2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高一(实验班)上学期期中数学试题(解析版)

安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班）上学期期中数
学试题
一、单选题
1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ⎧
⎫<
⎨⎬⎩
⎭
B ．A I B =∅
C ．A U B 3|2x x ⎧
⎫=<⎨⎬⎩
⎭
D ．A U B=R
【答案】A
【解析】由320x ->得3
2
x <
，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<I I ，
选A ．
点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
2．已知函数()f x 是偶函数，且在区间[]0,1上是减函数，则(0.5)f -、(1)f -、(0)f 的大小关系是( )
A ．()()()0.501f f f -<<-
B ．()()()10.50f f f -<-<
C ．()()()00.51f f f <-<-
D ．()()()100.5f f f -<<-
【答案】C
【解析】∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C. 3．设函数3,1,
()2,1,x
x b x f x x -<⎧=⎨
≥⎩
若344f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则b 等于（ ） A ．1 B ．
78 C ．
34
D ．
12
【答案】A
【解析】根据题意计算出334f b ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，再按b 的情况进行分类讨论，代入函数的解析式，求出b 的值，得到答案. 【详解】
因为3,1,()2,1,
x
x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩， 所以334344f b b ⎛⎫=⨯-=-
⎪⎝⎭
， 若2b ≤，则31b -≥， 此时()333244b
f f f b -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得1b =
若2b >，则31b -<，
此时()()334312544f f f b b b b ⎛⎫
⎛⎫=-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
， 解得8
5
b =
，不符合2b >，故舍去 所以综上所述，1b = 故选：A 【点睛】
本题考查根据分段函数的值求参数，属于简单题. 4．已知幂函数的图象过点，则函数
的值域为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：
的图象过点
，值域为
【考点】幂函数值域
5．若函数1
()(3)2
x
f x a a =-⋅是指数函数,则1()2
f 的值为( ) A ．2 B ．-2
C ．22-
D ．2【答案】D
【解析】根据指数函数的定义可得12a ﹣3＝1，a ＞0，a ≠1，先求出函数解析式，将x 12
=代入可得答案． 【详解】
解：∵函数f （x ）＝（
1
2
a ﹣3）•a x 是指数函数，
∴
1
2
a ﹣3＝1，a ＞0，a ≠1， 解得a ＝8， ∴f （x ）＝8x ， ∴f （
1
2
）8==22， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了指数函数的定义：形如y ＝a x （a ＞0，a ≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念． 6．已知函数()(
)
()21ln
1931,.lg2lg 2f x x x f f ⎛⎫
=+-++= ⎪⎝⎭
则
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】D
【解析】试题分析：设
lg2a =，则
1
lg
ln22
a =-=-，
()()(
)
2ln
1931f a f a a a +-=+-++
()()
222
ln 1931ln 1992ln122a a a a ⎛⎫+-++=+-+=+= ⎪⎝⎭
，所以
()1lg2lg 22f f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，所以答案为D.
【考点】1.对数函数的运算律；2.换元法. 7．函数2()log 21x
f x =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】函数可化为()()()
22log 21,0log 12,0
x x
x f x x ⎧->⎪
=⎨-<⎪⎩，所以函数当0x >时，函数为增函
数，当0x <时，函数为减函数，可排除A 、B ，结合图象可知0x <时，()0f x < ，排除D ，故选C.
8．设定义在区间(),b b -上的函数()1lg 12ax
f x x
+=-是奇函数（a ，R b ∈，且2a ≠-），则b a 的取值范围是（ ） A
．(
B
．(
C
．(
D
．(
【答案】A
【解析】试题分析：由题意22
2
111()()lg lg lg 0121214ax ax a x f x f x x x x +--+-=+==-+-，所以222
1114a x x
-=-，2
4a =，因为2a ≠-，所以2a =，由12012x x +>-得1122x -<<，所以1
02
b <≤
，1212b a <≤，故选A ．
【考点】函数的奇偶性．
【名师点晴】已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f （x ）±
f （－x ）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 9．已知集合4
{|
0}1
x A x R x -=∈≤+，2{|(2)(1)0}B x R x a x a =∈---<，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．{1}[2,)+∞U
D ．(1,)+∞ 【答案】C
【解析】试题分析：由A 中不等式变形得()()410x x -+≤，且10x +≠，解得：
14x -<≤，即(]1,4A =-；由B 中不等式解得：221a x a <<+，即
()22,1,B a a A B =+=∅Q I ，所以分两种情况考虑：当B =∅时，221a a =+，即
1a =；当B ≠∅时，则有24a ≥或211a +≤-，即2a ≥，综上，则实数a 的取值范
围为{}[)12,+∞U ，故选C ．
【考点】1、集合的表示；2、集合的交集及其应用．
10．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y ＝10e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时 )，y 表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( ) A ．640 B ．1 280 C ．2 560 D ．5 120 【答案】B
【解析】试题分析：细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，所以1个细菌经过7小时的培养可使细菌能达到27=128个
则10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数1280。

【考点】指数型函数的实际应用；数列应用。

点评：本题主要考查了有理数的乘方，细菌培养60分钟，细菌个数为21；培养2个小时，细菌个数为22；…；培养n 小时，细菌个数为2n ，学生做题时总结出此规律是解本题的关键，属于基础题．
11．已知幂函数()a f x x =的图象经过点()2,4，则下列命题中不正确的是（ ） A ．函数图象过点(1,1)-
B ．当[1,2]x ∈-时，函数()f x 取值范围是[0,4]
C ．()()0f x f x +-=
D ．函数()f x 单调减区间为(,0)-∞ 【答案】C
【解析】根据题意计算出a 的值，然后根据幂函数的性质对四个选项进行判断，从而得到答案. 【详解】
因为幂函数()a
f x x =的图象经过点()2,4，
所以42a =，解得2a = 所以幂函数()2
f x x =，
所以函数图像过()1,1-，故A 选项正确，
[]1,0x ∈-单调递减，[]0,2x ∈单调递增，
所以当[1,2]x ∈-时，函数()f x 取值范围是[0,4] 故B 选项正确，
()2f x x =为偶函数，故C 选项错误，
()2f x x =在(,0)-∞上单调减区，故D 选项正确.
故选：C. 【点睛】
本题考查幂函数的图像和性质，属于简单题.
12．已知函数在(
)
2
0.5()log 65f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(5,)+∞ B ．[5,)+∞
C ．(,3)-∞
D ．(3,)+∞
【答案】B
【解析】先得到()f x 的定义域，然后区分出()f x 的内外层函数，根据复合函数单调性：同增异减，得到内层函数的单调性，从而判断出a 的取值范围，得到答案. 【详解】
函数(
)
2
0.5()log 65f x x x =-+ 则2650x x -+> 解得1x <或5x >
故()f x 定义域为()(),15,-∞+∞U ， 外层函数为0.5log y t =，是单调减函数 内层函数为265t x x =-+，
所以()f x 要满足在(,)a +∞上为减函数，则内层函数在(,)a +∞上需为增函数 且()(),15,x ∈-∞⋃+∞ 所以得到5a ≥， 故选：B. 【点睛】
本题考查根据复合函数的单调性求参数的范围，求对数型复合函数的定义域，属于简单题.
二、填空题
13．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)2
m 2m 3x ＋－的图象不过原点，且关于原点对称，则m ＝
________. 【答案】-2
【解析】根据函数为幂函数，可知函数的系数为1，从而可求m 的取值，再根据具体的幂函数，验证是否符合图象不过原点，且关于原点对称即可． 【详解】
由题意，m 2+3m+3=1 ∴m 2+3m+2=0 ∴m=﹣1或m=﹣2
当m=﹣1时，幂函数为y=x ﹣4，图象不过原点，且关于y 轴对称，不合题意；
当m=﹣2时，幂函数为y=x ﹣
3，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；
故答案为-2 【点睛】
本题以幂函数性质为载体，考查幂函数的解析式的求解．函数为幂函数，可知函数的系数为1是解题的关键．
14．设()lg f x x =，若(1)()0f a f a -->，则实数a 的取值范围为________. 【答案】1(0,)2
【解析】首先判断函数的定义域和单调性，不等式等价于()()1f a f a ->，利用函数性质解不等式. 【详解】
函数()f x 的定义域是()0,∞+ ，并且函数是单调递增函数，
()()()()101f a f a f a f a -->⇒-> 1001a a a a
->⎧⎪∴>⎨⎪->⎩
，解得：102a <<.
故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查根据函数的性质解抽象不等式，意在考查函数基本性质简单应用，解抽象不等式时，需注意函数的定义域.
15．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范
围是__________. 【答案】(1,3)-
【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1|)(2)f x f x f ->⇔->，又因为
()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以|1|2x -<，解得13x -<<.
【考点】本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.
16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)2f =，且(1)(6)f x f x +=+，则
(10)(4)f f +=________.
【答案】－2
【解析】根据(1)(6)f x f x +=+得到5T =，得到()()100f f =，()()41f f =-，再根据奇函数的性质得到()0f 和()1f -的值，从而得到答案. 【详解】
因为()f x 满足(1)(6)f x f x +=+， 所以()f x 是周期函数，周期5T =， 所以()()()1050f f f ==，()()41f f =- 因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()00f =，()()112f f -=-=-， 所以()()()()104012f f f f +=-=-， 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数的值，属于简单题.
三、解答题
17．(1)计算：
(2log (2；
(2)已知2lg
lg lg
2
x y
x y -=+，求(3log x y
-. 【答案】（1）1-（2）1-
【解析】（1）方法一：利用对数的定义，将对数转化为指数形式，然后得到答案，方法
二：根据对数的运算性质，将真数分子有理化，然后得到答案；（2）根据对数运算公式，
得到2
2x y xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，从而得到3x y =＋
(
(
(33log log 3x
y --＝＋，通过计算，得到答案. 【详解】
(1)方法一：利用对数定义求值：
设(
(2log 2x =，
则(
(1
222x
-===+，
∴1x =-.
方法二：利用对数的运算性质求解：
(
(
(
(
)
(231
22log 2log log 21+--==+=-.
(2)由已知得2
lg lg 2x y xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭，
∴2
2x y xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 即2
2
60x xy y -+=.
∴2
610x x y y ⎛⎫⎛⎫
-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
∴3x
y
=±. ∵0,0,0,x y x y ->⎧⎪
>⎨⎪>⎩
∴1x
y
>，
∴
3x
y
=＋
∴(
(
(33log log 3x
y
--＝＋
(
3=log -
((1
3=log 3---
1=-.
【点睛】
本题考查对数的运算求值，对数的性质，属于简单题.
18．函数2()log (21)x
f x =+
（1）求证：()f x 在R 上是增函数.
（2）若函数2()log (21)(0)x
g x x =->是关于x 的方程()()g x m f x =+在[1,2]有解，
求m 的取值范围.
【答案】（1）见解析； （2）22
133
5log log ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
，. 【解析】（1）根据函数单调性的定义即可证明函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内单调递增； （2）将方程g （x ）=m+f （x ）转化为m=g （x ）﹣f （x ），然后求出函数g （x ）﹣f （x ）的表达式，即可求出m 的取值范围． 【详解】
1）（1）任设x 1＜x 2，()()(
)(
)
11
2
21222221
212121
x x x x f x f x log log log +-=+-+=+，
∵x 1＜x 2，
∴1202121x x ++＜＜，
∴12221
021
x x log ++＜，
即f （x 1）＜f （x 2），
即函数的在定义域上单调递增．
2）由g(x)=m ＋f(x)，∴()()22log 121x m g x f x ⎛
⎫
=-=- ⎪+⎝⎭
， 当1≤x≤2时，
2225213x ≤≤+，12313215
x ≤-≤+， 221335m log log ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦，
【点睛】
本题主要考查函数单调性的定义以及对数函数的图象和性质，考查逻辑推理能力与运算能力．
19．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(
12x x )＝f(x 1)－f(x 2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
【答案】（1）0
（2）函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数
（3）{x|x>9或x<－9}
【解析】解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f(1)＝f(x 1)－f(x 1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则12
x x >1. 由于当x>1时，f(x)<0，所以f(12
x x )<0，即f(x 1)－f(x 2)<0， 因此f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
(3)令x 1＝9，x 2＝3，由f(12x x )＝f(x 1)－f(x 2)，得f(93
)＝f(9)－f(3)， 而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以f(|x|)<f(9)，即|x|>9，解得x>9或x<－9，
因此原不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．
20．已知函数f(x)
.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设F(x)＝
f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．
【答案】（1）
，2]；（2）g(m)
＝12,211,2222m m m m m m ⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪≤- . 【解析】(1)由1010
x x +≥⎧⎨-≥⎩ 解不等式可得函数的定义域，先求得(
)22f x ⎡⎤=+⎣⎦
结合2011x ≤-≤，可得()224f x ⎡⎤≤≤⎣⎦，结合()0f x ≥即可得到函数()f x 的值域； (2) 令()f x t =， 可得()21,2,22
F x mt t m t ⎡⎤=+-∈⎣⎦，根据二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想即可得到结论.
【详解】
(1)要使函数f(x)有意义，需满足1010
x x +≥⎧⎨-≥⎩ 得－1≤x≤1. 故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．
∵[f(x)]2＝2＋221x - ，且0≤21x -≤1，
∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，
∴2≤f(x)≤2，
即函数f(x)的值域为[2，2]．
(2)令f(x)＝t ，则t 2＝2＋221x -，
则21x -＝t 2－1，
故F(x)＝m(
12t 2－1)＋t ＝12
mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]， 令h(t)＝12
mt 2＋t －m ， 则函数h(t)的图像的对称轴方程为t ＝－
1m . ①当m>0时，－1m
<0，函数y ＝h(t)在区间[2，2]上递增， ∴g(m)＝h(2)＝m ＋2.
②当m ＝0时，h(t)＝t ，g(m)＝2；
③当m<0时，－1m >0，若0<－1m
≤2， 即m≤－22
时，函数y ＝h(t)在区间[2，2]上递减， ∴g(m)＝h(2)＝2，
若2<－1m ≤2，即－22
<m≤－时， g(m)＝h(－
1m )＝－m －12m
；
若－1
m
>2，即－
1
2
<m<0时，
函数y＝h(t)在区间
，2]上递增，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2. 综上，g(m)
＝
1
2,
2
11
,
22
2
m m
m m
m
m
⎧
+>-
⎪
⎪
⎪
--<≤-
⎨
⎪
⎪
≤-
⎪
⎩
【点睛】
分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
21．已知0
a>，函数()(0)
a
f x x x
x
=+>，证明：函数()
f x
在上是减函数，
在)
+∞上是增函数．
【答案】证明见解析
【解析】设
12
,x x是任意两个正数，且
12
0x x
<<，化简()()
12
f x f x
-，
分别在
上和)
+∞上，对各因式的正负进行判断，得到()1
f x和()2
f x的大小关系，进行证明.
【详解】
设
12
,x x是任意两个正数，且
12
0x x
<<，
则()()
1212
12
a a
f x f x x x
x x
⎛⎫⎛⎫
-=+-+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()
12
12
12
x x
x x a
x x
-
=-．
当
12
0x x
<<≤12
0x x a
<<，
又120
x x
-<，
所以()()
12
f x f x
->，即()()
12
f x f x
>，
所以函数()f x
在(上是减函数；
12x x ≤<时，12x x a >，
又120x x -<，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
所以函数()f x
在)
+∞上是增函数． 所以综上所述，函数()f x
在(
上是减函数，在)
+∞上是增函数．
【点睛】
本题考查定义法证明函数的单调性，属于简单题.
22．
（本题10分）已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =++-
（1）判断函数的奇偶性
（2）若()lg ()f x g x =，判断函数()g x 在(0,1)上的单调性并用定义证明
【答案】（1）偶函数（2）略 【解析】()22
12221212122112122111,11,1,1+2()lg(1)lg(1)()()+4
2()lg(1)lg ()()16
1,
)()1(1)()()10,0
)(x x x x f x x x f x f x f x x g x g x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x g ⎧-<<∴∈-⎨⎩
-=-++=∴=-=∴=-+<<-=---=+-<<∴+>->∴-Q Q 1+>023.解：（）由得1->0又为偶（）任取0<则g(0<g(2)0
()01+10
x g x >∴在（，）上单调递减。