人教A版(2023)高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用 教学设计

人教A版（2023）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计
第四章指数函数与对数函数
4.5 函数模型的应用（一）
一、内容与内容解析
1.内容
教科书例3 和例4，利用已知函数模型解决实际问题的基本过程。

2.内容解析
函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。

本节课是函数模型的应用的第1课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用。

通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此利用合适的函数模型、刻画现实问题的变化规律。

本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会利用数学函数模型解决实际问题的一般过程。

在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养。

本节课的教学重点：利用已知函数模型解决实际问题，初步体验数学建模的基本步骤。

二、目标与目标解析
1.目标
能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图像及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确利用合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养。

2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能明确教科书例3 中的数学关系，认识指数增长模型；
（2）能利用教科书中的例题数据，求解模型中的年平均增长率；（3）检验求得的模型并作出预测，提升学生的数学建模素养。

三、教学问题诊断分析
首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图像和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。

教学时可以多从两个方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律。

(
1
)
其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯。

在教学中，可以鼓励学生使用信息技术进行复杂的运算求解，多元联系地表示数学对象并分析问题，从而逐步形成利用信息技术研究实际问题的意识。

本节课的教学难点：利用合适的函数类型解决实际问题。

四、教学支
持条件分析
为了帮助学生克服建立函数模型时计算的困难，教学时充分利用信息技术的计算、作图、列表等功能，处理实际数据、便捷地求解，让学生将主要精力投入在定性和定量地分析问题上。

五、教学过程设计
（一）例题教学
(
rt
)例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一些列相关政策提供依据。

早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型y y0e ，其中t表示经过的时间，y0 表示t=0 时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。

（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950 年末、1959 年末的人口总数分别为55196 万和67207 万。

根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国1950-1959 年间的具体人口增长模型；
（2）利用（1）中的模型计算1951-1958 年各年末的人口总数。

查阅国家统计局网站公布的我国在1951-1958
年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符；（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13 亿？师生活动：
教师引导学生审题、建模、求解、检验，尝试完成此问题,合作总结答题思路和题型特征。

设计意图：
例题教学关注例题本身承载的教学目的，让学生明确，利用题目中给定的数据，可以求解给定的模型中的年平均增长率r，从而建立我国的具体人口增长模型。

问题1：请结合教科书149 页思考框的问题进一步思考：对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
师生活动：
教师提供真实数据，即我国1990 年的人口数，直到2023 年才突破13 亿，设置疑问，学生通过对比数据的差异，讨论交流产生差异的原因，进一步完成整个数学建模的过程。

设计意图：
教师进一步引导学生分析影响数据差异的因素，使学生认识到数学模型的建立过程不仅仅是求解，还是需要检验和修正，才能更好地应用模型来解决实际问题。

例 2 2023 年，考古学家对良渚古城水利系统中的一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14 年代学检测，检测出碳14 的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
问题2：根据题目条件，你能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？追问：
科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14 在内的放射性
物质，碳14 的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”。

死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14 按确定的规律衰减，半衰期为5730 年。

这也是考古中常用碳14 来推断年代的原因。

那么，碳14 的变化规律属于哪种常用的函数模型呢，如何利用已知数据建立具体的数学函数模型？
师生活动：
教师可以提出追问，进一步指导学生结合题目条件，选择合适的函数模型，并利用题目给出的数据建立正确的数学模型，为下一步利用已得出的模型解决问题铺垫。

设计意图：
追问意在引导学生做出函数图象，并结合函数性质做出初步判断，从而实现将实际问题向函数模型转
化。

问题4：如何利用已得出的模型解决问题，给出本题的正确解答？师生活动：
教师引导学生分析题目已知的条件，在学生尝试给出解答的基础上，帮助学生利用计算工具，计算求解得出正确结果。

设计意图：
教师进一步引导学生分析实际问题，并根据函数模型相应的性质求解模型，给出正确解答。

（二）课堂练习
问题5：完成教科书150 页练习1,3
师生活动：
教师结合两道例题的教学情况让学生进行练习，并根据学生的解答情况，给出应有的指导，或提供正确的解答。

设计意图：
促进学生进一步应用函数解决实际问题，并从中评价学生达成教学目标的情况。

（三）小结
问题6：通过解答以上两道例题的实际问题，你能归纳出利用已知函数模型解决实际问题的基本过程吗？
设计意图：
总结利用已知函数模型解决实际问题的基本过程，提升解决实际问题的能力。

（四）布置作业
教科书P150 练习第2 题，习题4.5 第10 题。