2013线性代数与解析几何期末试卷(A)含参考答案

南京邮电大学2012/2013学年第一学期
《线性代数与解析几何》期末试卷（A ）参考答案
院(系) 班级 学号 姓名
1. 设n 阶方阵A 满足220A A I --=，则矩阵A 可逆，且1
A -=
1
()2
A I - 2. 设(1012)T
α=-，(0102)β=，矩阵A αβ=，则()r A = 1 . 3. 设123,,ααα与123,,βββ都是三维向量空间3
R 的一组基，且11232βααα=+-，
223βαα=+， 312332βααα=++，则由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵
是101213112⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭
. 4. 设12243311A t -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，B 是三阶非零矩阵，且0AB =，则t = -3 .
5. 过两个曲面22
41x y z ++=和222x y z =+的交线，母线平行于 z 轴的柱面方
程是22222
1(1)016
x y x y ----=.
二、选择题（每题4分，共20分）
1.已知行列式1
112
223
3
3
x y z x y z a x y z =，则111
2223
3
3
62233x z y x z y x z y --=- ( C ) （A ）a - （B ）6a - （C ）6a （D ）3a -
2. 设A ，B 与C 都是n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( D ) （A ）若0AB =，则0A =或0B = （B ）若AB AC =，且0A ≠，则B C =
（C ）22
()()A B A B A B +-=- （D ）
若det 0AB =，则d e t 0A =或det 0B =
装 订
线 内 不 要 答 题
自
觉
遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不
作 弊
3. 设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则 ( B )
（A ）12αα+是0Ax =的解 （B ）112212(1)k k k k αα++=是Ax b =的解 （C ）12αα-是Ax b =的解 （D ）112212(1)k k k k αα++=是0Ax =的解 4. 设3阶矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，对应的特征向量分别为
1(1,1,2)T α=-，2(1,0,1)T α=-，3(1,2,4)T α=-，则100A = ( C )
（A ）A - （B ）I - （C ）I （D ）100A
5.若二次型222
12312312(,,)282f x x x x x x ax x =+++是正定的，则a 的取值范围是( A )
（A ）44a -<< （B ）4a > （C ）4a <- （D ）8a <
三、 ( 8分 ) 设135347122A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，且满足AX A X =-，求X .
解 ()A I X A +=,且1A I +=，所以1()X A I A -=+ ………3分
()A I A +=235135357347123122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭011111012021123122----⎛⎫ ⎪→---
⎪ ⎪⎝
⎭100014010201001110-⎛⎫
⎪→- ⎪ ⎪
-⎝⎭…4分
1014()201110X A I A --⎛⎫
⎪
=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭
…………1分
四、（10分）设向量组()11210T α=-，()21102T
α=，
()3211T
a α=的秩为2， (1)求a 的值；(2)求向量组的一个极大线
性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示出来.
解
1121121121
0121101301301310101300000002020060
06a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
初等行变换初等行变换初等行变换..4 123(,,)2R ααα=，6a ∴=， (2)
且12,αα是一个极大线性无关组，3123ααα=-+ (4)
五、（12分）当a ，b 是何值时，非齐次线性方程组
1231231
233210431033(1)90
x x x a x x x a x x b x +++-=⎧⎪
+---=⎨⎪-+-+=⎩ (1)有唯一解，(2)无解，（3）有无穷多解，并求出其通解。

解 对增广矩阵进行初等行变换
3211()14313319a
A B a
b -⎛⎫ ⎪=-+
⎪ ⎪---⎝⎭112
0551200739a a b a --⎛⎫
⎪→-+
⎪ ⎪--⎝
⎭
………2分 (1) 当7b ≠，方程组有唯一解. ………2分 (2) 当7,3b a =≠时, 方程组无解. ………2分
(3) 当7b =，且3a =时，方程组有无穷多解，………2分
1123()05570000A B --⎛
⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭1018501170000-⎛⎫
⎪→-
⎪ ⎪⎝
⎭
通解为( 1.6,1.4,0)(1,1,1)T
T
x k =-+-，k 为任意常数. ………4分
六、（12分）求一个正交变换，将二次型222
123235222f x x x x x =+++化
为标准形，并指出123(,,)1f x x x =表示什么曲面？
解： 二次型矩阵500021012A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
, (1)
特征多项式
(1)(3)(5)I A λλλλ-=---，
特征值为 1231,
3,5λλλ=== (2)
对11λ=，由1()0I A x λ-=得()10,1,1T
ξ=-
，单位化得)10,1,1T
e =
-
对23λ=，由2()0I A x λ-=得()20,1,1T
ξ=
，单位化得)20,1,1T
e =
， 对35λ=，由3()0I A x λ-=得()31,0,0T
ξ=，单位化得()31,0,0T
e = (6)
取正交变换11223300
100x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，得222
123
35f y y y =++ 方程2
2
2
123123(,,)351f x x x y y y =++=所表示椭球面. (3)
七、（12分）求过点1(2,1,1)M -，2(1,1,2)M 且垂直于平面1
x y z ++=的平面π的方程.
解(法一：点法式) 12{1,2,1}M M =-，已知平面法向量1{1,1,1}n =
所求平面法向量121{1,2,3}n
M M n ⨯=-,取{1,2,3}n =- (9)
所求平面方程为(1)2(1)3(2)0x y z -+---=，即2330x y z +-+=………3 法二：(利用平面束方程)过两点1(2,1,1)M -，2(1,1,2)M 的直线方程
112
:
121
x y z L ---==
-- 改写成一般式：230
:30x y L x z ++=⎧⎨+-=⎩
，
过 L 的平面束方程为 (23)(3)0x y x z λ++++-=
由题设，所求平面与已知平面垂直，有{2,1,}{1,1,1}0λλ+⋅=，得3
2
λ=- 所求平面方程为2(23)3(3)0x y x z ++-+-=，即2330x y z +-+= 法三：(利用一般式方程) 因为平面π过点2(1,1,2)M ，设其方程为 :(1)(1)(2)0A x B y C z π-+-+-=
因为平面π过点1(2,1,1)M -，且与已知平面垂直，所以
装
订 线
内
不 要 答
题
自
觉
遵
守
考 试
规 则，诚
信 考 试，绝
不 作 弊
(21)(11)(12)0
{,,}{1,1,1}0A B C A B C -+--+-=⎧⎨
⋅=⎩
解得::1:2:(3)A B C =- 所求平面方程为2330x y z +-+=
八、(6分) 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵,其中m n >，I 是n 阶单位矩阵，若AB I =，证明B 的列向量组线性无关.
证(法一：用定义) 设12(,,
,)n B βββ=，作线性组合
1121122(,,
,)0n n n n x x x x x ββββββ⎛⎫ ⎪
=++
+= ⎪ ⎪⎝⎭
(2)
即0Bx = 其中12(,,
,)T n x x x x =
左乘矩阵A 得 0ABx Ix ==，从而0x =………3 即120n x x x ==
==，所以B 的列向量组线性无关.
法二：(用矩阵的秩证明)
因为()min{,}r B n m n ≤≤，.........2 又因()()()r B r AB r I n ≥==， (2)
所以()r B n =，即矩阵满秩，从而可知B 的列向量组线性无关. ………2 法三： (用反证法) 设B 的列向量组12,,
,n βββ线性相关，
则12(,,,)n r n βββ<，()r B n ⇒< (2)
于是()()()r I r AB r B n =≤<， (2)
所以不可逆，矛盾！所以B 的列向量组线性无关. (2)。