx y . 因为点⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-2
1,0在椭圆内， 所以对任意R ∈k ，直线都与椭圆C 交于不同地 两点. 由
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=13
,2122
y x kx y 得()04
9
3312
2
=-
-+kx x
k .
设点Q P ,地 坐标分别为()()2
2
1
1
,,,y x y x ，则
()
2
2122122113149,313,21,21k x x k k x x kx y kx y +-=+=+-=-
=，
所以()()2
12212y y x x PQ -+-=
()()[]2
12
21
2
41x x x x
k -++=
()(
)2
22314113k k k +++=
.
又因为点()1,0A 到直线21-=kx y 地 距离1
232
+=
k d ，
所以APQ ∆地 面积为
(
)2
2
31441921k k d PQ S ++=
⋅=
设2
311k
t +=，则10≤<t 且3
1
312
-=
t k ， ()3
4231493344
93134492
2+--=-=
-⋅=t t t t t S .
因为10≤<t ，
所以当1=t 时，APQ ∆地 面积S 达到最大， 此时1
311
2
=+k
，即0=k .
故当APQ ∆地 面积达到最大时，直线地 方程为21-=y 16．（ 北京高考数学（理））已知A 、B 、C 是椭圆
W :
2
214
x y +=上地 三个点，O 是坐标原点.
(I)当点B 是W 地 右顶点，且四边形OABC 为菱形
时，求此菱形地 面积;
(II)当点B 不是W 地 顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 【答案】解:(I)椭圆W :
2
214
x y +=地 右顶点B 地 坐
标为(2，0).因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1，m )，代入椭圆方程得2
11
4
m
+=
，即m =. 所以菱形OABC 地 面积
是11
||||22||22
OB AC m ⋅=⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 地 顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 地 方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠. 由
2244
x y y kx m
⎧+=⎨
=+⎩消去y 并整理得2
2
2(14)8440
k x
kmx m +++-=.
设A 1,1
()x y ，C 2,2()
x
y ，则1
2
242
14x x
km k +
=-
+，1
2
122
2
214y y
x x m
k m k +
+=⋅
+=+.
所以AC 地 中点为M(2
414km k -+，2
14m
k
+). 因为M 为AC 和OB 地 交点，所以直线OB 地 斜率为14k -.
因为1()14k k ⋅-≠-，所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾.
所以当点B 不是W 地 顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.
17．（ 年高考（北京理））已知椭圆G:
2
214
x y +=.过点(,0)
m 作圆2
21
x
y +=地 切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.
(Ⅰ)求椭圆G 地 焦点坐标和离心率;
(Ⅱ)将|AB|表示为m 地 函数，并求|AB|地 最大
值.
【答案】【命题立意】本题考查椭圆地 标准方程和性质以及直线被椭圆截得地 弦长地 求法，运用基本不等式求解函数地 最值问题.考查学生地 运算能力和综合解答问题地 能力. 【解析】(Ⅰ)由已知得
2,1a b ==，c =所以椭圆G 地 焦点坐标为
(，，离心率为
2
c e a =
=
(Ⅱ)由题意知，||1m ≥.
当1m =时，切线l 地 方程为1x =，点A ，B 地 坐标分别为
，(1,，此时||AB =当
1m =-时，同理可得||AB =当||1m >时，设切线l 地 方程为()y k x m =-，
由
22()14
y k x m x
y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2
2
222(14)8440
k x
k mx k m +-+-=
设A 、B 两点地 坐标分别为1
1
(,)x y ，2
2
(,)x y ，则
222121222
844
1414k m k m x x x x k k -+=⋅=
++
又由l 与圆2
21
x y +=
1
=，即2
2
21
k m
k =+
所以||AB
=
由于当1m =±
时，||AB =
||(,1][1,)AB m ∈-∞-+∞U
因为||2
||||
AB m m =≤+
，当且仅当m =||2AB =
所以||AB 地 最大值是2
18．（ 北京朝阳二模数学理科试题）已知椭圆
22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>地 右焦点为F (1,0)，短轴地 端点
分别为1
2
,B B ，且
12FB FB a
⋅=-u u u r u u u u r
.
(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;
(Ⅱ)过点F 且斜率为k (0)k ≠地 直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 地 垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN
地 中点为P ，试求DP
MN 地 取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)依题意不妨设1
(0,)B b -，2
(0,)B b ，则
1(1,)
FB b =--u u u r
，
2(1,)
FB b =-u u u u r
.
由
12FB FB a
⋅=-u u u r u u u u r
，得2
1b
a
-=-.又因为2
21
a
b -=，
解得2,a b ==. 所以椭圆C 地 方程为
22
143
x y +=
(Ⅱ)依题直线l 地 方程为(1)y k x =-. 由
22
(1),14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2
2
22(34)84120
k x
k x k +-+-=.
设1
1
(,)M x y ，2
2
(,)N x y ，则
2
122
834k x x k +=
+，2122
412
34k x x k -=
+
所以弦MN 地 中点为222
43(,)3434k k P k k -++
所以MN =
=
=
2212(1)
43
k k +=
+
直线PD 地 方程为
2
22314()4343
k k y x k k k +=--++， 由0y =，得
2
2
43
k x k =+，则
2
2(,0)43
k D k +，
所以
DP =
所以224312(1)43
DP k k MN k +==+
+=
又因为2
11
k +>，所以2
1011k <<+.
所以1
04
<<.
所以
DP MN
地 取值范围是1(0,)4
19．（北京市海淀区北师特学校 高三第四次月考理
科数学）已知椭圆C ：
)0(122
22>>=+b a b
y a x ，左焦点
)
0,3(-F ，且离心率2
3
=
e
(Ⅰ）求椭圆C 地 方程；
(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同地 两点
N
M ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径地 圆
经过椭圆C 地 右顶点A. 求证：直线l 过定点，并求出定点地 坐标.
【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧+====222233
c b a a c e c (1)
分
解得 1,2==b a ………2分 所
以
椭
圆
地
方
程
为
：
14
22
=+y x ……3分
（II ）证明：由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m kx y y x 14
22
448)k 41222=-+++m kmx x 得（…4分 0
)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km 整
理
得
1422>+-m k (5)
分
设),(),,(2
2
2
1
y x N x x M
则
2
2212
21414
4,418k m x x k km x x +-=+-=+ …….6分
由已知，
AN
AM ⊥且椭圆地 右顶点为
)
0,2(A ………7分
)2)(2(2121=+--∴y y x x (8)
分
2
212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=
即0
4))(2()1(221212
=+++-++m x x km x x k
也即04418)2(4144))1(22
222
=+++-•-++-•+m k
km
km k m k …… 10分
整
理得
：
1216522=++k mk m (1)
1分 解
得
5
62k
m k m -
=-=或均满足
1422>+-m k ……12分
当
k
m 2-=时，直线地 l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，
0）与题意矛盾舍去……13分
当56k m -=时，直线地 l 方程为)5
6(-=x k y ，过定点)0,56
( 故直线
l
过定点，且定点地 坐标为
)0,5
6( …….14分
20．（北京市东城区普通高中示范校 高三12月综合
练习(一)数学理试题）椭圆T 地 中心为坐标原
,,OM ON OP
地 斜率之和为0，求证
.
【答案】解:(1)设椭圆T
地
由题意知:左焦点为'
(2,0)F -
2b =. 故椭圆T 地 方法2、待定系数法)
(2)设1
1
2
2
3
3
(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，1
1
2
2
3
3
(,),(,),(,)M s t N s t P s t ，
由:221128
x
y +=，28
x y +=，两式相减，得到
12121212()()2()()0
x x x x y y y y -++-+=
,,OM ON OP 地 斜率
之和为0，
方法2:
设直线AB :1
1
1
()y t k x s -=-，代入椭圆2
228
x
y +=，得到
22211111111(12)4()2()80
k x t k s k x t k s ++-+--=
以下同
21．（北京市东城区普通校 高三3月联考数学（理）
试题 ）已知椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b y a x 地 离心率为
.3
6
（I ）若原点到直线0=-+b y x 地 距离为,
2求椭圆地
方程；
（II ）设过椭圆地 右焦点且倾斜角为︒45地 直线和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 地 值；
（ii ）对于椭圆上任一点M ，若μλ+=，求实数μλ,满足地 关系式.
【答案】解：（I ）
2
22
=∴==
b b d Θ
32
3
622=
∴=
=a
c a c e Θ
2
22223
24a a c b a =
-∴=-Θ 解得.
4,1222
==b a
椭
圆地 方程为
.14
122
2=+y x (4)
分
（II ）（i ）∵e .23
2
,3,362
22222b a c b a c
===∴=
Θ椭圆地 方程可
化为：
2
2233b y x =+ ①
易知右焦点)
0,2(b F ，据题意有AB ：b
x y 2-
= ②
由①，②有：0
326422
=+-b bx x
③
设),(),,(2
2
1
1
y x B y x A ，
334
24244872)11()()(||22
2
222
2
122
12==⋅=-+=-+-=b b b b y y x x AB
1
=∴b ………
………………8分
（2）（ii ）显然OA 与OB 可作为平面向量地 一组基
底，由平面向量基本定理，对于这一平面内地 向量OM ，有且只有一对实数λ，μ，使得等OM μλ+=成立. 设M （x ，y ），
,
,),,(),(),(21212211y y y x x x y x y x y x μλμλμλ+=+=∴+=Θ
又点M 在椭圆上，2
221221
3)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ ④
由③有：4
3,2232
2121b x x b x x =
=+
则2
21212121212
16)(234)2)(2(33b x x b x x b x b x x x y y x
x ++-=--+=+
693222=+-b b b ⑤
又A ，B 在椭圆上，故有2
2
2222212
1
33,33b y x b y x =+=+ ⑥ 将
⑥
，
⑤
代
入④可
得
：
.
122=+μλ ……………………14分
22．（北京市海淀区 高三5月查缺补漏数学（理））
已知椭圆
22:1
43
x y C +=地 左右两个顶点分别为A B ，，
点M 是直线:4l x =上任意一点，直线MA ，MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点地 点P ，点Q . (Ⅰ)求椭圆地 离心率和右焦点F 地 坐标; (Ⅱ)(i)证明,,P F Q 三点共线; (Ⅱ)求PQB ∆面积地 最大值. 【答案】解:(Ⅰ)2
4
a
=，2
3
b
=，所以，2
221
c
a b =-=.
所以，椭圆地 离心率1
2
c e a ==. 右焦点()1,0F .
(Ⅱ)(i)()2,0A -，()2,0B .设()4,M m ，显然0m ≠.
则():26m MA y x =+，():22
m MB y x =-. 由
()22
2,614
3m y x x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得
2
22542,2718.27P P m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
由
()222,214
3m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得
22226
,36.3Q Q m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
当2
9
m =时，1
P
Q x x ==，,,P Q F 三点共线.
当2
9
m
≠时，22
018612739P FP
P y m m
k
x m m -=
==
---，
22
0661
99Q FQ Q y m m
k x m m --=
=
=
---，
所以，FP
PQ
k
k =，所以，,,P Q F 三点共线.
综上，,,P Q F 三点共线.
(Ⅱ)因为,,P Q F 三点共线，所以，△PQB 地 面积
()()()2
22
12912327P Q m m S FB y y m m +=⨯⨯-=++2912912
m m m m ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪
⎝
⎭
设9u m m =+，则2
1212
u
S u =+ 因为()()
2
2
246'12u S u
-=+，且9
6u m m =+≥，所以，'0S ≤，
且仅当6u =时，'0
S =，
所以，2
1212
u
S u =+在[6,)+∞上单调递减. 所以，2
12636122
S ⨯≤=+，等号当且仅当6u =，即3m =±时取得. 所以，△PQB 地 面积地 最大值为32.
23．（北京市海淀区 高三5月查缺补漏数学（理））
已知椭圆
:C 22
221(0)
x y a b a b
+=>>地 离心率为12
，且经过点3
(1,)
2
A .
(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;
(Ⅱ)设,M N 为椭圆C 上地 两个动点，线段MN 地 垂直平分线交y 轴于点0
(0,)P y ，求0
y 地 取值范围.
【答案】解: (Ⅰ)椭圆C 地 方程为:22
1.43
x y +=
(Ⅱ)设1
1
2
2
(,),(,)M x y N x y ，则
22
11143
x y +=，
22
22
143
x y +=. 依题意有
||||PM PN ==，
整理得 22221212012()()2()0
x x y y y y y -+---=.
将
2
211
443
y x =-
，
222
2
443y x =-
代入上式，消去2
21
2
,x x ，
得 2212012()6()0
y
y y y y -+-=.
依题意有 1
2
y y
-≠，所以12
6
y y y
+=-
.
注意到
1
||y ≤，2
||y
≤，且,M N 两点不重合，从而
12y y -+<所以
(y ∈.
24．（北京市石景山区 高三上学期期末考试数学理
试题 ）已知椭圆地 中心在原点，焦点在x 轴上，
(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同地 两点A B 、． （Ⅰ）求椭圆地 方程； （Ⅱ）求m 地 取值范围；
（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、地 斜率互为相反数．
【答案】（Ⅰ）设椭圆地 方程为22
221x y a b +=，因为e =所以2
2
4a
b =，
又因为(4,1)M ，所以2
2
161
1a b
+=，解得2
25,20
b
a ==，
故椭圆方程为
22
1205
x y +=． ……………
……4分
（Ⅱ）将y x m =+代入
22
1205
x y +=并整理得2
2584200
x
mx m ++-=，
22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，
解得
55
m -<<． …………………7分
（Ⅲ）设直线,MA MB 地 斜率分别为1
k 和2
k ，只要证明
120
k k +=．。