高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式学案文北师大版

第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
(对应学生用书第78页)
[基础知识填充]
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b ＞0⇔a ＞b a ，b ∈R ，a －b ＝0⇔a ＝b a ，b ∈R ，
a －
b ＜0⇔a ＜b a ，b ∈R ；
(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧
a
b
＞1⇔a ＞b a ∈R ，b ＞0，a
b ＝1⇔a ＝b
a ∈R ，
b ＞0，a b ＜1⇔a ＜b
a ∈R ，
b ＞0.
2．不等式的性质
(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；
a >
b ，
c >
d ⇒a ＋c >b ＋d ；
(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；
a >
b ，
c <0⇒ac <bc ；
a >
b >0，
c >
d >0⇒ac >bd ；(单向性)
(5)乘方法则：a >b >0⇒a n
>b n
(n ≥2，n ∈N )； (6)开方法则：a >b >0⇒
n
a >n
b n ≥2，n ∈N )．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b 2
－4ac
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c
(a >0)的图像
一元二次方程
ax 2＋bx ＋c ＝0
(a >0)的根
有两相异实根
x 1，x 2(x 1<x 2)
有两相等实根
x 1＝x 2＝－b
2a
没有实数根
ax 2＋bx ＋c >0
(a >0)的解集
{x |x <x 1 或x >x 2}
{x |x ≠x 1} R
ax 2＋bx ＋c <0
(a >0)的解集
{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅
[知识拓展] 1．有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则 (1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m
a －m
(b －m ＞0)
(2)a b ＞
a ＋m
b ＋m ；a b ＜a －m
b －m
(b －m ＞0)
2．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a ＞0且Δ＜0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a ＜0且Δ＜0. 3．简单的分式不等式 (1)
f x
g x ≥0⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
f x ·
g x ≥0，g x ≠0；
(2)f x
g x ＞0⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
f x
g x ＞0，g x ≠0.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a >b ⇔ac 2
>bc 2
.( ) (2)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c
.( )
(3)若不等式ax 2
＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )
(4)若方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集为R .( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒
3
a >3
b ；
④a >b >0⇒1a 2>1b
2.
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac <bd ，故②不正确；因为函数y ＝x 13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2
>0，
所以1a 2<1
b
2，所以④不正确．]
3．(2018·洛阳模拟)若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2
>b 2
B ．a b
>1 C ．2a
>2b
D ．lg(a －b )>0
C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，
D ．故选C ．]
4．(2015·广东高考)不等式－x 2
－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)
(－4,1) [由－x 2
－3x ＋4>0得x 2
＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2
－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]
5．若不等式mx 2
＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． [0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；
②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，
Δ＝4m 2
－4m <0，
得0<m <1，
由①②知0≤m <1.]
(对应学生用书第79页)
不等式的性质及应用
A ．1x －1
y
>0
B ．sin x －sin y >0
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y
<0
D ．ln x ＋ln y >0
(2)已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．
(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y
<0，
故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1
y
<0，故A 错误；函数
y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错
误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误． (2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，
f (－2)＝4a －2B ．
设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋n ＝4，m －n ＝－2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝1，
n ＝3，
∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，
即f (－2)的取值范围为[5,10]．]
[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设
F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．
[变式训练1] (1)(2018·衡阳模拟)若1a <1
b
<0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab <b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
(2)若角α，β满足－π
2
<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) 【导学号：00090185】
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0
C ．⎝
⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0 (1)D (2)B [由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D
错误，选D ．
(2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π
2，
∴－3π2<α－β<3π
2.
又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π
2
<α－β<0.]
一元二次不等式的解法
(1)3＋2x －x 2
≥0； (2)x 2
－(a ＋1)x ＋a <0.
[解] (1)原不等式化为x 2
－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，
故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. 6分
(2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1).
12分
[母题探究] 将(2)中不等式改为ax 2
－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集．
[解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a (x －1)<0.3分
所以当a >1时，解集为1
a
<x <1；
当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解集为1<x <1
a
.
10分
综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
1<x <
1
a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；
当a >1时，不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
a <x <1
. 12分 [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[变式训练2] (1)(2018·沈阳模拟)已知不等式ax 2
－bx －1>0的解集是
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x | －12<x <－13
，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是(
) 【导学号：00090186】
A ．{x |2<x <3}
B ．{x |x ≤2或x ≥3}
C ．⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |
13<x <12
D ．⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪
⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x <13或x >12
(2)解不等式12x 2
－ax ＞a 2
(a ∈R )
B [(1)∵不等式ax 2
－bx －1>0的解集是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |
－12<x <－13
，
∴ax 2
－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
－12－13＝b
a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝－1a ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－6，
b ＝5.
则不等式x 2
－bx －a ≥0即为x 2
－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. (2)原不等式可化为12x 2
－ax －a 2
＞0 即(4x ＋a )(3x －a )＞0 即⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋a 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －a 3＞0 当a ＞0时，－a 4＜a
3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪ x ＜－a 4或x ＞
a
3； 当a ＝0时，x 2
＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，－a 4＞a
3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜a 3或x ＞－
a
4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜－a 4或x ＞
a
3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜a 3或x ＞－
a
4.]
一元二次不等式恒成立问题
角度1 f x x (2018·张掖模拟)不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数
a 的取值范围是__________________．
(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，
当a ≠2时，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
a －2<0，
Δ＝4a －22
＋16a －2<0，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
a <2，－2<a <2，
∴－2<a <2.
综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] 角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围
设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4
m －6<0在x ∈[1,3]上恒
成立.
3分
有以下两种方法：
法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4
m －6，x ∈[1,3]．
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <6
7；
7分
当m ＝0时，－6<0恒成立；
当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.
综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪⎪⎪
m <
6
7
. 12分
法二：因为x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
>0，
又因为m (x 2
－x ＋1)－6<0，所以m <6
x 2
－x ＋1
.
7分
因为函数y ＝
6
x 2－x ＋1＝
6⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <6
7即可．
所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪⎪⎪
m <
6
7
. 12分
角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围
对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2
＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．
{x |x <1或x >3} [对任意的k ∈[－1,1]，x 2
＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2
－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．
只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－5x ＋6>0，x 2
－3x ＋2>0，
解得x <1或x >3.]
[规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．。