2020-2021学年北师大版高中数学必修五《数列》单元检测题及答案解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五
第一章 数 列（北京师大版必修5）
实际用时
满分
实际得分
150分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.等差数列{}的前n 项和为，＝－18，
＝－52，等比数列{}中，=，=，则的值为
A.64
B.－64
C.128
D.－128
2.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N*都有a n =n 2
+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( ) A.(－
7
2
,+∞) B.(0,+∞) C.(－2,+∞) D.(－3,+∞)
3.设数列{
}是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{
}是以1为首项，2为公比的等比数列，则
=
A.1033
B.1034
C.2057
D.2058 4.等比数列{}的前n 项和为，=1，若4，2，成等差数列，则＝
A.7
B.8
C.16
D.15
5.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2
1
13-是此数列的第（）项. A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
6.在ABC ∆中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以
1
3
为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对
7.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132log log a a ++L +310log a =（ ） A.12 B.10
C.31log 5+
D.32log 5+ 8.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ）
A.513
B.512
C.510
D.8
225
9.已知数列｛｝的通项公式为=1
(1)
n -- •(4n －3),则它的前100项之和为( )
A.200
B.－200
C.400
D.－400
10.若数列{}的前n 项和S n =n 2
－2n+3，则此数列的前3项依次为 ( ) A.－1,1,3 B.2,1,3 C.6,1,3 D.2,3,6
11.等差数列｛｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（ ）
12.已知{}n a 是等比数列，4
1
252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.)41(16n -- B.)21(16n -- C.)41(332n -- D.)21(3
32n --
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =_________. 14.在数列{
}中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则
=_________.
15.等比数列{}n a 的前n 项和为2
1n
-，则数列{}2n a 的前n 项和为______________.
16.等差数列{}的前n 项和为，且-=8，+=26.记=
，如果存在正整数M ，使得对一切正整数
n ，≤M 都成立，则M 的最小值是. 三、解答题（本大题共6题，共74分）
17.有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数.
18.在数列{}中，=，并且对任意n ∈，n ≥2都有
=
-成立，令=（n ∈
）.
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{}的前n 项和
.
19.已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n 项和，=2，5=2. （1）求{}和{}的通项公式； （2）设
=
+
+…+
，求
.
20. 互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列.
21.已知数列{a n }满足a 1=1,1n a =2a n +1(n ∈N *
). （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n}满足11
4b-•21
4n b-=(1)n b
4b-•…•1
a+(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列.
n
22.已知函数f（x）=-2x2+22x，数列{}的前n项和为，点（n，）（n∈）均在函数y=f（x）的图象上.
（1）求数列{}的通项公式及前n项和；
（2）存在k∈，使得++…+<k对任意n∈恒成立，求出k的最小值.
第一章数 列（北京师大版必修5）
参考答案
1.B 解析：因为＝（+）=9=-18，=（+）=13=-52，所以=-2，=-4.又=，=，所以=2，=·=-4×16=-64.
2.D 解析：由｛a n ｝为递增数列得1n a +－a n =2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.
3.A 解析：由题意知=n+1，=
，则
=
+1，所以
+
+…+
=10+
=1033.
4.D 解析：设公比为q ，则4，2q ，成等差数列，∴4q=4+，∴q=2，
∴=
=16-1=15.
5.B 解析：由题意得,得x=-1或x=-4, 当x=-1时，2x+2=0，故舍去，所以
,所以-13 ，所以n=4.
6.B 解析：设等差数列为｛a n ｝，公差为d,则=-4,=4,所以d=2，所以
设等比数列为｛b n ｝，公比为q ，则,=9,所以q=3，所以
所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.
7.B 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L 510
3563log ()log (3)10a a ===.
8.C 解析：33
2
112131
(1)18,()12,
,2,22
q a q a q q q q q q ++=+====+得或 而q ∈Z,∴q=2,-2=510.
9.B 解析：S 100=a 1+a 2+…+a 100=1－5+9－13+17－…+(4×99－3)－(4×100－3)=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－3)－(4×100－3)］=－4×50=－200.
10.B 解析：当n=1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2;当n=2时，由S 2=a 1+a 2=22
－2×2+3=3,得a 2=1;当n=3时，由
S 3=a 1+a 2+a 3=32
－2×3+3=6,得a 3=3.
11.C 解析：由S 5＝S 11 得2a 1＋15d ＝0.又a 1＞0，所以d ＜0．而2＝2a 1＋2（n －1）d ＝（2n －17）d ＜0，所以2n －17＞0，即n ＞8.5．
12.C 解析：Θ4
1252=
=a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a Λ)41(332n --.
13.)2(:1:4- 解析：2222
2,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+=，又,4,2a b a b c b ≠∴==-.
14.3n 2
解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2
.
41n -144-1n n -
16.2 解析：∵{}为等差数列，由-=8，+=26，得a 1=1，d=4，可解得=2-n ，∴=2-.
若≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需
的最大值≤M 即可.
又
=2-<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.
17.解：设这四个数为，a ，aq ，2aq －a,则216,(2)36,a a aq q a aq aq a ⎧
=⎪⎨
⎪++-=⎩
g g ①
② 由①，得a 3
=216,a=6, ③
将③代入②，得q=2 , ∴ 这四个数为3，6，12，18.
18.解：（1）当n=1时，==3.
当n ≥2时，由
=
得
=1，所以
=1.
所以数列{}是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列{}的通项公式为=n+2. （2）因为=
=()，
=(1－+
+
+…+
+
)=[－(
+
)]=
.
19.解：（1）设{}的公比为q ，
由=
，得q=4，所以
=
.
设{}的公差为d ，由5=2及=2得d=3， 所以=+（n-1）d=3n-1. （2）因为=1×2+4×5+×8+…+
（3n-1），①
4
=4×2+×5+…+（3n-1），②
由②-①，得3=-2-3（4++…+
）+（3n-1）=2+（3n-2）·.
所以
=(n-)·+.
20.解：设这三个数为，a ，aq ，∴=－8，即a=-2，∴这三个数为－，－2，－2q.
（1）若－2为－和－2q 的等差中项，则+2q=4， ∴－2q+1=0，∴q=1，与已知矛盾；
（2）若－2q 为－与－2的等差中项，则+2=4q ， ∴2－q －1=0，∴q=－或q=1（舍去）， ∴这三个数为4，1，－2；
（3）若－为－2q 与－2的等差中项，则2q+2=， ∴+q －2=0，∴q=－2或q=1（舍去）， ∴这三个数为4，1，－2.
综合（1）（2）（3）可知，这三个数排成的等差数列为4，1，-2.
21.（1）解: ∵=2+1（n ∈
），∴1+1=2+1n n a a +（），即
1+1
=2+1
n n a a +， {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.
12.n n a ∴+=即
-1（
).
（2）证法1：
12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②
②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③
21(1)20.n n nb n b ++-++=④
④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,
n n n b b b ++-+=, 故{b n }是等差数列.
22.解：（1）因为点
（n ，）（n ∈
）均在函数y=f （x ）的图象上，所以=-2+22n.
当n=1时，==20; 当n ≥2时，=-
=-4n+24. 所以=-4n+24（n ∈）.
（2）存在k ∈，使得++…+<k 对任意n ∈
恒成立，
只需k>
，
由（1）知=-2+22n ， 所以＝-2n+22=2（11-n ）.
当n<11时，>0；当n=11时，=0；当n>11时，<0. 所以当n=10或n=11时，++…+有最大值是110. 所以k>110. 又因为k ∈
，所以k 的最小值为111.。