2015年高考上海数学(理科)真题

2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}
23x x B =≤≤，则U A
B=ð ．
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪
⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩
，则12c c -= ． 4．若正三棱柱的所有棱长均为a
，且其体积为a = ．
5．抛物线2
2y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 7.方程(
)()1
122log 9
5log 322x x ---=-+的解为 ．
8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C
的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ． 10.设()1
f
x -为()222
x x f x -=+
，[]0,2x ∈的反函数，则()()1
y f x f x -=+的最大值为 ．
11.在10
201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，2
x 项的系数为 （结果用数值表示）．
12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．
13.已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且
()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．
14.在锐角三角形C AB 中，1
tan 2
A =
，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知点A
的坐标为()
，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3
π
至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A
C ．112
D ．132
17．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2
340x a x ++=，
其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A ．方程①有实根，且②有实根
B ．方程①有实根，且②无实根
C ．方程①无实根，且②有实根
D ．方程①无实根，且②无实根 18．设(),n n n x y P 是直线21
n x y n -=+（n *
∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1
lim
1
n n n y x →∞
-=-（ ） A ．1- B ．1
2
-
C ．1
D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，
E 、
F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，
并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.
20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知椭圆2
2
21x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .
（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明
11212S x y x y =-；
（2）设1l 与2l 的斜率之积为1
2
-
，求面积S 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *
∈N .
（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；
（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即n n a a ≥0（n *
∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大
项；
（3）设10a λ=<，n
n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小
值m ，且
()2,2m
M
∈-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin
3
x
h x x =+是以π6为余弦周期的余弦周期函数； （2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =； （3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”
，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .
一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}
23x x B =≤≤，则U A B=ð ．
【答案】{}1,4
【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算
2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】
1142
i +
3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪
⎝⎭、解为3
5
x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16
【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵
4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ． 【答案】4
5、抛物线2
2y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2
6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】
3
π
【解析】由题意得：1
:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3
π
【考点定位】圆锥轴截面
7、方程(
)()1
122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．
【答案】2
【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->
21430,333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=
【考点定位】解指对数不等式
8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120
9、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双
曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．
【答案】2
y x =±
【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(
,2)P x y ，所以2234x y λ-=，
即2C 的渐近线方程为2
y x =± 【考点定位】双曲线渐近线
10、设()1
f
x -为()222
x x f x -=+
，[]0,2x ∈的反函数，则()()1
y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4
11、在10
201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中，2
x 项的系数为 （结果用数值表示）．
【答案】45
【解析】因为1010
101
9102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所
以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210
C x ，系数为8
1045.C = 【考点定位】二项展开式
12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）． 【答案】0.2
【解析】赌金的分布列为
所以11
(12345)35
E ξ=++++=
奖金的分布列为
所以22311
1.4(1234)
2.8510510
E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=
12ξξE -E =0.2
【考点定位】数学期望
13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且
()()()()()()1223112n n
f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *
∈N ），则m 的最小值为 ． 【答案】8
【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取 123456783579110,,,,,,,6,2
22222
x x x x x x x x π
πππππ
π==
=
=====即8.m
= 【考点定位】三角函数性质
14、在锐角三角形C AB 中，1
tan 2
A =
，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D
DF E⋅= ． 【答案】1615
-
【解析】由题意得：1
sin sin 242
A A
AB AC A AB AC
=
=
⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222
AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16
cos()(15
DE DF A π⋅⋅-=
=-
【考点定位】向量数量积，解三角形
二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B
16、已知点A 的坐标为()
，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3
π
至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）
A B C ．112 D ．132
【答案】D
【解析】113
(cos
sin ))()3322OB OA i i i π
π=⋅+=⋅=+，即点B 的纵坐标为
132
【考点定位】复数几何意义
17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2
340x a x ++=，
其中1a ，2a ， 3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无
实根的是（ ）
A ．方程①有实根，且②有实根
B ．方程①有实根，且②无实根
C ．方程①无实根，且②有实根
D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B
【解析】当方程①有实根，且②无实根时，2
2124,8a a ≥<，从而42
223
21816,4
a a a =<=即方程③：
2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根
【考点定位】不等式性质
18、设(),n n n x y P 是直线21
n x y n -=+（n *
∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1
lim
1
n n n y x →∞
-=-（ ） A ．1- B ．1
2
- C ．1 D ．2 【答案】A
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19、（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =
，
E
、F 分别是AB 、C B 的中点．
证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，
并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.
【答案】15
15
arcsin
因此直线与平面所成的角的大小为15
15arcsin ． 【考点定位】空间向量求线面角
1CD FE C A 11
20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.
【答案】（1）138t =，(
)1f t =2），
不超过3.
（2）甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时7
8
小时． 当137
88
t t =
≤≤时， ()
f t =
= 当
7
18
t ≤
≤时，()55f t t =-. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=1
87,558
783,18
4225)(2
t t t t t t f
所以.
因为()f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值
是38f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()f t 在7,18⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是7588f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f t 在3,18⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是8，不超过3.
【考点定位】余弦定理
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知椭圆2
2
21x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .
（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明
11212S x y x y =-；
（2）设1l 与2l 的斜率之积为1
2
-
，求面积S 的值. 【答案】（1）详见解析（2
）S =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=187,558
783,184225)(2
t t t t t t
f
由()1，
2
121221211221
222x x k S x y x y x kx x x k k
⋅+=-=+⋅=⋅=
， 整理得S =【考点定位】直线与椭圆位置关系
22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *
∈N .
（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；
（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *
∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大
项；
（3）设10a λ=<，n
n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小
值m ，且
()2,2m
M
∈-. 【答案】（1）65n
a n =-（2）详见解析（3）1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
因为0n n a a ≥，n *
∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥.
故{}n b 的第0n 项是最大项.
解：（3）因为n
n b λ=，所以()1
12
n n n n a a λ
λ++-=-，
当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ ()()()11222
22n
n n n λ
λλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+
2n
λλ=-. 当1n =时，1a λ=，符合上式.
所以2n
n a λλ=-.
因为0λ>，所以222n
n a λ
λλ=->-，21
212n n a λ
λλ--=-<-.
①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而
()3
2,21
∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值2
22a λλM ==-，最小值
1m a λ==，由2222λλ
λ
--<
<及10λ-<<，得1
02
λ-<<.
综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. 【考点定位】等差数列，数列单调性
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin
3
x
h x x =+是以π6为周期的余弦周期函数； （2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =； （3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”
，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T . 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析
（2）由于()f x 的值域为R ，所以对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，c 都是一个函数值，即有
0R x ∈，使得()0f x c =.
若0x a <，则由()f x 单调递增得到()()0c f x f a =<，与()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦矛盾，所以
0x a ≥.同理可证0x b ≤.故存在[]0,x a b ∈使得()0f x c =.
（3）若0u 为()cos 1f x =在[]0,T 上的解，则()0cos 1f u =，且[]0,2u +T∈T T ，
()()00cos cos 1f u f u +T ==，即0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解.
同理，若0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解，则0u 为该方程在[]0,T 上的解. 以下证明最后一部分结论.
由（2）所证知存在012340x x x x x =<<<<=T ，使得()i f x i π=，0i =，1，2，3，
4.
而()()cos cos f x f x +T =，故()()()()4f x f x f x f π+T =+=+T . 类似地，当[]1,i i x x x +∈，1i =，2，3时，有()()()f x f x f +T =+T . 结论成立.
【考点定位】新定义问题。