2018年海南省高三理科数学下册调研考试卷

2018年海南省高三理科数学调研考试理科数学
参考公式
球的表面积公式 棱柱的体积公式
24R S π= Sh V =
球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高
3
3
4R V π=
棱台的体积公式 其中R 表示球的半径 )(31
2211S S S S h V ++=
棱锥的体积公式 其中1S ，2S 分别表示棱台的上、下底面积，
Sh V 3
1
=
h 表示棱台的高 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选顶中，只有一个符合题目要求的) 1. ()U x M
N ∈ð成立的充要条件是（ ）
()U A x M ∈ð ()U B x N ∈ð ()U U
C x M x N ∈∈且痧 ()U U
D x M x N ∈∈
或痧
2. 要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层
随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）
()421056
15C C A C ()33105615C C B C ()615615C C A ()4
2
105615
A A D C 3．己知随机变量ξ服从正态分布),2(2
σN ，84.0)4(=≤ξP ，则=≤)0(ξP （ ）
A ．16.0
B ．32.0
C ．68.0
D ．84.0
4．已知α、β是两个不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中不正确．．．
的是（ ）
A ．若n m //，α⊥m ，则α⊥n
B ．若α||m ，n =βα ，则n m ||
C ．若α⊥m ，β⊥m ，则βα//
D ．若α⊥m ， β⊂m ，则βα⊥ 5．已知函数m x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
2π，直线3
π
=x 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A ．)6
4sin(4π
+=x y B ．2)32sin(2++=π
x y
C ．2)3
4sin(2++
=π
x y D ．2)6
4sin(2++
=π
x y
6．设O 在ABC ∆的内部，且02=++，则ABC ∆的面积与错误！不能通过编
辑域代码创建对象。

的面积之比为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．经过椭圆13
42
2=+y x 的右焦点任作弦AB ，过A 作椭圆右准线的垂线AM ，垂足M ，则直线BM 必经过（ ）
A ．)0,2(
B ．)0,3(
C ．)0,25
( D ．)0,2
7(
8．已知R x ∈，*
N n ∈，定义：)1()2)(1(-+++=n x x x x M n
x ，例如
60)3()4()5(35--⨯-⨯-=-M ，则函数x M x f x 2006
2005
cos
)(7
3⋅=-（ ） A ．是偶函数不是奇函数 B ．是奇函数不是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 9．数列}{n a 中，22=a ，06=a 且数列}1
1
{
+n a 是等差数列，则=4a 10．若直线1=+by ax 过点),(a b A ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的
最小值是
11．已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y 则2
2y x z +=的最大值为
12．定义在R 上的函数)(x f y =有反函数，则函数2)1(++=x f y 与2)1(1
++=-x f
y 的
图像关于直线 对称
13．设奇函数)(x f 在[]1,1-上是单调函数，且1)1(-=-f ，若函数12)(2+-≤at t x f 对
所有的[]1,1-∈x 都成立，当[]1,1-∈a 时，则t 的取值范围是
14. 设n a
是(3n
-的展开式中x 项的系数（2n =、3、4、
…），则23
23
333n
n n
lim a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
_____________.
15. 已知函数()()f x sinx cos x t =++为偶函数，且t 满足不等式23400t t --<，则t 的值
为_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，应写出简要的文字说明、证明或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
三角形的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量),(a b a c m --=，
),(c b a n +=，若//，
（1） 求角B 的大小；
（2） 求C A sin sin +的取值范围． 17．（本小题满分12分）
某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已
知些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为
32，被乙小组攻克的概率为4
3
（1）设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及ξE
（2）设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函
数x
x f 2
7
)(-=η在定义域内单调递减”为事件C ，求事件C 的概率．
18．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，︒=∠90ACB ，2=AB ，
1=BC ，61=AA ，D 是棱1CC 的中点．
（Ⅰ）证明：⊥D A 1平面11C AB ；
（Ⅱ）求平面A B A 11与平面11C AB 所成的锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分13分）
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆。

本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，
若每年投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应提高的比例为x 7.0，年销售量也相应增加。

已知年利润=（每辆车的出厂价—每辆车的投入成本）×年销售量。

（Ⅰ）若年销售量增加的比例为x 4.0，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投
入成本增加的比例x 应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x 的函数为)3
52(32402
++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度
的年利润最大？最大利润为多少？
20．（本小题满分13分）
如图，已知曲线()22
122:10,0x y c b a y a b
+=>>≥与抛物线()22:20c x py p =>的交点分
别为A 、B ，曲线1c 和抛物线2c 在点A 处的切线分别为1l 、2l ，且1l 、2l 的斜率分别为1k 、
2k .
（Ⅰ）当
b
a
为定值时，求证12k k ⋅为定值（与p 无关），并求出这个定值； （Ⅱ）若直线2l 与y 轴的交点为()0,2D -，当22a b +取得最小值9时，求曲线1c 和2c 的方程。

21．（本小题满分13分）
已知函数mx x x f ++=21ln )(
（1）)(x f 为定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围 （2）当1-=m 时，求函数)(x f 的最大值 （3）当1=m 时，且01≥>≥b a ，证明：
2)
()(34<--<b
a b f a f 参考答案
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目要求的）
填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 9．
2
1
10．π 11．18
12．3+=x y 13．2≥t 或2-≤t 或0=t 14．π6 15．120-
解答题：本大题共6小题，共75分，应写出简要的文字说明、证明或演算步骤。

16．（1）∵n m //，∴))(()(b a a b a c c +-=-， 2分
2
2
2
a b ac c -=-，∴
12
22=-+ac
b c a 4分 由余弦定理，得错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，错误！不能通过编辑域代码创建对象。

6分
（2）∵π=++C B A ，∴3
2π
=+C A ， 7分 ∴)3
2sin(
sin sin sin A A C A -+=+π
9分 A A A sin 3
2cos cos 32sin sin π
π-+=
)6
sin(3cos 23sin 23π
+=+=
A A A 10分 ∵320π<
<A ，∴6
566π
ππ<+<A 11分 ∴
1)6
sin(21≤+<π
A ，∴3sin sin 23≤+<C A 12分 17．解：记“甲攻关小组获奖”为事件A ，则3
2
)(=
A P ，记“乙攻关小组获奖”为事件
B ，则4
3
)(=
B P ． 1分 （1）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2 2分
12
1
)431)(321()()0(=--=⋅==B A P P ξ，
12
5
)431(3243)321()()()1(=-⨯+⨯-=⋅+⋅==A P B P P ξ，
2
1
4332)()2(=⨯=⋅==B A P P ξ，
∴ξ的分布列为
5分
12
17
21212511210=⨯+⨯+⨯
=ξE 6分 （2）∵获奖攻关小组数的可能取值为0、1、2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，
1，0．∴η的可能取值为0、4． 8分
当0=η时，x
x x f )27(|27|)(=-
=η在定义域内是增函数． 当4=η时，x
x f )2
1(|27|)(=-=η在定义域内是减函数． 10分
∴12
7
12121)()()4()(=+=⋅+⋅===P B A P n P C P 12分
18．解法一：（Ⅰ）∵︒=∠90ACB ，∴AC BC ⊥．
∵三棱柱
111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ． ∴1CC BC ⊥，∵C CC AC =1 ， ∴⊥BC 平面11A ACC ． ∵⊂D A 1平面11A ACC ，
∴D A BC 1⊥，而C B □11C B ，则D A C B 111⊥ 在1ACC Rt ∆与11A DC Rt ∆中，
2
2
111=
=AC DC CC AC ， ∴1ACC ∆□11A DC ∆ 4分 ∴111C DA C AC ∠=∠ ∴︒=∠+∠90111DA C C AC 即11AC D A ⊥ ∵1111C AC C B = ，
∴⊥D A 1平面11C AB 6分
（Ⅱ）如图，设H AC D A =11 ，过1A 作1AB 的垂线，垂足为G ，连GH ． ∵⊥D A 1平面11C AB ，∴D A AB 11⊥，∴⊥1AB 平面GF A 1，∴GH A 1为二面角
111C AB A --的平面角．
在11B AA Rt ∆中，61=
AA ，211=B A ，
∴101=AB ，∴5
15
211111=
⋅=AB B A AA G A ； 在11C AA Rt ∆中，61=AA ，311=C A ，∴31=AC ，
∴21
1
111=⋅=
AC C A AA H A 11分
∴在GH A Rt 1∆中，6
30
15225sin 111=
==
∠G A H A GH A ，66cos 1=∠GH A 故锐二面角111C AB A --的余弦值为
6
6
． 即平面A B A 11与平面11C AB 所成的锐二面角的余弦值为6
6
． 12分 解法二（1）∵︒=∠90ACD ，∴AC BC ⊥ ∵C CC AC =1 ，∴⊥BC 平面11A ACC 以C 为坐标原点，CB 、1CC 、CA 所在的直 线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系。

2分
易求点)0,0,0(C ，)0,0,1(B ，)3,0,0(A ，
)0,6,0(1C )0,6,1(1B ，)3,6,0(1A ，
)0,2
6
,
0(D 4分 （1）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=3,26,01A ，)0,0,1(11-=C B ，()
3,6,11-=AB 0111=⋅C B D A ，011=⋅AB D A
∴111C B A ⊥，11AB A ⊥，即111C B D A ⊥，11AB D A ⊥ ∵1111B AB C B = ，∴⊥D A 1平面11C AB 6分
（Ⅱ）设),,(z y x n =是平面11B AA 的法向量；由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
11AA n AB
得⎪⎩⎪⎨⎧==-+0
6036y z y x ， 取1=z ，则)1,0,3(=n 是平面11B AA 的一个法向量， 9分
又)3,2
6
,0(1--
=A 是平面11C AB 的一个法向量 11分 即平面111A B A 与平面11C AB 所成的锐二面角的余弦值为6
6
12分
19．解：（Ⅰ）由题意得：上年度的利润的150005000)1013(=⨯-万元；
本年度每辆车的投入成本为)1(10x +⨯万元； 本年度每辆车的出厂价为)7.01(13x +⨯万元；
本年度年销售量为)4.01(5000x +⨯ 2分 因此本年度的利润为
)4.01(5000)]1(10)7.01(13[x x x y +⨯⨯+⨯-+⨯= )4.01(5000)9.03(x x +⨯⨯-=
15000150018002++-=x x )10(<<x ………………4分
由1500015000150018002
>++-x x ，解得6
5
0<
<x 所以，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则6
5
0<<x ………………6分 （Ⅱ）本年度的利润为
)55.48.49.0(3240)3
5
2(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f 7分
则)3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2
--=+-⨯='x x x x x f 由0)(='x f ，解得9
5
=
x 或3=x （舍去）。

当)9
5,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数； 当)1,9
5(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数．
,cos 11n D A <
2
2
233,26,0⋅⎭ ⎝⎛--=()
1,0,366-
=
∴当95=x 时，)(x f 取得最大值，20000)95
()(max ==f x f ． 所以9
5
=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元。

………………13分
20．【解】（Ⅰ）设点A 的坐标为()00,x y ，
曲线1c 的方程可写成：22x a a
b y -=
，∴0y
∴0
20
120x x x x x b k y a y =='
⎛⎫'
====-⋅ ⎝…2′
又0020212x x x x x
k y x p p =='⎛⎫'=== ⎪⎝⎭
…………4′
∴2222
00012222002x x x b b b k k a y p a py a ⎛⎫⋅=-⋅⋅=-⋅
=- ⎪⎝
⎭为定值。

……6′ （Ⅱ）如图设A 点的坐标为2
0,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则()0,0x a ∈-.
由（Ⅰ）知：0
2x k p
=，则直线()2
0020:2x x l y x x p p =-+.
∵2l 过点()0,2D -，则2
4x p =
，即0x =-
，∴点()
A -.…8′
将()
A -代入曲线1c 的方程得
2244
1p a b
+=. ∴()222222
2222444444p a pb a b a b p a
b b a ⎛⎫+=+⋅+=+++ ⎪⎝⎭.
由重要不等式得2244a b p ++≥.……10′
当且仅当“=
”成立时，有22
2
222
44944441p pb
a a
b p a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得221436p a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪
⎩ ∴()22
1:1036
x y c y +=≥，22:2c y x =.……13′
21．解：（1）mx x x f ++=21ln )(，)21
(->x ∴m x
x f ++=
'211
)(
因为对21-
>x ，有
),0(211
+∞∈+x
∴不存在实数m 使0211)(≤++=
'm x x f ，对2
1
->x 恒成立 2分
由0211)(≥++='m x x f 恒成立，∴x
m 211
+-
≥， 而0211
<+-
x
，所以0≥m
经检验，当0≥m 时，0211)(>++=
'm x x f 对2
1
->x 恒成立。

∴当0≥m 时，)(x f 为定义域上的单调增函数 4分 （2）当1-=m 时，由02121211)(=+-=-+='x
x
x x f ，得0=x
当)0,2
1
(-
∈x 时，0)(>'x f ，当),0(+∞∈x 时，0)(<'x f ∴)(x f 在0=x 时取得最大值，∴此时函数)(x f 的最大值为0)0(=f 7分 （3）由（2）得，x x ≤+21ln 对2
1
-
>x 恒成立，当且仅当0=x 时取等号 当1=m 时，x x x f ++=21ln )(，∵01≥>≥b a ，0>-b a
∴)(21)
(21ln )(2121ln
)()(a b a
a b a b a b a f b f -++-+=-+++=-
a a
b a a b a a b 21)
22)(()(21++--
=-++-<
∴a
a b a b f a f 2122)()(++>
-- 同理可得a a
b a b f a f 2122)()(++<
-- 01≥>≥b a ，
3
4
21112122≥++=++a a a 2211
12122≤++=++b b b
∴2)()(34<--<b a b f a f （3） 法二：当1=m 时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），)
(x f 在),2
1
(+∞-
上递增 令x x x x f x g 3
1
)21ln(2134)()(-+=-=
)
21(3)1(231211)(x x x x g +-=-+=
'在(]1,0上总有0)(≥'x g ，即)(x g 在(]1,0上递增
当10≤<<a b 时，)()(b g a g >
即b b f a a f 34)(34)(->-
3
4)()(>--⇒b a b f a f 令x x x x f x h -+=-=)21ln(212)()(由（2）它在(]1,0上递减 ∴)()(b h a h < 即b b f a a f 2)(2)(-<-
)(2)()(b a b f a f -<- ∵0>-b a ∴
2)()(<--b a b f a f ，综上2)()(34<--<b
a b f a f 成立 其中10≤<≤a b。