2011年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学和理科数学整编卷详细解析(精品回顾)

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2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞） （2）复数2
12i i
-=+（A ）i
（B ）-i
（C ）（D ）
43
55
i
--43
55
i -+（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A)(B) (C) (1,0)
(1,)
2π
(1,2
π
-(D)(1，)
π（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12
（C ）
13（D ）2
（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论：
AD+AE=AB+BC+CA ；
○1回归往日精品，再现今日辉煌
AF·AG=AD·AE
○2③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是
（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③
（6）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为
（A ，C 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装
第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是
（A ）75，25 （B ）75，16 （C ）60，25 （D ）60，16 (7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
(A) 8 (B) (C)10 (D) （8）设,，,.记为平行四边形()0,0A ()4,0B ()4,4C t +()(),4D t t R ∈()N t ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为
()N t
（A ） （B ） {}9,10,11{}9,10,12（C ） （D ） {}9,11,12{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在中。

若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；
ABC ∆4
B π
∠=a=_______________。

（10）已知向量a =
1
），b =（0，-1），c =（k 。

若a -2b 与c 共线，则k=___________________。

（11）在等比数列{a n }中，a 1=
，a 4=-4，则公比q=______________；1
2
_________________。

12...n a a a +++=(12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。

（用数字作答）
(13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实
32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
根，则数k 的取值范围是_______
（14）曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数 a 2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F PF 的面积大于
a 。

122
12
其中，所有正确结论的序号是 。

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数。

()4cos sin()16f x x x π
=+-（Ⅰ）求的最小正周期：
()f x
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

()f x ,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦（16）（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，
P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD .
2,60AB BAD =∠=
(Ⅰ)求证：平面
BD ⊥;PAC （Ⅱ）若求与所成角的余弦值； ,PA AB =PB AC （Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长. PBC PDC PA （17）本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。

（注：方差，其中为，()()()
2222
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-++-⎢
⎥⎣⎦ x 1x 2x ，…… 的平均数）
n x
（18）（本小题共13分） 已知函数。

2
()()x k
f x x k e =-（Ⅰ）求的单调区间；
()f x （Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。

(0,)x ∈+∞()f x 1
e
k （19）（本小题共14分）
已知椭圆.过点（m ,0）作圆的切线l 交椭圆G 于A ，B
2
2:14x G y +=221x y +=两点.
（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将表示为m 的函数，并求的最大值. AB AB (20)(本小题共13分)
若数列满足，数列为12,,...,(2)n n A a a a n =≥11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-n A E 数列，记=.
()n S A 12...n a a a +++（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；
10s a a ==()s S A E n A （Ⅱ）若，n=2000，证明：E 数列是递增数列的充要条件是=2011； 112a =n A n a （Ⅲ）对任意给定的整数n （n ≥2），是否存在首项为0的E 数列，使得n A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列；如果不存在，说明理由。

()n S A n A
2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出四个选项中，选出符合题
目要求的一项。

（1） 已知全集U=R ，集合{
}
2
1P x
x =∣≤，那么U P = (A)(,1-∞-)
(B)(1,+∞)
(C)（-1，1)
(D)()()11-∞,-,+∞
（2）复数2
12i i
-=+
(A)i
(B )i -
(C)43
55
i -
- (D)4355
i -
+ （3）如果112
2
log log 0x y <<，那么
（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << （4）若p 是真命题，q 是假命题，则
（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题
(C)p ⌝是真命题
(D)q ⌝是真命题
（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积
是
(A)32
(B)16+ (C)48
(D)16+
（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

若每批生产x 件，则平均
仓储时间为
8
x
天，且每件产品每天的仓储费用为1元。

为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （A ）60件 (B)80件 （C ）100件
（D ）120件
（8）已知点()()0,2,2,0A B 。

若点C 在函数2
y x =的图象上，则使得ABC A 的面积为2的点C 的个数为 （A ）4 (B)3
(C)2 (D)1
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在ABC A 中，若1
5,,sin 43
b B A π
=∠=
=，则a = .
（10）已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b =
.
（11）已知向量(01),(a b c k ==-=。

若2a b -与c ，共线，则k
=
.
（12）在等比数列{}n a 中，若141
,4,2
a a ==则公比q = ；
12n a a a ++⋯+=
.
（13）已知函数 若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实
根，则实数k 的取值范围是
.
（14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。

记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不
含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则(0)N =
； ()N t 的所有可能取值为。

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数()4cos sin( 1.6
f x x x π
=+-
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值。

（16）（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X 表示。

（Ⅰ）如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； （Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19
的概率。

（注：方差___
2
222
121[()()()],n s x x x n
x x x =-+-+⋯+-其中_x 为1x ，2x ，⋯n
x 的平均数） （17）（本小题共14分）
如图，在四面体PABC 中，,,PC AB PA BC ⊥⊥点
,,,D E F G 分别是棱,,,AP AC BC PB 的中点。

（Ⅰ）求证：DE //平面BCP ；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；
（Ⅲ ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点 的距离相等？说明理由。

（18）（本小题共13分）
已知函数()()x
f x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值。

（19）（本小题共14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y G a b a b
+=>>1
的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -。

（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）求PAB A 的面积。

（20）（本小题共13分）
若数列12,:,(2)n A a a a n ⋯≥满足1k k a a +|-|=1 (1,2,,1)k n =⋯-，则称n A 为E 数列。

记12()n n S A a a a =++⋯+。

（Ⅰ）写出一个E 数列5A 满足130a a ==；
（Ⅱ）若112,2000a n ==，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =；
（Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()0n S A =成立的n 的最小值。