高考理数母题题源系列 专题12线性规划

【母题来源一】【2016高考浙江理数】
【母题原题】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由
区域
20
340
x
x y
x y
-≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪-+≥
⎩
中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（）A．22B．4 C．32
D．6
【答案】C
【考点】线性规划．
【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．
【母题来源二】【2016年高考四川理数】
【母题原题】设p：
实数x，y满足22
(1)(1)2
x y
-+-≤，q：实数x，y满足
1,
1,
1,
y x
y x
y
≥-
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≤
⎩
则p是q的( )
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．
【命题意图】本类题主要考查学生线性规划有关知识、作图、识图、计算，考查学生数形结合思想的运用．
【考试方向】线性规划问题一般有三种题型。

一是求最值，常考类型包括直线型、距离型、斜率型；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围。

由此不难预测，对目标函数及参数的几何意义的理解和应用仍将是2016年高考考察的重点，且有可能会加强与向量运算、概率的结合。

因此，应给予充分重视。

【得分要点】
1、二元一次不等式所表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：
①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；
②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.
即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，
直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2、由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：
因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤：
①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；
②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断；
③确定要画不等式所表示的平面区域.
【母题1】．设命题:p 220
3600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩
（x ，y ，R k ∈，且0k >）；命题:q ()2
215
x y -+≤
（x，R
y∈）．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．
【答案】02
k
<≤
【考点】简单的线性规划、充分条件与必要条件.
【名师点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p是q的充分不必要条件”转化为两个命题中,p q所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围.
【母题2】已知点)3
,3(A，O为坐标原点，点)
,
(y
x
P满足
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≥
+
-
≤
-
2
3
3
y
y
x
y
x
，则满足条件点P所形成的平面区域的面积为______，在方向上投影的最大值为______.【答案】3，3
x
o
y
360
x y
+-=
x k
=
220
x y
+-=
,2
3
k
A k
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
()
,22
B k k
-
()
0,2
C
考点：1、线性规划；2、投影的概念.
【名师点睛】正确作图，利用向量投影的概念将投影转化为坐标x,y之间的代数式，利用线性规划相关知识求解．
【母题3】设实数x，y满足
20,
250,
20,
x y
x y
y
--≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
则
y x
z
x y
=-的取值范围是．
【答案】
83
,
32
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
．
考点：1、线性规划；2、函数单调性求最值．
2
2
2=
-
-
x
5
2=
-
+y
x
2=
y
)2,1(P
)1,3(
Q
y
x
O
【名师点睛】本题主要考查目标函数求取最值（范围）问题，属困难题．由题给不等式组作
出相应可行域，取目标函数中t
x
y
=，由
x
y
的几何意义：可行域中的点与原点的连线斜率，
可知，t取得最大值和最小值的最优解分别为点P和点Q，从而]2,
3
1
[
∈
t，此时目标函数为t
t
z
1
-
=，结合函数单调性可求∈
z
83
,
32
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
．
【母题4】当实数,x y满不等式组：
22
x
y
x y
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+≤
⎩
时，恒有3
ax y
+≤成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(],3
-∞
【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图所示，因为对任意的实数,x y不等式3
ax y
+≤
恒成立，由图可知斜率0
a
-≥或
30
3
01
AB
a k
-
->==-
-
，解得3
a≤，所以实数a的取值范围是(],3
-∞．
考点：简单的线性规划问题．
【名师点睛】（1）求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的聚会范围进行讨论；（2）在刻有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．
【母题5】设,x y满足约束条件
260
10
10
x y
x y
x
+-≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-≥
⎩
，若z ax y
=+仅在点
74
,
33
⎛⎫
⎪
⎝⎭
处取得最大值，则a的值可以为（）
A．4 B．2 C．2
- D．1
-
【答案】A
考点：简单的线性规划．
【名师点晴】本题主要考查了简单的线性规划及其简单的应用，其中正确、准去作出线性约束条件所表示的可行域，把目标函数化为直线的斜截式方程，利用直线的平移，找到目标函数的最优解是解得问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及属性结合思想的应用，属于基础题．
【母题6】设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121
y x x y x y ，则目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大
值为11，则b a +的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6 D
．8 【答案】B
考点：简单线性规划．
【名师点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≥
-
≥
+
≤
,0
1
2
1
y
x
x
y
x
y
，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数()
00
z abx y a b
=+>>
，的最大值为11，求出a b
，的关系式，再利用基本不等式求出a b
+的最小值．
【母题7】设点(),x y在不等式组
1,
1
40
x
y
x y
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+-≤
⎩
所表示的平面区域上，若对[]
0,1
b∈时，不等式ax by b
->恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．
2
,4
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
2
,
3
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
C．()
4,+∞D．()
2,+∞
【答案】C
考点：简单的线性规划的应用．
【名师点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用及二元一次不等式表示的平面区域的应用，其中根据条件01b <<
时，不等式ax by b ->恒成立，得到(3,1)在直线1a
y x b
<
-的下方，列出不等式关系是解得本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、数形结合思想的应用，属于中档试题．
【母题8】过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22
:1O x y +=的两条切线，切点分别为
,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ）
A ．
95
10
B ．1920
C ．12
D ．910
【答案】D
【解析】由题意可知OBP ∆为直角三角形,且90,2
OBP OPB α
∠=∠=
,
1OB =,1sin
2
OP α
∴=
, 22
2
cos 12sin 12OP
αα∴=-=-． 由数形结合可知当APB α∠=最小时OP 取得最大值．
考点：1线性规划;2直线与圆的位置关系问题．
【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，直线与圆的位置关系,
属于中档题．从同一点引的两条直线与圆相切,由图像分析可得当两切线夹角最小时,此点与圆心的距离最大．即将问题转化为定点()0,0到可行域内点距离的最值问题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．
【母题9】设不等式组3100
60360x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≤⎩
表示的平面区域为D ，若函数log a y x
=（10≠>a a 且）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝
⎛,321,0 B ．[)+∞⋃⎪⎭
⎫⎢⎣⎡,31,2
1
C ．(]3,121,0⋃⎥⎦⎤ ⎝
⎛ D ．(]3,11,2
1⋃⎪⎭
⎫⎢⎣⎡
【答案】A
【解析】画出可行域D ，如图所示，
考点：1．简单线性规划；2．对数函数的图象和性质．
【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键；结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数log a y x =（10≠>a a 且）的图象特征，结合区域上的点即可解决问题．
【母题10】【母题5】已知由不等式组
4
1
x y
x y
x
+≤
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≥
⎩
所确定的平面区域为Ω,则能够覆盖区域Ω的最小圆的方程为 .
【答案】22
(1)(2)1
x y
-+-=
【解析】
考点：1.线性规划；2.圆的方程.
【名师点睛】正确画出可行域为三角形区域，将所求问题转化为求三角形的外接圆方程是解题关键．。