安徽省蚌埠市第二中学2020学年高三上学期期中考试数学(文)试题

蚌埠二中2019-2020学年第一学期期中测试高三数学试题（文科）
试卷分值：150分 考试时间 120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答题卡相应位置.
1.已知全集U=，{}{}{}
2,1,21≥=≤=<<-=x x C x x B x x A ，则集合C=（ ）
A. A ∩B
B. ∁U （A ∩B ）
C. ∁U （A ∪B ）
D. A ∪（∁U B ）
2.若复数满足5)21(=-z i ，则复数在复平面上的对应点在第( )象限
A.一
B.二
C.三
D.四
3.已知命题 p ：x R ∃∈，使012
<++x x ；命题:q x R ∀∈，都有1+≥x e x
．下列结论中正确的是（ ）
A. 命题“ p q ”是真命题
B.命题“ p ∧⌝q ”是真命题
C. 命题“p q ”是真命题
D.命题“pq ”是假命题
4.公差不为0的等差数列{}n a ，若83=a ，且731,,a a a 成等比数列，若其 前n 项和为n S ，则10S =（ ）
A.130
B.220
C.110
D.170 5.直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为（ ）
A ．
6π B ．3π C ．2
π
D ．
3
2π
6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题： “今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问 几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3，a=1．那么在①处应填（ ） A. T ＞2S ？ B. S ＞2T ？ C. S ＜2T ？ D. T ＜2S ？
7.袋子中有四张卡片，分别写有“祖、国、强、盛”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“祖”“国”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“祖、国、强、盛”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
第6题图
A.
9
2 B.
18
5 C.
3
1 D.
18
7 8.已知与椭圆121822=+y x 焦点相同的双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为3
4
=
e ，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点2F 的距离为12，N 为2MF 的中点，O 为坐标原点，则NO 等于（ ） A ．
23
B ．
C ．3
D ．
9.已知直线1y =与函数()sin()(0)3
f x x π
ωω=->的相邻两交点间的距离为，
则函数()f x 的单调递增区间为( )
A.5[,]6
6
k k ππππ-+
()k Z ∈ B.5[,]1212k k ππ
ππ-+()k Z ∈
C.511[,]66
k k ππ
ππ+
+()k Z ∈ D.511[,]1212k k ππππ++()k Z ∈
10.函数2ln x x y x
=
的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
11.正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧棱长是底面边长的2倍，体积为1V ，其外接球的体积为2V ，则
1
2
V V =（ ）A. π49
B. π6
C. π1255
D.π2
6
12．已知函数()()⎩
⎨⎧≥+-<=0,320,x a x a x a x f x ，满足对任意12x x ≠，都有
1212()()
0f x f x x x -<-成立，则的取值范围是( )
A.()1,0∈a
B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,43a
C.⎥⎦⎤ ⎝
⎛∈43,0a D.⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈2,4
3a
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.()()()()
=⊥-===x c b a c b x a 则足条件满若向量,2,4,3,1,,2______．
14.函数()x x x f +=3
2在点()()1,1f 处的切线方程为 ．
15.某校高三年级共有25个班，学校心理咨询室为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到25, 现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为60, 则抽到的最小编号为________. 16.已知奇函数))((R x x f y ∈=满足：对一切()()x f x f R x -=+∈11,，且[]1,0∈x 时，
=-=)]2019([,1)(f f e x f x 则 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答；第22,23题为选做题，考生根据要求作答. (一)必做题:每小题12分，共计60分.
17.(本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且a c A b -=2cos 2. （1）求∠B 的大小；
（2）若1b a =
=，求△ABC 的面积．
18.(本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=2. （1）求证：A 1C//平面AB 1D ； （2）求三棱锥B 1—ADC 1的体积.
19.(本小题满分12分）
某地方教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，实行百分制，其中80分以上（包括80分）认定阅读素养优良，现将得到的成绩按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，图中a=4b ． （1）求a ，b 的值；
（2）若本次抽取的样本数据中有40名女生，其中阅读素养成绩优良的有11人，完成下面2×2列联表，并判断能否有90％的
把握认为该校阅读素养成绩优良与性别有关？
附：()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2，其中n=a+b+c+d ．
20.(本小题满分12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为36
，一个顶点是()1,0.
（1）求椭圆的方程；
（2）若坐标原点为O ，直线m x y l +=:交椭圆C 于不同的两点，，求AOB ∆面积的最大值. 21.(本小题满分12分）已知定义在上的函数()x
e ax x
f -=3
，其中为大于零的常数．
(1)当13
a =
时，令()()x
e x
f x h +'=，求证：当(0,)x ∈+∞时，()2ln h x e x ≥（为自然对数的底数）； (2)若函数()0≤x f 对()+∞∈,0x 恒成立，求实数的取值范围．
(二)选做题：共10分，请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11x mt
y t =+⎧⎨=-⎩
（m ∈R ，t 为参数）．以坐标原点O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 上的点到直线l 1，求实数m 的值． 23．[选修4-5：不等式选讲](10分)
已知函数()22-++=x a x x f （其中R a ∈）． （1）当4-=a 时，求不等式()6≥x f 的解集；
（2）若关于的不等式()x a x f --≥252
恒成立，求的取值范围．
蚌埠二中2019-2020学年高三年级第一学期期中测试
文科数学参考答案及评分标准
一．选择题：
二．填空题：
13. 1 14. 047=--y x 15. 2 16. e
e --31
三、解答题： 17．（本题满分12分）
解：（1）a c A b -=2cos 2 ,由正弦定理得
A C A
B sin sin 2cos sin 2-= --------------------2分
A
B A A B sin )sin(2cos sin 2-+=∴A B A B A A B sin sin cos 2cos sin 2cos sin 2-+=∴0
sin cos sin 2=-∴A B A ，0sin ≠A 2
1
cos =∴B
又角为三角形的内角，故3
B π
=
--------------------6分
（2）根据正弦定理，知
sin a b
sinA B
=
，即1sin 3
sinA π=， ∴1sin 2A =
，又3B π=，⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈∴32,0πA ∴6A π= --------------------9分 故C ＝2
π
，△ABC
的面积＝12ab =分
18.（本题满分12分） 解：
（I ）证明：连接A 1B ，设A 1B∩AB 1 = E ，连接DE. ∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且AA 1 = AB ， ∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C.
∵DE 平面AB 1D ，A 1C 平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D. ----------------------6分
（II ）解：∵正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点,∴平面B 1BCC 1⊥平面ABC ，且AD ⊥BC ， ∴AD ⊥平面B 1BCC 1，
∴3
3
2322213131111111=⨯⨯⨯⋅=⋅==∆--AD S V V DC B DC B A ADC B . ------------12分 19．（本题满分12分）
解：（1）由频率分布直方图得：
，
解得a=0.024，b=0.006． ------------4分 （2）
()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
2
2
)706.2912.067334060381129221002
<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=
不能有90％的把握认为该校阅读素养成绩优良与性别有关 . ------------12分
20．（本题满分12分）
解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知1=b ，
且323612
22222222=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-=-==a a a b a a c e ，解得32
=a
所求椭圆方程为.13
22
=+y x ------------4分 （2）设()()2211,,,y x B y x A
将m x y +=代入椭圆方程，
整理得033642
2
=-++m mx x ，4
33,2322121-=-=+∴m x x m x x ------------- 6分
()()
03344622
>-⨯-=∆m m 即22<<-m ，又
222
42643342311m m m AB -=-⨯
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=------------------- 8分
且O 到直线l 的距离2
m d =
------------------- 9分
2
42621212
m m d AB S ⋅
-⋅=⋅=()22443m m -=23244322=-+⋅m m
当且仅当2
24m m -=时，即2±=m 时，取“=”，
AOB ∆的面积最大值为
2
3
------------------- 12分
21．（本题满分12分） 解：(Ⅰ) 因为3
1()3
x f x x e =
-，所以2()x f x x e '=------------------------1分 所以()()2
x e x f x h x
=+'=，令2
()2ln ,(0)F x x e x x =->
x
e x e x x e x x F ))((222)(+-=-
='∴------------------------3分
所以()0;),()0x F x x F x ''∈≤∈+∞≥
所以当x =
, ()F x 取得极小值，F 为()F x 在(0,)+∞上的最小值
因为2
2ln 0F e =-=
所以2()2ln 0F x x e x F =-≥=，即2
2ln x e x ≥---------------------6分
（Ⅱ）∵函数()03
≤-=x
e ax x
f 对()+∞∈,0x 恒成立，即3x
e a x
≤对()+∞∈,0x 恒成立，
令()()0,3>=x x e x g x 则()()4
3x
e x x g x
-='，30<<∴x 时，()0<'x g ，()x g 在()3,0单调递减； 3>x 时，()0>'x g ，()x g 在()+∞,3单调递增()()27
33
min
e g x g ==∴，
27
03
e a ≤<∴. ---------------------12分
22．（本题满分10分）
解：（Ⅰ）由⎩
⎨
⎧-=+=t y mt
x 11消去t ，得)1(1y m x -=-，得x+my-m-1=0，
所以直线l 的普通方程为x+my-m-1=0． --------------------2分
由θρcos 2-=，得θρρcos 22-=，代入⎩⎨⎧==y x θρθρsin cos ，得
x y x 222-=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为
1)1(2
2=++y x ． --------------------5分
（Ⅱ）曲线C ：1)1(2
2=++y x 的圆心为C （-1，0），半径为r=1，
圆心C （-1，0）到直线l ：x+my-m-1=0的距离为1112+---=
m m d ，
若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为15+ ，
则15+=+r d ，即1
511
2
2+=++--m m ，解得
21
=
m ．--------------------10分
23.（本题满分10分）
解：（1）当a=-4时，求不等式f （x ）≥6，即为|2x-4|+|x-2|≥6， 所以|x-2|≥2，即x-2≤-2或x-2≥2，
原不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥4}． --------------------5分 （2）不等式f （x ）≥5a 2-|2-x|即为|2x+a|+|x-2|≥5a 2-|2-x|，
即关于x 的不等式|2x+a|+|4-2x |≥5a 2
恒成立．而|2x+a|+|4-2x |≥|a+4|，所以|a +4|≥5a 2
， 解得a +4≥5a 2或a +4≤-5a 2，解得15
4
≤≤-a 或φ∈a ． 所以a 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-1,54 --------------------10分
（其它解法请根据以上评分标准酌情赋分）。