【全程复习方略】(浙江专用)版高考数学 阶段滚动检测(五)课时体能训练 文 新人教A版

阶段滚动检测（五）
第一～八章
（120分钟 150分）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.（滚动交汇考查）若双曲线
22
22
x y
1
a b
-=的渐近线与圆（x-2）2+y2=3相切，则此双曲线的离心率为( )
（A） 1.5 （B）2 （C）3.5 （D）4
2.（滚动单独考查）等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，a2+a4=0，则公差d 为( )
（A）1 （B）-3 （C）-2 （D）3
3.已知双曲线16y2-m2x2=1（m>0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1
5
，则
m＝( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4.设椭圆C1的离心率为5
6
，焦点在x轴上且长轴长为12.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差
的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
（A）
22
x y
1
169
-=（B）
22
x y
1
105
-=
（C）
22
x y
1
916
-=（D）
22
x y
1
510
-=
5．（滚动交汇考查）若直线mx+ny+4=0与圆O：x2+y2=4没有交点，则过点P（m,n）的直线与椭圆
22
x y
1 94
+=
的交点个数为( )
（A）至多一个（B）2
（C）1 （D）0
6.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于( )
（A）1 （B）5
3
（C）2 （D）3
7.（滚动交汇考查）若点F 1、F 2分别为椭圆2
2x y 14+=的左、右焦点，P 为椭圆上的点，若△PF 1F 2的面积为
3
2
，则12PF PF =( ) （A ）0 （B ）114 （C ）－1 （D ）－5
4
8.（滚动交汇考查）若直线ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x 2
+y 2
+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则11
a b
+的最小值是( )
（A 32 （B ） 3 （C ）3 （D ）
13
9.已知点P 是抛物线y 2
=2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A （7
2
，4），则|PA|+d 的最小值是( ) （A ）
72 （B ）4 （C ）9
2
（D ）5 10.已知F 1、F 2分别为双曲线22
22x y 1a b
-=（a>0，b>0）的左、右焦点， M 为双曲线上除顶点外的任意一点，
且△F 1MF 2的内切圆交实轴于点N ，则|F 1N|·|NF 2|的值为( )
（A ）b
2
（B ）a 2 （C ）c
2
（D ）a
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.请把正确答案填在题中横线上)
11.（2012·宁波模拟）若椭圆2222x y 1a b
+=（a>b>0）的左、右焦点分别为F 1,F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2
=2bx
的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为_____.
12.抛物线y=-x 2
上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于______.
13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 4=36，则过点P （n,a n ）和Q （n+2,a n+2）（n ∈N *
）的直线的斜率是________.
14.若椭圆
22
x y 1k+89
+=的离心率e=12，则k 的值为_________． 15.以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭
双曲线的离心率分别是e 1,e 2，则当它们的实轴、虚轴都在变化时，22
12
e e +的最小值是________. 16.（2012·杭州模拟）已知直线l ：2x+4y+3=0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点.若2OQ QP =，则点Q
的轨迹方程是_______.
17.已知双曲线22
22x y 1a b
-=（a>0，b>0）
≤a
，若离心率为e ，则e+1e 的最大值为_______．
三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.（14分）（2012·湖州模拟）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22
22x y 1a b
-=的一个焦点，且与
双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为（
3
2
）.求抛物线与双曲线的方程. 19.（14分）（滚动交汇考查） 已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，且
AF=1， M 是线段EF 的中点． （1）求证：AM ∥平面BDE ； （2）求二面角A-DF-B 的大小．
20.（14分）（滚动单独考查）数列 {a n }的各项均为正数，S n 是其前n 项的和，对任意的n ∈N *
，总有a n ,S n ,2n
a 成等差数列，又记n 2n 12n 3
1
b a a ++=
．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{b n }的前n 项和T n ，并求使T n >
m 150
对n ∈N *
恒成立时最大的正整数m 的值． 21.（15分）设抛物线C 1:x 2
=4y 的焦点为F ，曲线C 2与C 1关于原点对称. （1）求曲线C 2的方程；
（2）曲线C 2上是否存在一点P （异于原点），过点P 作C 1的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且满足|AB|是|FA|与|FB|的等差中项？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（15分）（2011· 浙江高考）如图，设P 是抛物线C 1:x 2
=y 上的动点，过点P 作圆C 2:x 2
+(y+3)2
=1的两条切线，交直线l :y=-3于A,B 两点.
(1)求C2的圆心M到抛物线C1准线的距离；
(2)是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选B．双曲线的渐近线方程为bx±ay=0.
由题意得，圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即=
，故
故离心率
c
e
a
==2.
2.【解析】选C.因为a2+a4=0，所以2a3=0，即a3=0，又因为13
3
a a3
S6
2
+⨯
==
（）
，所以a1=4，所以公差d=31
a a04
3131
--
=
--
=-2.
3.【解析】选C．双曲线的方程可化为
22
2
y x
1
11
16m
-=，
∴a=
1
4
，b=
1
m
，取顶点（0，
1
4
），一条渐近线为mx-4y=0.
∴
1
|4|
1
5
-⨯
=m2+16=25，∴m=3.
4.【解析】选A．由已知得，在椭圆C1中，a=6，c=5，由题易知曲线C2为双曲线,由此可得在双曲线C2中
a=4，c=5，故双曲线C 2中的b=3，双曲线C 2的方程为
22
x y 1169
-=. 5.【解析】选B
>2，整理，得m 2+n 2
<4，故点P （m ，n ）必在椭圆
内，故过该点的直线与椭圆必有2个公共点，故选B.
6.【解析】选C.因为()1333a a S 2
+==6，又因为a 3=4,所以a 1=0,d=31
a a 2- =2.
7.【解析】选D ．不妨设点P （x ，y ）在第一象限，由题意，得F 1（0)，F 20），
12
PF F 121S
|F F |2=
·32，解得y=2
.
代入椭圆方程，得x=1，即点P 的坐标为（1）．
故1PF =（，），2PF =，.
则12PF PF ＝（，·，
=（-1）2
-2
+（-2
）2
=-2+34=-54.
8.【解析】选A ．圆的方程可化为（x+1）2
+（y-2）2
=4，其圆心C （-1，2），半径r=2，由弦长为4可知圆心在直线上，即-a-2b+2=0，即a+2b=2，而
111a b 2+=1112b a
a 2
b (3a b 2a b
++=++（））（）≥13
322+=（，当且仅当2b a
a b
=时取等号，即a=， 9.【解析】选D.设抛物线y 2
=2x 的焦点为F ，则F （12，0）．又点A （72
，4）在抛物线的外侧，且点P 到
准线的距离为d ，所以d=|PF|，则|PA|+d ≥|AF|=5.
10.【解析】选A ．由已知，得|MF 1|-|MF 2|=±2a ，作图，易知|F 1N|-|NF 2|=±2a ，又|F 1N|+|NF 2|=2c ，∴
|F 1N|·|NF 2|=
2
2
2222c 2a)c a b 4
-±=-=（）（.
11.【解析】由题意可知FF 2=
38F 1F 2,即c-b 2 =38×2c ，化简得c=2b,所以c 2
= 4（a 2-c 2
）
，此椭圆的离心率c e a ==
.
12.【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为（x ，-x 2
）
，根据点到直线的距离公式，得
22324
d x 533
=
=-+（），所以当x=23时， d 取得最小值43.
答案：
4
3
13.【解析】设数列{a n }的公差为d ，则有11
212a d 102
434a d 362⨯⎧
+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得d=4,于是直线PQ 的斜率
n 2n
a a k n 2n
+-=
+-=d=4.
答案：4
14.【解析】①若焦点在x 轴上，即k+8>9时，a 2
=k+8，b 2
=9，e 2
=22222
c a b k 11
a a k 84
--===+，解得k=4. ②若焦点在y 轴上，即0<k+8<9时，a 2
=9，b 2
=k+8，e 2
= 22222
c a b 1k 1
a a 94
--===，解得k=-54. 综上，k=4或k ＝-5
4
. 答案：4或-
54
【误区警示】因题目中并没有限定焦点到底在哪个坐标轴上，故一定要分情况讨论.
15.【解析】222
1
2a b e a +=,22222
a b e b +=,则22222222
122222a b a b b a e e 2a b a b +++=
+=++≥2+2=4（当且仅当a=b 时等号成立）.
答案：4
16.【解析】设点Q 的坐标为（x,y ），点P 的坐标为（x 1,y 1）.根据2OQ QP =得 2（x,y ）=（x 1-x,y 1-y ）,
即11
x 3x,y 3y.=⎧⎨=⎩∵点P 在直线l 上，∴2x 1+4y 1+3=0，把x 1=3x,y 1=3y 代入上式并化简，得2x+4y+1=0，即为所
求轨迹方程. 答案：2x+4y+1=0
17.【解析】
≤a
，所以c 2
=(a 2
+b 2
)∈［222
2a a a a 32++，］，即c 2∈［224a 3a ,32］，故22
2
c e a
=∈［43
32，］，故e
，令t=e+1e ,因为t=e+1e 在(1，＋∞)上为增函数，故e+1e 的最大值
18.【解析】由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2
=2px （p>0），将交点
（
32
p=2，故抛物线方程为y 2
=4x ，焦点坐标为（1,0），这也是双曲线的一个焦点，则c=1.又点（32
2296
4a b
-=1.
又a 2
+b 2
=1，解得a 2
=14,b 2=34，因此，双曲线的方程为4x 2-2
4y 3
=1. 19.【解析】（1）记AC 与BD 的交点为O ，连接
OE,
∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，四边形ACEF 是矩形, ∴四边形AOEM 是平行四边形,
∴AM ∥OE.
∵OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE, ∴AM ∥平面BDE.
（2）在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连接BS, 由题易知AB ⊥AF ，又AB ⊥AD ，AD ∩AF=A, ∴AB ⊥平面ADF,
∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影, ∴BS ⊥DF,
∴∠BSA 是二面角A-DF-B 的平面角, 在Rt △ASB 中，
∴tan ∠
ASB=60°, 即二面角A-DF-B 的大小为60°.
20.【解析】（1）∵a n ，S n ，2n a 成等差数列，∴2S n =a n +2
n a
① 当n ≥2时，2S n-1=a n-1+2n-1a
②
由①-②得：2（S n -S n-1）=a n +2n a -（a n-1+2n-1a ）， 即2a n =a n +2n a -a n-1-2n-1a ，
∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0.
又数列{a n }的各项均为正数，∴a n -a n-1=1.
当n=1时，由①得2a 1=a 1+21a ，即a 1（a 1-1）=0
∵a n >0，∴a 1=1.
于是，数列{a n }是首项a 1=1，公差d=1的等差数列， ∴a n =1+（n-1）×1=n ，
即数列{a n }的通项公式为a n =n （n ∈N *
）. （2）由（1）知，a n =n （n ∈N *
）. ∴n 2n 12n 311111b a a 2n 12n 322n 12n 3
++=
==-++++（）
（n ∈N *
）.
n 12n 1111111T b b b 235572n 12n 3=++⋯+=-+-+⋯+-++［（）（）（）］=111232n 3-+（）=n
6n 9
+ >0.
∵2n 12
n T n 16n 96n 15n 9
T 6n 15n 6n 15n
+++++==++>1. 又T n >0，∴T n <T n+1（n ∈N *
），即T n 单调递增, 于是，当n=1时，T n 取得最小值1
15
， 由题意得：
115>m 150
.∴m<10. 由m 是正整数知，最大的正整数m=9.
【变式备选】在等比数列{a n }中,a n >0(n ∈N *
)，公比q ∈(0,1),且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8= 25,又a 3与a 5的等比中项为2.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）是否存在k ∈N *
，使得12n S S S
12n
++⋯+<k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值;若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25,
∴223355
a 2a a a ++=25, ∴(a 3+a 5)2
=25, 又a n >0,∴a 3+a 5=5, 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5=4,而q ∈(0,1), ∴a 3>a 5,∴a 3=4,a 5=1, ∴q=
12,a 1=16,∴a n =16×(12
)n-1=25-n
. （2）∵b n =log 2a n =5-n,∴b n+1-b n =-1, b 1=log 2a 1=log 216=log 224
=4,
∴{b n }是以b 1=4为首项，d=-1为公差的等差数列， ∴()
n n 9n S 2
-=
. （3）由（2）知()n n 9n S 2
-=,∴n S 9n
n 2-=.
当n ≤8时,
n S n >0;当n=9时,n S
n =0; 当n>9时,n S
n
<0.
∴当n=8或9时，312n S S S S
123n ++⋯+有最大值，且最大值为18.
故存在k ∈N *，使得12n S S S 12n
++⋯+<k 对任意n ∈N *
恒成立，k 的最小值为19.
21.【解析】（1）因为曲线C 1与C 2关于原点对称，又C 1的方程x 2
=4y,所以C 2的方程为x 2
=-4y.
(2)设P （x 0,-2
x 4
),x 0≠0,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1≠x 2. y=
14x 2的导数为y ′=12x,则切线PA 的方程为y-y 1=1
2x 1(x-x 1), 又y 1=1421x ,得y=12
x 1x-y 1,
因点P 在切线PA 上，故-1420x =1
2
x 1x 0-y 1.
同理，-1420x =1
2x 2x 0-y 2.
所以直线-1420x =1
2
x 0x-y 经过A ，B 两点，
即直线AB 的方程为-1420x =1
2
x 0x-y,
即y=12x 0x+14
2
0x ,
代入x 2
=4y 得x 2
-2x 0x-20x =0，则x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=-2
0x ,
所以=, 由抛物线定义得|FA|=y 1+1,|FB|=y 2+1. 所以|FA|+|FB|=（y 1+y 2)+2 =
12x 0(x 1+x 2)+ 122
0x +2, 由题设知，|FA|+|FB|=2|AB|, 即(
32
20x +2)2=420
x (8+22
0x ),
解得2
0x 从而y 0=-1420x 综上，存在点P 满足题意，点P 的坐标为
) 或
1323
-). 22.【解题指南】（1）利用抛物线的几何性质可直接求解；
（2）写出切线方程，求出A,B,及抛物线C 1在点P 处的切线与y=-3交点的坐标即可找出关于点P 坐标的关系. 【解析】(1)由题意可知，抛物线C 1的准线方程为: y=-14,所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为： ()134
---= 114. (2)设点P 的坐标为(x 0,20x )，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D.
再设A,B,D 的横坐标分别为x A ,x B ,x D ,
在点P(x 0,20x )的抛物线C 1的切线方程为：
y-20x =2x 0(x-x 0) ① 当x 0=1时，过点P （1,1）与圆C 2相切的直线PA 为： y-1=
158
(x-1). 可得x A =-1715,x B =1,x D =-1,x A +x B ≠2x D . 当x 0=-1时，过点P （-1,1）与圆C 2相切的直线PB 为：
y-1=-
158
(x+1), 可得x A =-1,x B =1715,x D =1,x A +x B ≠2x D . 所以20x -1≠0.
设切线PA ，PB 的斜率为k 1,k 2,则
PA:y-20x =k 1(x-x 0),
② PB:y-20x =k 2(x-x 0), ③ 将y=-3分别代入①,②,③得
20D 0x 3x 2x -= (x 0≠0);20A 01x 3x x k +=-; x B =2002
x 3x k +- (k 1,k 2≠0), 从而x A +x B =2x 0-(20x +3)(12
11k k +).
21=,
即(20x -1)21k -2(20x +3)x 0k 1+(20x +3)2-1=0.
同理，(20x -1)2
2k -2(20x +3)x 0k 2+(20x +3)2
-1=0, 所以k 1,k 2是方程（20x -1）k 2-2(20x +3)x 0k+(20x +3)2
-1=0的两个不相等的根， 从而k 1+k 2=200202x (x 3) x 1
+-,k 1·k 2=22020(x 3)1 x 1+--. 因为x A +x B =2x D ,
所以2x 0-(3+2
0x )(1211k k +)=200
x 3 x -, 即1211k k +=0
1 x . 从而2002202(3x )x (3+x )1+-=0
1 x , 进而得40x =8,x 0=
综上所述，存在点P 满足题意，点P
.。