北师版高中数学必修第一册精品课件 第2章 函数 3 函数的单调性和最值

值和最小值统称为最值.
3.若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是
函数的最大值,否则不是.
4.函数
A.0
C.2

f(x)= -x

解析:因为函数
在区间[1,2]上的最大值为(
B.1

D.-

f(x)=-x
在区间[1,2]上单调递减,
函数y=f(x)在区间I上单调递增.这时,区间I叫作函数y=f(x)的
单调递增区间.
如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就称
函数y=f(x)在区间I上单调递减.这时,区间I叫作函数y=f(x)的
单调递减区间.
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函
故实数a的取值范围是[2,+∞).
1.若函数f(x)=ax2-2x+2在区间(-∞,4)上单调递减,求实数a的取
值范围.
解:当 a=0 时,f(x)=-2x+2 在区间(-∞,4)上单调递减,故成立.
> ,
当 a≠0 时,要使 f(x)在区间(-∞,4)上单调递减,需
≥
,

解得

0<a≤ .
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调,导致解题错
误.
正解:因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴
为直线x=1-a,
所以有1-a=4,即a=-3.
答案:a=-3
认真审题,对题目逐字逐句审读,弄清题目含义,然后解题.

综上可知,实数 a 的取值范围是 ≤ ≤


.
- --, ≤ ,
2.已知函数 f(x)=
是 R 上的增函数,求实数 a 的
,
>


取值范围.
解:因为 f(x)在 R 上是增函数,所以 f(x)需满足在区间(-∞,1]和

2
(1,+∞)上都是单调递增的,并且在 x=1 处的函数值-1 -a-5≤ ,
取值范围.
(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调
区间的任意子区间上也是单调的.
探究三 利用单调性求函数的最值
【例 3】 已知函数 f(x)=

(x>0),求数的最大值和最小值.
+
解:设 x1,x2 是区间(0,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2,
则

( +)- ( +)
4.(1)如果在函数y=f(x)中有f(1)<f(2),能否得到函数f(x)为增函
数?
(2)若函数y=f(x)在定义域D上是减函数,D1⊆D,则y=f(x)在D1上
具有怎样的单调性?
(3)任何函数在定义域上都具有单调性吗?
提示:(1)不能,函数单调性的定义中规定任取x1,x2,当x1<x2
时,f(x1)<f(x2),则函数y=f(x)为增函数,而1和2只是定义域上的
当 1<x1<x2 时,x2-x1>0,x1x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.

∴f(x)max=f(1)=,无最小值.
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),
最小值为f(a).
§3
函数的单调性和最值
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
一、增函数与减函数
【问题思考】
1.观察下面两个图象,从图形上看,它们有什么特征?
(1)
(2)
提示:从题中图形上看,(1)的图象从左到右是上升的;(2)的图
象从左到右是下降的.
2.观察下表,通过表中对应值你发现了什么?
x
1
f(x1)-f(x2)= − =
+ +
( +)( +)
=
( - )( -)
.


( +)( +)
当 0<x1<x2≤1 时,x2-x1>0,x1x2-1<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(0,1]上单调递增.
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),
最小值为f(b).
3.若函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,
再从各区间的最值中选出最大(小)值.函数的最大(小)值是整
个值域范围内最大(小)的.
4.若函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单
题时有时可用图象法),利用定义法证明函数单调性的步骤
探究二 函数单调性的应用
【例2】 已知函数f(x)=-x2-ax-5.若f(x)在区间(-1,1)内单调递
减,求实数a的取值范围.
解:∵函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
∴函数f(x)的图象的对称轴在区间(-1,1)的左侧,
-
即 x=-×(-)≤-1 ,解得a≥2,
,是无理数.
5.(多选题)下列函数中,满足对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都
有f(x1)<f(x2)的是(
).

2
A.f(x)=x
B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=2x+1
答案:ACD
二、最大(小)值
【问题思考】
1.在下图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是
f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =(x1-x2)+
=(x1-x2)·
.




∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).

∴函数 f(x)=x+在区间(2,+∞)上单调递增.
证明函数单调性的方法主要是定义法(在解答选择题或填空
多少?1为什么不是最小值?
提示:最大的函数值为4,最小的函数值为2.
1没有A中的元素与之对应,不是函数值.
2.设函数y=f(x)的定义域是D:若存在实数M,对于所有的x∈D,
都有 f(x)≤M ,且存在x0∈D,使得f(x0)=M,则称M为函数y=f(x)
的最大值.同样地,可以定义函数y=f(x)的最小值.函数的最大

即 a≥-3.

2
又 f(x)=-x -ax-5 的图象的对称轴为直线 x=-,则要使 f(x)=

在区间(-∞,1]上单调递增,需-≥1,即 a≤-2.

f(x)= 在区间(1,+∞)上单调递增,则有 a<0.

-x2-ax-5
要使
综上所述,实数 a 的取值范围是[-3,-2].
3.若函数y=f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),求
两个特殊值,不能说明对任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2),所以由
f(1)<f(2)不能得出函数为增函数.
(2)单调递减.
(3)函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间
内的变化趋势,是递增或递减的一种定性描述,它是函数的局
,是有理数,
部性质.有的函数不具有单调性,例如:函数 y=
(2)要证明函数的单调性,只需用定义证明即可.
解:(1)∵函数 f(x)的图象过点(1,5),∴1+m=5,∴m=4.
(2)由(1)知,m=4,则

f(x)=x+.
f(x)在区间(2,+∞)上单调递增.
用定义证明如下:
任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2,
则


( - )
-
所以 f(x)区间[1,2]上的最大值为 f(1)=0.
答案:A
).
探究一 证明函数的单调性

f(x)=x+ ,且此函数图象过点(1,5).
【例1】 已知函数
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(2,+∞)上的单调性,并用定义证明你的
结论.
分析:(1)把点的坐标代入函数f(x)的解析式求m;
调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
混淆了单调区间与在区间上单调致误
【典例】 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-∞,4],
则实数a的值是
.
错解 函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间
(-∞,4]上单调递减,
因此1-a≥4,即a≤-3.
答案 a≤-3
2
3
4
y=-x+1
-1
-2
-3
0
1
4
9
16
y=x2(x≥0)
5
-4
25
提示:当自变量x的值增大时,y=-x+1对应的函数值y随着减
小,y=x2(x≥0)对应的函数值y随着增大.
3.设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:
如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就称
数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区
间统称单调区间.
如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那
么就称函数y=f(x)是增函数.
如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那
么就称函数y=f(x)是减函数.
实数a的取值范围.
- < - < ,

解: 题意,可得 - < - < ,解得 0<a< .

- > -,

故实数 a 的取值范围是 < < .
函数单调性应用的两个关注点
(1)单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的
单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的