精品解析：宁夏回族自治区银川市一中2019-2020学年高三12月月考数学(文)试题(解析版)

银川一中2020届高三年级第四次月考
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知(1)i z i +⋅=-，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
由复数的除法运算求得z ，进而得z ，从而可得解. 【详解】由(1)i z i +⋅=-，可得(1)11222
i i i i
z i ---=
==--+. 所以122
i z =-+对应的点11
(,)22-位于复平面内的第二象限.
故选B.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题. 2.已知集合{}
2
|1M x Z x =∈≤，{}R |12N x x =∈-<<，则M N ⋂=（ ）
A. {}1,0,1-
B. {}0,1
C. {}1,0-
D. {}1
【答案】B 【解析】
此题考查一元二次不等式的解法、集合的运算；因为{}1,0,1M =-，所以
，选B
3.已知数列{}n a 为等差数列，且1713a a a π++=,则68sin()a a +=（ ）
A.
12
B. 12
-
C.
D. 【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得，11372a a a +=可求7a ，进而可求7682a a a +=，代入所求式子即可得答案.
【详解】由等差数列的性质可得，11372a a a +=，
17134a a a π++=，∴73
a π
=
，
876223
a a a π∴+==
，
682sin()sin
32
a a π∴+==
. 故选C.
【点睛】本题主要考查等差中项及特殊角的三角函数值，考查基本运算求解能力，属于基础试题. 4.设向量(2,1),(,1)a x b x =+=r r
, 则"1"x =是“//a b ”的（ ）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出a b ‖的充要条件，判断前者成立是否
能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．
【详解】a b ‖的充要条件为()21x x =+，即2x =-或1x =， “1x =”是“2x =-或1x =”成立的充分不必要条件，
∴“1x =”是“a b ‖”的充分不必要条件，
故选A ．
【点睛】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断．
5.直线3430x y -+=与圆221x y +=相交所截的弦长为（ ）
A. 45
B. 85
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】
【详解】圆22
1x y +=的圆心(0,0),半径为1， 因为直线3430x y -+=， 可得圆心到直线的距离为
35
，
则利用勾股定理可知相交所截的弦长为8
5
==，
故选B
6.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是
A. 4+
B. 12
C. D. 8
【答案】B 【解析】
【详解】由题意可得该几何体为一个正四棱锥，
底面是一个边长为2的正方形，其面积为4. 侧面是的底边长为2
2=的等腰三角形，
四个侧面积为8.所以全面积为4+8=12. 故选B.
7.已知函数()31log 5x
f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，实数0x 是方程()0f x =的解，若100x x <<，则()1f x 的值（ ） A. 恒为负数 B. 等于零 C. 恒为正数 D. 可正可负
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指数函数1
()5
x
y =和对数函数3log y x =在(0,)+∞上的单调性，可得函数()f x 的单调性．再
利用函数零点的意义即可得出． 【详解】
实数0x 是方程()0f x =的解，0()0f x ∴=．
函数1
()5
x
y =与3log y x =在(0,)+∞上分别单调递减、单调递增，
∴函数()f x 是减函数．
又
100x x <<，
10()()0f x f x ∴>=．
故选C ．
【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数值的正负，求解时要会利用两个增函数的和仍是增函数这一知识，属于基础题． 8.将函数cos 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位长度，所得函数的解析式是（ ） A. cos 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B. cos 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C. sin 2y x =-
D. sin 2y x =
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用三角函数图象的平移变换法则求解即可. 【详解】函数cos 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位长度， 得到cos 2cos 2242y x x sin x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象，
即所得函数的解析式是sin 2y x =-， 故选C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
9.已知点F 1、F 2分别是椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭
圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. 2
B.
C. 3
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出1AF 的长，直角三角形12AF F 中，由边角关系得
2
112tan 302b AF a F F c
︒==建立关于离心率的
方程，解方程求出离心率的值.
【详解】由已知可得，2
1b AF a
=，
2
2221121tan 302223
b AF a
c e a F F c ac e --︒=====，
∴220e +-=， 01e <<Q
，e ∴=
. 故选D.
【点睛】本题考查椭圆的离心率，求解时要会利用直角三角形中的边角关系，得到关于,a c 的方程，从而求得离心率的值．
10.己知双曲线22
11n n n n a y a x a a ---=（2n ≥，*n N ∈）的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是
y =，其中数列{}n a 是以4为首项的正项数列，则数列{}n a 通项公式是( )
A. 32n
n a -=
B. 22n
n a =
C. 31
2n n a -=
D. 1
2n n a +=
【答案】D 【解析】 【
分析】
双曲线过程化为标准方程，求出渐近线方程可得数列{}n a 是等比数列，公比是2，从而可得结果.
【详解】由题意可得，双曲线22
11n n n n a y a x a a ---=的标准方程是
22
1
1n n y x a a --=， 2
2
1,n n a a b a -∴==，
a b ∴=
双曲线的一条渐近线方程是y =，
=
2n ≥，*n N ∈），
1
2n
n a a -∴
= 2n ≥（，*n N ∈）， ∴数列{}n a 是等比数列，公比是2，
数列{}n a 的首项是4，
11422n n n a -+∴=⨯=，故选D
【点睛】本题主要考查等比数列的定义、等比数列的通项公式以及双曲线的方程与性质，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
11.在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,90BC AB BCC ==∠=，AB ⊥侧面11BB C C ，且直线
1C B 与底面ABC
,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C. 5π
D. 6π
【答案】D 【解析】 【分析】
由条件可得三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，且三条侧棱1,,BA BC BB 两两互相垂直，从而可把该三棱柱补成长方体，再利用长方体对角线的平方等于三条棱的平方和，求得外接球的半径R ，进而求得外接球的表面积.
【详解】三棱柱111ABC A B C -如图所示， 因为190BCC ∠=，所以该三棱柱为直三棱柱.
因为AB ⊥侧面11BB C C ，所以三条侧棱1,,BA BC BB 两两互相垂直. 所以1B CB ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，
所以1s in B CB ∠=
，则12tan B CB ∠=. 因为1,BC AB ==所以12BB =.
将三棱柱补成长方体，设外接球的半径为R ， 所以2
2
3(2)11462
R R =++=⇒=， 所以23
4462
S R πππ===. 故选D.。