2019-2020年高二上学期第一次月考理科数学纯含解析

2019-2020年高二上学期第一次月考理科数学纯含解析
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一、选择题（题型注释）
1．在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为（ ） A.99 B.49 C.102 D. 101 【答案】D. 【解析】
试题分析：∵11=a ，21=-+n n a a ，∴数列}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴
10150151=+=d a a .
考点：等差数列的通项公式.
2．已知等比数列{}n a 中，74=a ，216=a ，则8a 的值 （ ） A.35 B.63 C.321 D. 321± 【答案】B. 【解析】
试题分析：∵等比数列{}n a ，∴74=a ，216=a ，∴34
6
2
==
a a q ，63268==q a a . 考点：等比数列的通项公式.
3．在ABC ∆中，
120,3,33===A b a ， 则B 的值为（ ）
A. 30
B. 45
C. 60
D.
90 【答案】A. 【解析】
试题分析：由正弦定理，
2
1
sin sin sin =⇒=B B b A a ，又∵ 600<<B ，∴ 30=B . 考点：正弦定理解三角形.
4．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ,若3a +9a =6，则=11S ( ) A.12 B.33 C.66 D.99
【答案】B. 【解析】
试题分析：∵等差数列}{n a ，∴332
11
)(211)(9311111=⋅+=⋅+=a a a a S .
考点：等差数列的性质与前n 项和.
5．在△ABC 中，若2
2
tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 【答案】B. 【解析】
试题分析：由正弦定理可得，B B A A B A B
B A A
b a B A cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin tan tan 2
222
=⇒=⇒= sin 2sin 2A B ⇒=，∵A ，),0(π∈B ，∴π=+B A 22或B A 22=，即2
π
=+B A 或
B A =，
∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.
考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形 6．2005是数列7,13,19,25,31,
,中的第（ ）项.
A.332
B. 333
C.334
D.335 【答案】C. 【解析】
试题分析：由题意可知，数列是首项为7，公差为6的等差数列，∴设2005为数列的第n 项，则
3346)1(72005=⇒⋅-+=n n .
考点：等差数列的通项公式.
7．在ABC ∆中，8=b ，38=c ，316=∆ABC S ，则A ∠等于 （ ） A.
30 B.
60 C.
30或
150 D.
60或
120 【答案】C. 【解析】
试题分析：∵2
1
sin sin 21=⇒=∆A A bc S ABC ，又∵ 1800<<A ，∴ 30=A 或 150. 考点：正弦定理.
8．在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ ） A.45 B.75 C.180 D.300 【答案】C. 【解析】
试题分析：∵等差数列}{n a ，∴56473822a a a a a a a =+=+=+，又∵
45076543=++++a a a a a ，
∴
450)(2
5
82=+a a ，即18082=+a a . 考点：等差数列的性质.
9．一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A.63 B.108 C.75 D.83 【答案】A. 【解析】
试题分析：∵等比数列}{n a ，n S ，n n S S -2，n n S S 23-也成等比数列，即
)()(2322n n n n n S S S S S -⋅=-，
∴633=n S .
考点：等比数列的性质.
10．△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，则=B c o s （ ） A.
41 B.43 C.42 D.3
2
【答案】B. 【解析】
试题分析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴ac b =2，又∵a c 2=，∴222a b =，
∴4
3
22242cos 222222=⋅-+=-+=
a a a a a ac
b
c a B . 考点：余弦定理的变式.
第II 卷（非选择题）
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二、填空题（题型注释）
11．已知等差数列{}n a 的公差为3，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a = . 【答案】9-. 【解析】
试题分析：∵等差数列}{n a ，且公差为3，∴62113+=+=a d a a ，93114+=+=a d a a ， 又∵1a ，3a ，4a 成等比数列，∴12)9()6(1112
1412
3-=⇒+=+⇒=a a a a a a a ，∴
912-=+=d a a .
考点：1.等差数列的通项公式；2.等比中项的性质.
12．在等差数列}{n a 中，前n 项和n S ，若1010=S ，3020=S ，则30S ＝ . 【答案】60. 【解析】
试题分析：∵等差数列}{n a ，10S ，1020S S -，2030S S -也成等差数列，即
)()(22030101020S S S S S -+=-，
∴6030=S .
考点：等差数列的性质.
13．在数列}{n a 中，11=a ，n n a n n
a 1
1+=+ ，则}{n a 的通项公式 . 【答案】n
a n 1=. 【解析】 试
题
分
析
：
∵
n
n a n n a 1
1+=
+，∴
)2(1
1≥-=-n n
n a a n n ，∴
n
a a a a a a a a a a n n n n n 1
11223211=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=
---)2(≥n ， 而当1=n 时，也符合n a n 1=
，∴数列}{n a 的通项公式为n
a n 1
=. 考点：累乘法求数列的通项公式.
14．数列1
21，241，38
1
，4161，…的前n 项和为 . 【答案】
221
22
n n n ++-. 【解析】
试题分析：由题意可知，数列的前n 项和n n n S 2
1
814121321+⋅⋅⋅++++
+⋅⋅⋅+++= 2
11
(1)(1)2122122212
n n
n n n n -+++=+=--. 考点：分组求数列的和.
15．已知数列{}n a 是一个公差不为0等差数列，且22=a ，并且3,6,12a a a 成等比数列，则
1
4332211111+++++n n a a a a a a a a =________． 【答案】1
1
n +. 【解析】
试题分析：∵等差数列}{n a ，∴d d a a +=+=223，d d a a 42426+=+=，
d d a a 10210212+=+=，
又∵3a ，6a ，12a 成等比数列，∴1)102)(2()42(2
1232
6=⇒++=+⇒=d d d d a a a ， ∴
n
d n a a n =-+=)2(2，∴
)
1(132121111111433221+++⨯+⨯=+++++n n a a a a a a a a n n 1
1113121211+=
+-+⋅⋅⋅+-+-=n n
n n . 考点：1.等差数列的通项公式；2.等比中项的性质；3.裂项相消法求数列的和.
三、解答题（题型注释）
16．在△ABC 中，已知32=a ，6=b ，
30=A ，求B 及S ABC ∆.
【答案】 60=B ,36=∆ABC S 或
120=B ，33=∆ABC S . 【解析】
试题分析：由正弦定理
B
b A a sin sin =
及题中数据可知23sin =B ，结合)180,0(
∈B 及由b a <可得B A <，因此可知 60=B 或 120=B ，当 60=B 时，
90=C ,36sin 21==
∆C ab S ABC ，
当 120=B 时， 30=C ，33sin 2
1
==∆C ab S ABC . 试题解析：由正弦定理
B b
A a sin sin =得23213
23sin sin =
⨯==A a b B ∵ 1800<<B 且b a <，∴B A <，∴ 60=B 或 120， 当 60=B 时， 90=C ,36sin 2
1
==
∆C ab S ABC ，当 120=B 时， 30=C ，33sin 2
1
==
∆C ab S ABC . 考点：正弦定理解三角形.
17．已知等差数列}{n a 满足：64=a ，106=a . (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设等比数列}{n b 的各项均为正数，n T 为其前n 项和，若11=b ，33a b =，求n T .
【答案】（1）22-=n a n ；（2）21n
n T =-.
【解析】
试题分析：（1）由条件中等差数列}{n a 可知，242246=⇒=⇒=-d d d a a ，再由等差数列通项公式的变式：d m n a a m n )(-+=，可知)(22)4(4+∈-=-+=N n n d n a a n ；（2）
由（1）可知423233=-⋅==a b ，再由条件中正项等比数列}{n b 可知241
3
2=⇒==
q b b q ，再由等比数列的前n 项和的公式可知1(12)
2112
n n n T -=
=--. 试题解析：（1）∵等差数列}{n a ，∴设公差为d ，242246=⇒=⇒=-d d d a a ，
)(22)4(4+∈-=-+=N n n d n a a n ；
（2）由（1）可知423233=-⋅==a b ，又∵正项等比数列}{n b ，∴241
3
2=⇒==
q b b q ，
∴1(12)
2112
n n n T -=
=--. 考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的前n 项和. 18．设}{n a 是公比为q 的等比数列，推导}{n a 的前n 项公式. 【答案】详见解析. 【解析】
试题分析：由等比数列n a ，公比为q ，可知1
1-=n n q a a ，因此考虑采用错位相减法来求其
前
n 项和：
1
12111-++++=n n q a q a q a a S ①，①q ⨯，得：
n n n q a q a q a q a q a qS 11131211+++++=- ②，
①-②，得n
n q a a S q 11)1(-=-，∴当1≠q 时，q
q a S n n --=1)
1(1，当1=q 时，1a a n =，
1na S n =，
即⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q
q a q na S n n .
试题解析：∵等比数列}{n a ，公比为q ，∴1
1-=n n q a a ，
∴
1
12111-++++=n n q a q a q a a S ①，①q ⨯，得：
n n n q a q a q a q a q a qS 11131211+++++=- ②，
①-②，得n
n q a a S q 11)1(-=-，∴当1≠q 时，q
q a S n n --=1)
1(1，当1=q 时，1a a n =，
1na S n =，
综上所述，⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n .
考点：错位相减法求数列的和.
19．在数列{}n a 中，若)1(12,111≥+==+n a a a n n ，设1+=n n a b ，
（1）求证：数列}{n b 是等比数列； （2）分别求{}n a ，}{n b 的通项公式.
【答案】（1）详见解析；（2）12-=n n a ，n
n b 2=.
【解析】
试题分析：（1）欲证数列}{n b 是等比数列，只需证明n n qb b =+1，而条件中给出了数列}{n a 的一个递推公式，因此需结合1+=n n a b ，得到数列}{n b 的递推公式：
)1(2122111+=+⇒+=+++n n n n a a a a ，即2111=+=a b ，n n b b 21=+，从而数列}{n b 是
以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可知n n n b b 2211=⋅=-，再由条件1+=n n a b 即可得121-=-=n
n n b a .
试题解析：（1）∵121+=+n n a a ，∴)1(2122111+=+⇒+=+++n n n n a a a a ，又∵
1+=n n a b ，
∴2111=+=a b ，n n b b 21=+，即数列}{n b 是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，n n n b b 2211=⋅=-，又∵1+=n n a b ，∴121-=-=n
n n b a .
考点：1.等比数列的证明；2.数列的通项公式. 20．在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小;
（2）求2
2cos cos()A A C +-的取值范围. 【答案】（1）3
π
=B ；（2）(0,2].
【解析】
试题分析：（1）条件中给出的关系式(2)cos cos a c B b C -=是边角之间的关系式，因此考虑采用正弦定理进行边角互化，将其统一为角之间的关系式：
(2)cos cos a c B b C -=(2sin sin )cos sin cos A C B B C ⇒-=
12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π
⇒=+=⇒=
⇒=；
（2）由（1）可知3
2π=+C A ，因此可以将表达式2
2cos cos()A A C +-转化为只与A 有关的三角表达式，再利用三角恒等变形将其化简，结合
203A π
<<
即可求得取值范围：2222cos cos()2cos cos(2)(cos 21)3
A A C A A A π
+-=+-=+
1(cos 22)
2A A +-+12cos 21sin(2)126
A A A π
=
++=++，再由
203A π<<
可知32662A πππ<+<，从而21)6
2sin(0≤++<π
A ，即取值范围是(0,2]. 试题解析：（1）∵(2)c o s
c o s
a c B
b C
-=，由正弦定理，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，
即2sin cos sin()sin A B B C A =+=，又∵),0(π∈A ，∴0sin ≠A ，∴1
cos 2
B =， 又∵),0(π∈B ，∴3
π
=
B ；
（2）由（1）得：3
2π
=+C A ， ∴
22212cos cos()2cos cos(2)(cos 21)(cos 22)322
A A C A A A A A π+-=+-
=++-+
12cos 21sin(2)1226
A A A π
=
++=++， 又∵203
A π
<<
， ∴
326
6
2
A π
π
π<+
<
，∴1)6
2s i n (
1≤+<-π
A ，
21)6
2sin(0≤++<π
A ，
即()2
2cos cos A A C +-的取值范围是(0,2].
考点：1.正弦定理解三角形；2.三角恒等变形. 21．已知数列}{n a 的前n 项和12++=n n S n ， （1）写出数列的前5项；
（2）数列}{n a 是等差数列吗？说明理由. （3）写出}{n a 的通项公式.
【答案】（1）31=a ，42=a ，63=a ，84=a ，105=a ； （2）不是等差数列，理由详见解析；
（3）⎩
⎨⎧≥==)2(2)1(3n n n a n .
【解析】
试题分析：（1）题中条件给出了前n 项和n S 的表达式，从而可以利用⎩⎨
⎧=≥-=-)
1()
2(11n S n S S a n n n ，
可以写出数列}{n a 的前5项：311==S a ，437122=-=-=S S a ，
6713233=-=-=S S a ，
81321344=-=-=S S a ，102131455=-=-=S S a ；（2）若数列}{n a 是等差数列，则
须满足d a a n n =-+1对所有的*N n ∈恒成立，而由（1）可知1223a a a a -≠-从而可以说明数列}{n a 不是等差数列；（3）考虑到当2≥n 时，1--=n n n S S a ，当1=n 时，11S a =，可
得)2(2]1)1()1[(12
2≥=+-+--++=n n n n n n a n ，
311==S a ，即数列}{n a 的通项公式为⎩
⎨⎧≥==)2(2)
1(3n n n a n .
试题解析：（1）∵12++=n n S n ，∴311==S a ，437122=-=-=S S a ，
6713233=-=-=S S a ，
81321344=-=-=S S a ，102131455=-=-=S S a ；
由（1）可知，13412=-=-a a ，24623=-=-a a ，∴1223a a a a -≠-，∴数列}{n a 不是等差数列；
（3）∵当2≥n 时，1--=n n n S S a ，∴)2(2]1)1()1[(12
2≥=+-+--++=n n n n n n a n ，
311==S a ，∴数列}{n a 的通项公式为⎩
⎨⎧≥==)2(2)1(3n n n a n .
考点：1.等差数列的判断；2.数列通项公式.。