高一数学《3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式》2新课程(新课标人教A版)必修四

3.
规律方法 解决这类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值
问题转化为特殊角的三角函数求值问题．将非特殊角转化为特
殊角的和与差的形式，再运用公式求解．
【变式 2】 求下列各式的值：
2cos (1)
50°＋sin cos 20°
20°；
(2)sin 1π2－
π 3cos 12.
解
(1)
2cos
50°＋sin cos 20°
若不注意三角形的内角和为 180°，即不认真讨论角 的范围，就会多出一个错误答案 cos C＝5665.处理的方法是找出 正弦函数值与 sin A＝35最接近的角 30°和 45°以及余弦函数值与 cos B＝153最接近的角 60°和 90°，切忌找的角范围过大或过小．
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证明 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A、B、C 均小于 90°，A＋B＝180°－C， tan(180°－C)＝tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB， tan A＋tan B＝－tan C(1－tan Atan B)， tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C ＝tan Atan Btan C＝右边． ∴原式成立．
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
3cos
2π 3 cos
x－
2π 3sin 3 sin x

＝cos

3π＋2cos
3π－
3sin
2π
3
sin

x＋

sin

π3－2sin
π3－
3cos
2π
3
cos

x
＝12＋1－ 3× 23sin x＋ 23－ 3＋ 23cos x＝0.
题型二 给角求值问题
【变式 4】 已知 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的内角．求证： tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C. 证明 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A、B、C 均小于 90°，A＋B＝180°－C， tan(180°－C)＝tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB， tan A＋tan B＝－tan C(1－tan Atan B)， tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C ＝tan Atan Btan C＝右边． ∴原式成立．
②除了公式的正用、逆用外，还要注意公式的变形应用 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， 如 tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan (α＋β)， tan(α＋β)－tan a－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， 1－tan αtan β＝tatannα＋α＋tanββ. 1＋tan αtan β＝tatannα－α－tanββ.
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
【变式 1】 化简：sin(x＋3π)＋2sinx－3π－ 3cos23π－x. 解 原式＝sin xcos 3π＋cos xsin 3π＋2sin xcos 3π－2cos xsin π3－
6＋ 4
2 .
(2)sin 105°＝sin(60°＋45°)
＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°
＝ 23× 22＋12× 22＝
6＋ 4
2 .
(3)tan 75°＝tan(45°＋30°)＝1t－ant4a5n°4＋5°ttaann3300°°
1＋ ＝
1－
3 33＝2＋ 3
想一想：如何化简 tan2π－β呢？ 提示 因为 tan 2π的值不存在，不能利用公式 T(α－β)，所以改用 诱导公式来解．
tan2π－β＝csoinsπ2π2－－ββ＝csoins
β β.
名师点睛
1．对两角和与差的正弦公式的理解
(1)sin(α＋β)是指 α＋β 终边上任一点的纵坐标与原点到这点的距
【例 2】 求下列各式的值：
(1)cos(－15°)； (2)sin 105°； (3)tan 75°.
[思路探索] 把所给角化成特殊角的和与差的形式．
解 (1)cos(－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝ 22× 23＋ 22×12＝
离之比．
(2)和差角的正弦公式不能按分配律展开，即
sin(α＋β)≠sin α＋sin β，
如 sinπ3＋π6≠sin
π3＋sin
π 6.
(3)牢记公式并能熟练地将左、右两边互化．例如化简 sin 20°cos
50°－sin 70°cos 40°，能迅速观察出此式等于 sin(20°－50°)＝
题型一 三角函数式的化简 【例 1】 化简：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]． [思路探索] 观察角发现 2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α. 解 原式＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)] ＝sin (α＋β)cos α－12[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋ β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α－12×2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.
【变式 3】 已知 tan α、tan β 是 x2＋3 3x＋4＝0 的两根，－π2 <α<2π，－π2<β<π2，求 α＋β 角． 解 ∵tan α＋tan β＝－3 3<0， tan α·tan β＝4>0，∴tan α<0，tan β<0， ∵－π2<α<π2，－2π<β<2π， ∴－π2<α<0，－π2<β<0. ∴－π<α＋β<0， ∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3， ∴α＋β＝－23π.
这个解答看似正确，其实没有慎重讨论角的范围．
[正解] ∵sin A＝35，∴cos A＝±45.∵cos B＝153，∴sin B＝1123，于 是 cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝35·1123－153·(±45)．即 cos C＝1665或 cos C＝5665.但12<sin A＝35< 22， ∴30°<A<45°或 135°<A<150°.又∵0<cos B＝153<12，∴ 60°<B<90°，∴90°<A＋B<135°或 195°<A＋B<245°(舍去)．从而 cos C＝5665应舍去，故 cos C＝1665.
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β
.
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
20°
＝
2cos
30°＋20°＋sin cos 20°
20°
＝
3cos
20°－sin 20°＋sin cos 20°
20°＝
3；
(2)sin 1π2－
3cos
1π2＝2(12sin
1π2－
3 2 cos
1π2)＝2(cos
π 3sin
1π2－
sin
π 3cos
1π2)＝2sin (1π2－π3)＝2sin(－π4)＝－2sin
.
想一想：你能结合三角函数诱导公式，由公式 C(α＋β)或 C(α－β)推 导出公式 S(α－β)吗？ 提示 sin(α－β)＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－αcos β－sinπ2－αsin β ＝cos βsin α－cos αsin β.
题型四 两角的积差公式在三角形中的应用 【例 4】 已知△ABC 中，tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，且 3 tan A＋ 3tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC 的形状． 审 题 指 导 先用公式tan A＋B及条件 ――求―出―→A＋B ――再―求―→∠C ――最―后―→ 求出B、A ――从―而―→ 判断出△的形状 【题后反思】 在解决三角形中的问题时，A＋B＋C＝π 肯定要用 到，与诱导公式结合利用它寻找角之间的关系减少角．
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【课标要求】 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公 式，并灵活运用． 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正 切公式． 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用． 【核心扫描】 1．利用两角和与差的正、余弦、正切公式进行化简求值．(重点) 2．两角和与差的正弦公式、余弦、正切公式形式．(重难点) 3．公式的逆用．(难点)
误区警示 不讨论角的范围而出错 【示例】 已知在△ABC 中，sin A＝35，cos B＝153，求 cos C. [错解] ∵sin A＝35，∴cos A＝±45.∵cos B＝153，∴sin B＝1123，于 是 cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝35·1123－153·(±45)． 故 cos C＝1665或 cos C＝5665.
4π＝－
2.Leabharlann 题型三 给值求角 【例 3】 已知锐角 α、β 满足 sin α＝ 55，cos β＝31010，求 α＋β. [思路探索] 应先求 α＋β 某一个三角函数值．再利用 α＋β 范围求 解，特别注意 α＋β 范围的缩小及三角函数的选取． 解 ∵α、β 为锐角，且 sin α＝ 55，cos β＝31010， ∴cos α＝ 1－sin2α＝ 1－15＝255， sin β＝ 1－cos2β＝ 1－190＝ 1100，
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
sin(－30°)＝－sin 30°＝－12.
(4)公式中 α、β 有一个角为π2的整数倍时，利用诱导公式较为简便．
2．正切公式的逆用及变形用 ①注意公式的逆用，比如： 1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝tanα＋β－α＝tan β， 又如11＋ －ttaann αα＝1t－ant4a5n°4＋5°ttaannαα＝tan(45°＋α)．