有界变差函数 有界变差函数

i =1
称 V ( , f ) 为 f 关于分划 D 的变差。 D
若存在常数 M，使对一切分划 D ，都有
V ( , f ) £ M ，则称 f (x 为 [ , b 上的有 D ) a ]
界变差函数。令
V ( f ) = sup V ( , f ) D ，
D b a
。
将 D , D 2 合并起来得 [ , b 的一个分划 a ] 1
D1 : a = x < x <L x = y < y <L< y = b < n 0 1 0 1 m ，于是由 D f ) £ V b ( f ) 及 V ( , a V ( , f ) = V ( 1 , f ) + V ( 2 , f ) D D D c b b e 得 V ( f ) + V ( f ) - 2 £ V ( f ) ， a c a 由 e 的任意性立得 c b b V ( f ) + V ( f ) £ V ( f ) 。 a c a
e > 0
D1 : a = x < 1 ，可以找到分划 x < L < x = c 0 n 及分划 D2 : c = y < y < L < y = b ，使得 0 1 m
b V ( 1 , f ) ³ V c ( f ) - e ，V D , f ) ³V ( f ) -e D ( 2 a c
n
V ( , f ) = å f ( x ) - f ( x -1 ) | D | i i
i 1 = i 0
£ å f ( x ) - f ( x -1 ) | + | f ( ) - f ( i 0 ) | | i c x i
i =1
n
+ | f ( i 0 +1 ) - f ( ) | +å f ( i ) - f ( i -1 ) | x c | x x
i =1
n
= å | f ( i ) ( i ) - f ( i ) ( i -1 ) x g x x g x
i 1 =
+ f ( i ) ( i -1) - f ( i -1 ) ( i -1 ) | x g x x g x
n i 1 = n i 1 =
其中 D 取遍 [ , b 的所有分划，称 V b ( f ) a ] a 为 f 在 [ , b 上的总变差。 a ]
a 上有限单调函 ] 由定义不难看出， [ , b
f
数 f 都是有界变差函数，且
V ( f ) = | f ( ) - f ( ) | b a 。
证明：设
D : a = x < x < L < x = b 为 0 1 n
[ , b 的任一分划，则 a ] V ( , af + bg ) D
n
= å| ( f ( i ) + b g x )) - ( f ( i -1 ) + b g x -1 )) | a x ( i a x ( i
a ] 性质4 若 f 是 [ , b 上的有界变差函数，
且 V b ( f ) = 0 ，则 f 是常数。
a
[ , ] 证明：若 f 不为常数，则存在 x0 Î a b x b ，作 [ , b x a 使得 f ( 0 ) ¹ f ( ) 或 f ( 0 ) ¹ f ( ) a ]
£ | a | V b ( f ) | b | V b ( g ) + a a
所以 V b ( af + bg ) £ | a | V b ( f ) + | b | V b ( g ) ，证毕。 a a a
性质3 设 f , g 是 [ , b 上的有界变差 a ] 函数，则 fg 也是有界变差函数。
的分划 D : a £ x £ b ，则 V (D f ) ¹ 0 ，这与 , 0
V ( f ) = 0 矛盾，故 f 必为常数，证
b a
毕。
a ] 性质5 设 f 是 [ , b 上的有界变差 c a ] 函数，[ , d ] Ì [ , b ，则 b d V ( f ) ³ V ( f ) ， a c c 特别地，也 f 是 [ , d ] 上的有界变 差函数。
b a
二 . 有界变差函数的性质
a ] 性质1 若 f 是 [ , b 上的有界变差函
数，则 f 必为有界函数。
x a ] 证明：若不然，则存在 { n } Ì [ , b 使 | f ( x ) | ® ¥，由 f 是有界变差函数知 n
V b ( f ) < ¥ a
£ M å ( i ) - g x -1 ) | +M å| f ( i ) - f ( i -1 ) | | x g ( i x x
£ MV b ( f ) + MV b ( g ) a a
故 V b ( fg ) £ MV b ( f ) + MV b ( g )) ，证毕。 a a a
a ] 对任意 n，作 [ , b 的分划 , D n : a < x < b n 则 V ( n , f ) = | f ( n ) - f ( ) | + | f ( ) - f ( n ) | D x a b x ³ 2 | f ( n ) | - | f ( ) | - | f ( ) | . x a b
i 1 n =
n
£ | a | å f ( i ) - f ( i -1 ) | + | b | å| g x ) - g x -1 ) | | x x ( i ( i
i 1 = i 1 =
= | a | V ( , f ) | b | V ( , g ) D + D
i =1
k ®¥ n
= lim å | g k ( x ) - g k ( x -1 ) | i i
i =1
£ lim a ( g k ) £ M < ¥ V b
k ® ¥
b 所以 Va ( g ) £ sup a ( g k ) ，证毕。 V b k
a ] 性质2 若 f , g 都是 [ , b 上的有界变
差函数，则对任意常数 a, b , af + bg
a ] 也是 [ , b 上的有界变差函数，且 V b ( + bg £ | a | V b ( f ) + | b | V b ( ) ) a af a a g 。
V D D ，于是( , f ) £ V ( , f ) £ V ( f ) ，进
V d 而 ( f ) £ V b ( f ) c a
b a
，证毕。
a ] 性质6 设 f 是 [ , b 上的有界变差函
数，c 是 ( , b 内任一数，则 a ) V b ( f ) = V c ( f ) + V b ( f ) 。 a d c 证明：由全变差定义，对任 意
反之，对任意 e > 0，设 D : a = x < x < L < x = b 0 1 n a ] 是 [ , b 的一个分划，满足 V ( , f ) ³ V b ( f ) - e ， D a 则对任意 cÎ a b ，存在 i ， £ i0 £ n -1 ( , ) 0 0 使得 x 0 £ c £ x 0 +1 i i ，于是
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第六章 微分与不定积分
第二节 有界变差函数
一．有界变差函数的定义
问题： [a,b] 上单调函数除了跳跃度 [ , ] a b 总和不超过( ) - f ( ) ，其任一分划 f b a 所对应分点的函数值之差的总和是 否必有限？ 否必有限？
前面已经看到，单调函数的导数虽然 可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹 公式，或者说，单调函数不能通过其 导数的积分还原。那么，何种函数能 满足牛顿一莱尼兹公式呢 ( 当然，这 里是相对于Lebesgue积分而言 )？这 正是下面要讨论的问题。
定义: 设 f (x 是 [ , b 上的有限函数， ) a ]
a ] 对[ , b 的任一分划
D : a = x < x < L < x = b ， 0 1 n
记
n
V ( , f ) = å | f ( x ) - f ( x -1 ) |, D i i
g 性质7 若 { k } 是[ , b 上的有界变 a ] { a ( g k )} 是有界数列， V b 差函数列， ) ) 且 g k (x 处处收敛到 g (x ，则 g 也 是 [ , b 上的有界变差函数，且 a ] b 。 Va ( g ) £ sup V b ( g k ) a
证明：由性质1知存在 M，使得
| f ( x | £ M < +¥, | g ( x | £ M < +¥， ) )
a ] 设 D 为 [ , b 的任一分划：
a = x < x < L < x = b 0 1 n
则
n
V ( , fg ) = å | ( fg )( x ) -
k
证明：记 M = sup V b ( g k ) ，任取 [ , b a ] a k 的一个分划 D : a = x < x < L < x = b ，则 0 1 n
n
V ( , g ) = å g ( x ) - g ( x -1 ) | D | i i
由 V ( n , f ) £ V b ( f ) < ¥，得 D a
2 | f ( x ) | V ( f ) | f ( ) | + | f ( ) | + a b 。 n £
b a
这与 | f ( x ) | ® ¥ 矛盾，故必为有界 n 函数，证毕。
c a b c c a
i 2 =
£ V ( f ) + V ( f )
进而 V b ( f ) - e £ V ( f ) + V b ( f ) ，任由 e a c 的任意性得 V b ( f ) £ V c ( f ) + V b ( f ) ，所以 a a c ，证毕。 V b ( f ) = V c ( f ) + V b ( f ) a a c
证明：任取 [ , d ] 的一个分划 c
D : c = x < x < L < x = d ， 0 1 n
对应到 [ , b 的一个分划 a ] ~ ~ ~ D : a = x < x = x < ~ <L ~ + = x < ~ +2 = b < x 1 n x 0 1 0 x 2 n n