概率论与数理统计第二章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初

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第二章
1.解:X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

X =2对应于一种情形:(1,1),则{}
1
126636
P X

X =3对应于两种情形:(1,2)、(2,1),则{}
2
1
366
18P X ; X =4对应于三种情形:(1,3)、(2,2)、(3,1),则{}
31466
12
P X
; X =5对应于四种情形:(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1),则
{}
41
5669P X ; X =6对应于5种情形:(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1),则
{}
5566636P X ; X =7对应于6种情形:(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1),则
{}
61766
6
P X
; 类似地,可以算得
{}
5
586636P X ,{}41
9669P X ,{}
311066
12
P X
, {}
21116618P X
,{}11
126636P X 。

因此,X 的分布律为
[()]()
,,,{}
[()]()
,,,||
,,,,,166167 , 237
36363666167 , 8912363667
234111236
i i i i P X i i i i i i
2.解:设随机变量X 表示产品质量的等级,X 的可能取值为1,2,3。

由题可知,
一级品数量:二级品数量:三级品数量=2 :1 :0.5= 4 :2 :1, 因此可求得X 的分布律为
1234
217
7
7
k
X P 3.解:X 的可能取值为0,1,2,3,4,其取值概率为
{}.007P X ,{}...10307021P X ,{}....20303070063P X
, {}
.....30303030700189P X
,{}
(403030303)
00081P X 。

即X 的分布律为
.....012340702100630018900081k X P 。

6.解:X 的可能取值为1,2,3,其取值概率为
2435
3
{1}
5
C P X C ,2335
3
{2}
10
C P X C ,2235
1{3}
10
C P X C ; 即X 的分布律为
1233315
10
10
k
X P 。

8.解:设X 表示发生交通事故的次数,则(1000 , 0.0001)X B 。

由于1000n

较大,0.0001p
比较小,所以X 近似服从泊松分布,且
0.1np。

那么
{2}1{0}{1}
1
0.90480.09050.0047
P X P X P X 。

9.解:(1)0.5
0.50.52
{0.5}
()20.25P X f x dx
xdx
x ;
(2)由课本31页的性质2,可知{0.5}
0P X ;
(3)当0x 时,()
()00x
x
F x f t dt dt ;
当01x 时,0
220
()
()02x
x x F x f t dt
dt
tdt
t x ; 当1x
时,0
1120
1
()()0201x
x F x f t dt dt tdt dt
t

所以X 的分布函数为
20 , 0()
, 011 , 1
x
F x x x x。

10.解:元件使用1500h 后失效(即元件的寿命不超过1500h )的概率为:
1500
1500
150021000
1000
1000
10001{1500}
()3
P X f x dx
dx x
x ; 设Y 表示5个元件在使用1500h 后失效的个数,则1
(5 , )3
Y B ,因此恰有2个元件失
效的概率为:
2
3
25
1280{2}
3
3243
P Y C 。

11.解:(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续函数,所以有
2
1
1
1
lim ()
lim ()
lim (1)x
x
x
F x F x Ax F ,
即有A=1;
(2)由分布函数的性质1,有
22
{0.30.7}(0.7)(0.3)
0.70.30.4P X F F ;
(3)由课本38页的(2-14)式,有
2 , 01
()()
0 , x x f x F x 其他。

12.解:(1)由课本31页的性质1,有
()22[]21x
x x f x dx
Ae dx
A
e dx
A e A ,
即有1
2
A
; (2)由于X 的概率密度函数是分段函数1 , 0
2()
1 , 0
2
x
x
e x
f x e x ,因此
当0x 时,
111()
()22
2
x
x
x
t t x
F x f t dt
e dt e e , 当0x
时,
11111()()1
2
22
2
2
x x
x t t t t x
F x f t dt
e dt e dt e e e ;
所以X 的分布函数为
1 , 0
2
()
11 , 0
2
x
x e x F x e x。

13.解:(1)由课本37分布函数的性质2,可得到
()lim ()lim (arctan )()lim ()lim (arctan )02
1
2
x x x x F F x A B x A B F F x A B x A B ππ→-∞→-∞→+∞→+∞⎧
-∞==+=-=⎪⎪⎨
⎪+∞==+=+=⎪⎩ , 因此,可求得,11 2A B π=
= ,即()arctan 11
2F x x π
=+ ; (2)由分布函数的性质1,有
{}{}()()1111112
P x P x F F <=-<<=--=
; (3)由课本38页的(2-14)式,有
()()(arctan )2
1111
21f x F x x x
ππ''==+=+ 。

14.解:对于实系数一元二次方程()2
0 0ax bx c a ++=≠,其有实根的充分必要条件为
240b ac -≥。

因此,方程2230x Tx ++=有实根的充要条件是()22430T -⨯≥,也就
是要求随机变量T 满足2
3T ≥
,亦即 T T ≤≥
或[,]2 4T U -,所以方
程有实根的概率为
{}{{{242
3 1 16P T P T T P T P T dx dx -≥=≤≥=≤+≥=+=-

或 。

15.解:依题意,可知()1200X
E ,其中,(),200
1 0200
0 x
e x
f x -⎧>⎪
=⎨⎪⎩
其他
; (1){}1001100
200
200
2
011001200
x x P X e dx e
e -
-
-
≤=
=-=-⎰

(2){}3200
2002
300300
1300200
x x
P X e dx e e
+∞
+∞
--->==-=⎰ 。

17.解:(,)3 4X N ,可知,3 2μσ==;
(2){}()()()()().ΦΦΦΦΦ933339332310997422
P X ----<<=-=--=-= ; (3)
{}{}{}[(
)()][(.)(.)]
[(.)(.)].ΦΦΦΦΦΦ2121222323
122
10525 1250506977P X P X P X >=-≤=--≤≤---=--=----=--= 。

18.解:钢材的强度(,)2200 18X
N ,其中,200 18μσ==;
(1){}(
)(.)(.).ΦΦΦ180200
180111111110866518
P X -≥=-=--== ; (2)由于{}()(.).%ΦΦ150200
1501278099739918
P X -≥=-==>,因此这批钢材合
格。

19.解:先计算如下表格
sin 111 44202200
1
k P X Y X Y X
π
ππππ
=--= 因此,可求得随机变量函数的分布为:
2 0 1114
4
2
k
Y X P π
ππ=-- ,
sin 0 1 314
4
k
Y X
P = 。

20.解:设Y 的分布函数为()Y F y ,由于(,)23 4X
N
,其概率密度函数表达式为
()()22
324x X f x --
⨯=
,可先求得Y 的分布函数:
(){}{
}{}()3
43434
Y X X F y P Y y P y P X y F y -=≤=≤=≤+=+; 则有
()()()()()2
2
2
43324
2
434434y y X Y Y X dF y f y F y f y dy +--
-⨯+'===+==
, 这显然是标准正态分布的概率密度函数,也就是说(,)0 1Y
N 。

一般来说,若(,)2 X
N μσ,则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布,并且
(,)22 Y
N a b a μσ+,特别地,(,)0 1X Y N μ
σ
-=。

21.解:设Y 的分布函数为()Y F y ,则
(){}{ln }{}()y y Y X F y P Y y P X y P X e F e =≤=≤=≤=,
因此,Y 的概率密度函数为
()()()(),(,)()22 1y y
y y X
Y Y X y dF e e f y F y e f e y dy e π'====∈-∞+∞+。

(注意:0 , (,)y
e y )。

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