中考数学 二次函数 培优 易错 难题练习(含答案)附详细答案

中考数学 二次函数 培优 易错 难题练习(含答案)附详细答案
一、二次函数
1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．
（1）求m 的值；
（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y 13
=
x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】
【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；
（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：
m ＝﹣3；
（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：
x ＝3，
所以点B 的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：
390
b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
所以二次函数的解析式为：y 13
=x 2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，
则∠ODC ＝45°+15°＝60°，
∴OD ＝OC •tan30°3=
设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
， 解得：121203336
x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；
②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，
则∠OEC ＝45°-15°＝30°，
∴OE ＝OC •tan60°＝3
设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩
， 所以M 23，﹣2）．
综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y
轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】(1) y=﹣23
4x +94x+3；(2) 有最大值,365
;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（
73，256）或（173，﹣253）． 【解析】
试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设P （m ，﹣
34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣
34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365
，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：
CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94
n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34
n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:
（1）由OC=3OA ，有C （0，3），
将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：
016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
，
解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +
94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34
m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），
设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，
则403k b b +=⎧⎨=⎩
解得：343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣
34
x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334
m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，
∴∠BDE=∠BCO ，
∵∠BDE=∠PDF ，
∴∠PDF=∠BCO ，
∵∠PFD=∠BOC=90°，
∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC
V V 的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，
故△BOC 的周长=12， ∴2334
125
m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365
， ∴当m=2时，L 最大=365
； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，
当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，
当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，
∴∠PCQ=∠CPD ，
∴∠PCD=∠CPD ，
∴CD=PD ，
∴CD=DP=PQ=QC ，
∴四边形CDPQ 是菱形，
过D 作DG ⊥y 轴于点G ，
设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣
34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣
239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，
∴﹣
235344n n n +=①， ﹣235344
n n n +=-②， 解方程①得：n=
73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=
173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256
），如图3，
当n=173时，P （173
，﹣253），如图4，
综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（7
3
，
25
6
）
或（17
3
，﹣
25
3
）．
点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．
3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9
4
；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣
3）．
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C 的坐标，再利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据抛物线解析式设出点P 的坐标，然后表示出PD 的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD 是直角时，点P 与点B 重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P 为在抛物线顶点时，∠PAD 是直角，分别写出点P 的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA =MB ，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M 为直线CB 与对称轴交点时，|MA ﹣MC |最大，然后利用待定系数法求出直线BC 的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），
∴93010b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得43
b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y =x 2﹣4x +3； （2）令x =0，则y =3，∴点C （0，3），则直线AC 的解析式为y =﹣x +3，设点P （x ，x 2﹣4x +3）．∵PD ∥y 轴，∴点D （x ，﹣x +3），∴PD =（﹣x +3）﹣（x 2﹣4x +3）=﹣x 2+3x =﹣（x ﹣32）2+94．∵a =﹣1＜0，∴当x =32时，线段PD 的长度有最大值94
； （3）①∠APD 是直角时，点P 与点B 重合，此时，点P （1，0），②∵y =x 2﹣4x +3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A （3，0），∴点P 为在抛物线顶点时，∠PAD =45°+45°=90°，此时，点P （2，﹣1）．
综上所述：点P （1，0）或（2，﹣1）时，△APD 能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB ，∴MA =MB ，由三角形的三边关系，|MA ﹣MC |＜BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA ﹣MC |最大，为BC 的长度，设直线BC 的解析
式为y =kx +b （k ≠0），则03k b b +=⎧⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩
，∴直线BC 的解析式为y =﹣3x +3．∵抛物线y =x 2﹣4x +3的对称轴为直线x =2，∴当x =2时，y =﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M （2，﹣3），使|MA ﹣MC |最大．
点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD 的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M 的位置是解题的关键．
4．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，
其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=--+.
（2）3210.
（3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），
∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.
∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.
（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.
∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.
∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，
∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴AC=32，BC=10.
∴△PBC 的周长最小是：3210+.
（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）
∴()22
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴
()
22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.
②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
5．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐
标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】
（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB
OA ==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为 09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b a
=-
=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；
②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，
∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴
13
EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）． ∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．
当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．
综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．
6．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．
①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣
32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{312a b c c b a
++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222
x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
7．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．
（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；
（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.
【答案】(1) 221y x x =
+-；(2)12y y >.
【解析】
【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式；
（2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.
【详解】
(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），
∴22122m m -=++-.
∴m 1=m 2=-1.
∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.
(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()2
22m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.
此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.
∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.
∵12x x <≤－2，
∴1y >2y .
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
8．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．
（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；
（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？
（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2)
307
;(3)见解析. 【解析】
【分析】
（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；
（2）设PM=x，则AM=2x，可得，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得
AM=AO+OM，列方程可得t的值；
（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．
【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=1
2
∠ABC=60°，AC⊥BD，
∴∠OAB=30°，
∵AB=20，
∴OB=10，
由题意得：AP=4t，
∴PQ=2t，
，
∴S=S△ABC﹣S△APQ，
=11
··
22
AC OB PQ AQ
-，
=11
102
22
t
⨯⨯⨯⨯，
=﹣2（0＜t＜5）；（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，∵点Q关于O的对称点为M，
∴OM=OQ，
设PM=x，则AM=2x，
∴
，
∴
∴
∵AM=AO+OM，
∴
，
t=30
7
；
答：当t为30
7
秒时，点P、M、N在一直线上；
（3）存在，
如图3，∵直线PN平分四边形APMN的面积，
∴S △APN =S △PMN ，
过M 作MG ⊥PN 于G ，
∴ 11··22PN AP PN MG ， ∴MG=AP ，
易得△APH ≌△MGH ， ∴AH=HM=3t ， ∵AM=AO+OM ，
同理可知：OM=OQ=103﹣23t ，
3
t=103=103﹣23t ， t=3011
． 答：当t 为
3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=
14
x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=
14
x 2﹣x+1．（2）点P 的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F 的坐标为（2，1）．
【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值，根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A 、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-
12-12
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a （x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a ，解得：a=14
， ∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14
x 2-x+1． （2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得： 214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩
＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14
），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．
∵点B （4，1），直线l 为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），
将A （1，14
）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243
k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-
1312x+43， 当y=-1时，有-
1312x+43=-1， 解得：x=2813
， ∴点P 的坐标为（
2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，
∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，
∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．
∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，
∴n=14
m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（
14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，
∴000220
001110
222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩
＝＝＝，
∴00
21x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．
10．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2
y=ax bx a 0+≠。

（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，a= ；
当顶点坐标为（m ，m ），m≠0时，a 与m 之间的关系式是 ；
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线()y=kx k 0≠上，请用含k 的代数式表示b ；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，B 3，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有一条经过点D n ，求所有满足条件的正方形边长。

【答案】（1）－1；1a=m -（2）2b b =k 4a 2a ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭
（3）3，6，9 【解析】
解：（1）－1；1a=m
-。

（2）∵过原点的抛物线顶点2b b 2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
在直线()y=kx k 0≠上，∴2b b =k 4a 2a ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭。

∵b≠0，∴b=2k -。

（3）由（2）知，顶点在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n≤12）的抛物线为：()21y=x n n n --+，即21y=x 2x n
-+。

对于顶点在在直线y=x 上的一点A m （m ，m ）（m 为正整数，且m≤n ），依题意，作的正方形A m B m C m D m 边长为m ，点D m 坐标为（2 m ，m ），
若点D m 在某一抛物线21y=x 2x n
-+上，则 ()()21m=2m 22m n -+，化简，得3m=n 4。

∵m ，n 为正整数，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。

∴所有满足条件的正方形边长为3，6，9。

（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有2
b =12a {4a
c b =14a
--，即2b =12a {a=1b =14a
-⇒--。

当顶点坐标为（m ，m ），m≠0时，()22
b =m 2am 12a {=m a=4a m b =m 4a
--⇒-⇒--。

（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标2b b 2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
代入y=kx ，
化简即可用含k 的代数式表示b 。

由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标。

（3）将依题意，作的正方形A m B m C m D m 边长为m ，点D m 坐标为（2 m ，m ），将（2 m ，m ）代入抛物线21y=x 2x n
-+求出m ，n 的关系，即可求解。

11．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A
点的直线y=﹣
12
x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=
211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣
12
）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】 分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得
042101641a b a b --⎧⎨+-⎩
＝＝ 解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14
x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1
41228
b a -
=-⨯＝1 （2）存在 使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小
∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O 直线解析式为：y=kx
∴k=-12
∴y=-12x
则P点坐标为（1，-1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-5
2
a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，3
2
a−1）
把M代入y=1
8
x2−
1
4
x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
12．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215
y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．
（1）点D 的坐标是 ______；
（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．
①当275
n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．
【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②
92155n <<. 【解析】
【分析】
（1）直接用顶点坐标公式求即可；
（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132
，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=
275时，N （2，275），可求95，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，5；当PQ 与AB 不平行时，5②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，5DN=
245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，
95＜n ＜215
. 【详解】
（1）顶点为()2,9D ；
故答案为()2,9；
（2）对称轴2x =，
9(2,)5
C ∴， 由已知可求5
(,0)2
A -， 点A 关于2x =对称点为13(
,0)2
， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，
①当275n =时，27(2,)5
N ，
DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，
DAC DPN ∆∆Q :，
DP DN DA DC
∴=，
DP ∴=
当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，
DNQ DCA ∴∆∆:，
DP DN DB DC
∴=，
DP ∴=
综上所述DP =
②当PQ AB ∥，DB DP =时，
DB =
DP DN DA DC
∴=， 245DN ∴=
， 21(2,)5
N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，
92155n <<； 故答案为
92155
n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．
13．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．
(1)请写出该二次函数图象的三条性质；
(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2)523
a ≤<． 【解析】
【分析】
(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；
(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数
2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.
【详解】
(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；
(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，
∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，
364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，
∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，
∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，
画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，
可知当4x =时，26330x x a -++≥，
∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为
523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.
14．在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0)．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；
(3)应用：如图2，P(m ，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n ＝﹣1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122
y y +)．
【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；
(3)点N(
43，﹣73
)． 【解析】
【分析】 (1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解；
(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；
(3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标．
【详解】
(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；
(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，
∴S四边形OMAD＝S△OBM；
(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，
解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，
由(2)知：点N是PQ的中点，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：
45
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，
解得：
1
1 k
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，
直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，
同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，
联立①②并解得：x＝﹣4
3
，即点Q(﹣
4
3
，
1
3
)，
∵点N是PQ的中点，
由中点公式得：点N(4
3
，﹣
7
3
)．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用
(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．
15．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的
值．
【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或
【解析】
试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；
（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；
②根据抛物线翻折理论即可解题；
（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题
试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
∴对称轴为y=2；
∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y=﹣5；
将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，
（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，
则x=2时，y=2或者﹣2；
当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
∴a=或；
考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换。