人教版A版2017课标高中数学必修第二册第七章综合测试试卷-含答案03

第七章综合测试
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．以2i +22i +的实部为虚部的新复数是（ ）
A ．22i -
B ．
C ．2i +
D
2．z 是z 的共扼复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i +
B ．1i --
C ．1i -+
D ．1i -
3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A ．若20z ≥，则z 是实数 B ．若20z ＜，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则20z ≥
D ．若z 是纯虚数，则20z ＜
4．若()2x i i y i -=+，x ，y ∈R ，则复数x yi +等于（ ） A ．2i -+
B ．2+i
C ．12i -
D ．1+2i
5．已知互异的复数a ，b 满足0ab ≠，集合{}{}
22,,a b a b =，则a b +=（ ） A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
6．若复数z 满足()34|43|i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．4-
B ．4
5
-
C ．4
D ．
45
7．i 是虚数单位，若1+72i
a bi i
=+-（a ，b ∈R ），则ab 的值是（ ） A ．15-
B ．3
C ．3-
D ．15
8．若()12z x yi =-+与23z x i =+（x ，y ∈R ）互为共轭复数，则1z 对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．已知集合{}
21,2,A z zi =，{}2,4B =，i 为虚数单位，若{}2A B =∩，则纯虚数z 为（ ） A ．i
B ．i -
C ．2i
D ．2i -
10．已知i 是虚数单位，复数1
z a i
=-（a ∈R ）在复平面内对应的点位于直线20x y -=上，则复数z 的虚部为（ ） A ．2
B ．3
C ．15
i D ．
15
11．复数
1
1+i 在复平面内的对应点到原点的距离为（ ）
A ．12
B C ．1
D
12．已知复数32z i =-+（i 为虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则
p q +的值为（ ）
A ．22
B ．36
C ．38
D ．42
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．复数1
1+z i
=
（i 为虚数单位），则||z =________． 14．若z ∈C ，且22||1z i +-=，则|z 22|i --的最小值为________．
15．设复数11z i =+，22z xi =+（x ∈R ），若12·z z ∈R ，则x 的值为________． 16．下列说法中正确的序号是________．
①若()()213x i y y i -+=--，其中x ∈R ，C C y =R ，则必有()21,13;x y y -=⎧⎪⎨=--⎪⎩
②21i i ++＞；
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在；
⑤若1
z i
=，则31z +对应的点在复平面内的第一象限． 三、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）设复数()()
22lg 2232z m m m m i =--+++，当m 为何值时， （1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？
18．（12分）已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121||||z z z -＜，求a 的取值范围．
19．（12分）设复数()
()2214sin 12cos z a i θθ=-++，()0,θπ∈，2z 在复平面内对应的点在第一象限，且
2234z i =-+．
（1）求2z 及2||z ．
（2）若12z z =，求θ与a 的值．
20．（12分）已知复数z
满足||z ，2z 的虚部是2． （1）求复数z ；
（2）设z ，2z ，2z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求ABC △的面积．
21．（12分）已知复数()3
11z i i =-． （1）求1||z ；
（2）若||=1z ，求1||z z -的最大值．
22．（12分）设1z 是虚数，211
1
z z z =+
是实数，且211z -≤≤． （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若1
1
1=
1z z ω-+，求证：ω为纯虚数．
第七章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】A
【解析】设所求新复数为z a bi =+（a ，b ∈R ）
，由题意知，复数2i 的虚部为2，即2a =
；复数
(
)22212i +=+⨯-=-的实部为2-，即2b =-，则所求的新复数为22z i =-。

2.【答案】D
【解析】设z a bi =+（a ，b ∈R ），因为2z z +=，所以1a =。

因为()2z z i -=，所以22b -=，1b =-。

所以1z i =-。

3.【答案】C
【解析】举反例说明，若z i =，则210z =-＜。

4.【答案】B
【解析】∵()+2x i i y i -=，22xi i y i -=+，∴1y =，2x =，∴2x yi i +=+。

5.【答案】D
【解析】由题意22,,a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或22
,,
a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩因为a b ≠，0ab ≠
，所以1
2
12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或1
,21.2b a ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
因此1a b +=-。

6.【答案】D
【解析】设z a bi =+（a ，b ∈R ），故()()343344|43|5i a bi a bi ai b i -+=+-+=+=，所以340,
345,
b a a b -=⎧⎨
+=⎩解得45
b =。

7.【答案】C
【解析】
()()1721+7325
i i i i i i ++==-+-，∴1a =-，3b =，∴3ab =-。

8.【答案】C
【解析】由1z ，2z 互为共轭复数，得23,1,x x y -=⎧⎨=-⎩解得1,
1,
x y =-⎧⎨=-⎩所以()123z x yi i =-+=--。

由复数的几何
意义知1z 对应的点在第三象限。

【解析】因为{}2A
B =∩，z 为纯虚数，所以2zi =，所以2z i =-。

10.【答案】D 【解析】22211111a i a z i a i a a a +=
===-+++，其对应的点为221,11a a a ⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，
又该点位于直线20x y -=上，所以2a =，21+55z i =，其虚部为1
5。

11.【答案】B 【解析】
()()()1111111222
i i i i i i i i -+===+++-，对应点的坐标为11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，此点到原点的距离为
= 12.【答案】C
【解析】因为32z i =-+是关于x 的方程220x px q ++=的一个根（p ，q 为实数），所以有
()()2
232320i p i q -++-++=，即()29412320i p pi q ---++=，得1024320i p pi q --++=， 得()1032240q p P i +---=。

由复数相等得10+30,2240,q p p -=⎧⎨-=⎩解得12,
26,p q =⎧⎨=⎩
所以38p q +=。

二、
13
【解析】()()11111111222i i z i i i i --====-++-，易得||z ==
14.【答案】3
【解析】设z a bi =+（a ，b ∈R ），则()()|22||22||22|1z i a bi i a b i +-=++-=++-==，
所以()()2
2
221a b ++-=表示的是一个以()2,2-为圆心，1为半径的圆，
而()()|22||22||22|z i a bi i a b i --=+--=-+-，这表示圆上任意一点(),a b 到点
()2,2的距离，由于圆心()2,2-到点()2,2的距离为4d ==，
所以|22|z i --的最小值为413d r -=-=。

15.【答案】2-
【解析】()()()121222z z i xi x x i =++=-++∈R ，所以20x +=，所以2x =-。

【解析】由C y C ∈R 知y 是虚数，则()
21,
13x y y -=⎧⎪⎨=--⎪⎩不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，
故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中33
1
111z i i +=+=+，对应点在第一象限，故⑤正确。

三、
17.【答案】（1）2m =-或1- （2）3m =
【解析】（1）要使复数z 为实数，
需满足2
2220,
320,
m m m m ⎧--⎪⎨++=⎪⎩＞
解得2m =-或1-。

即当2m =-或1-时，z 是实数。

（2）要使复数z 为纯虚数，
需满足2222=1,320,m m m m ⎧--⎪
⎨++≠⎪⎩
解得3m =。

即当3m =时，z 是纯虚数。

18.【答案】()1,7 【解析】因为115231i
z i i
-+=
=++， 22z a i =--，22+z a i =-，
所以()()
12|||232||42|z z i a i a i -=+--+=-+=
又1||z =，121||||z z z -＜，
，
所以2870a a -+＜，解得17a ＜＜。

所以a 的取值范围是()1,7。

19.【答案】（1）212z
i =+，2||z =（2）3
π
θ=
，2a =±
【解析】（1）设2z m ni =+（m ，n ∈R ），
答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！
则()2
2
222
234z m ni m n mni i =+=-+=-+， 所以223,24,m n mn ⎧-=-⎨=⎩，
解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或1,2,m n =-⎧⎨=-⎩
所以212z i =+或212z i =--。

又因为2z 在复平面内对应的点在第一象限，
所以212z i =--应舍去，故212z i =+，2||z = （2）由（1）知()
()224sin 12cos 12a i i θθ-++=+，
即224sin 1,12cos 2,
a θθ⎧-=⎨+=⎩解得1cos =2θ。

因为()0,θπ∈， 所以=
3
π
θ，
所以223
14sin 1444
a θ=+=+⨯=， 所以2a =±。

综上，=
3
π
θ，2a =±。

20.【答案】（1）1z i =+或1z i =-- （2）1
【解析】（1）设z a bi =+（a ，b ∈R ），则2222z a b abi =-+。

由题意得222a b +=且22ab =，解得1a b ==或1a b ==-，所以1z i =+或1z i =--。

（2）当1z i =+时，22z i =，21z z i -=-，所以()1,1A ，()0,2B ，()1,1C -，所以1ABC S =△。

当1z i =--时，22z i =，213z z i -=--，所以()1,1A --，()0,2B ，()1,3C --，所以1ABC S =△。

综上，1ABC S =△。

21.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）()3
1|||1|22|z i i i =-=-==|。

（2）如图D-7-8所示，由||1z =可知，z 在复平面内对应点的轨迹是半径为1，圆心为()0,0O 的圆，而1z 的对应点为()12,2Z -，所以1||z z -的最大值可以看成是点()12,2Z -到圆上的点的距离的最大值。

由图知1max 1||=||z z z r -+（r
为圆的半径）。

22.【答案】（1）1||1z =，11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
（2）见解析
【解析】（1）设1z a bi =+（a ，b ∈R 且0b ≠）
，则212222111a b z z a bi a b i z a bi a b a b ⎛
⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭。

因为2z 是实数，0b ≠，于是有221a b +=，即1||1z =，所以22z a =。

由11z -≤≤，得121a -≤≤，解得
11222a -≤≤。

即1z 的实部的取值范围是11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
（2）证明：2212211112=11121
z a bi a b bi b i z a bi a a b a ω------===-+++++++。

因为11,22
a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，0b ≠，所以ω为纯虚数。