数列测试六

合集下载

【高考调研】2020届高考数学总复习第六章数列配套单元测试(含解析)理新人教A版

第六章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案 B解析由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B. 2．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D 解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于 A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 018答案 D解析各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.5．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 A解析由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A.6．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.7．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( )A ．95B ．97C ．105D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 20＝f 19＋192，f 19＝f 18＋182，……f 2＝f 1＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.8．若a x －1，a y，a－x ＋1(a >0，且a ≠1)成等比数列，则点(x ，y )在平面直角坐标系内的轨迹位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵成等比，∴(a y )2＝ax －1·a－x ＋1.即2y ＝x －1－x ＋1，x －1>0，∴x >1.x －1<x ＋1，∴y <0，∴位于第四象限．9．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是 A ．a 9S 8>a 8S 9 B ．a 9S 8<a 8S 9 C ．a 9S 8≥a 8S 9 D ．a 9S 8≤a 8S 9答案 A解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 11－q 81－q －a 8a 11－q 91－q ＝a 8a 1q －q 9－1＋q 91－q＝－a 1a 8＝－a 21q 7，因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.10．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为 A ．1 006 B ．－2 012 C ．2 012 D ．－1 006答案 C解析方法一设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－12d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－12d＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二由S 2 011＝2 011a 1＋a 2 0112＝2 011a 1 006＝－2 011，解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012a 1＋a 2 0122＝2 012a 1 006＋a 1 0072＝2 012×－1＋32＝2 012.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．答案22解析由题意知2n ＝m ＋m ＋n ，∴n ＝2m .又n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m . ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2. ∴e ＝c a ＝22. 12．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________.答案199299解析a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299. 13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于________．答案 2 解析 ∵S 3＝a 1＋a 3×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0.∴d ＝a 3－a 12＝2.14．某人从2012年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2012年12月底取出的本利和应是________元．答案 1 223.4解析应为1 200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1 200＋0.3×12×132＝1 223.4(元)．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为4. 16．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案－12解析因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，求数列{b n }的前n 项和S n .答案 S n ＝nn ＋1解析 ∵a n ，a n ＋1是x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3. ∴a n ＋2－a n ＝2. ∴a 3－a 1＝2，a 5－a 3＝2，……a 2n －1－a 2n －3＝2.∴a 2n －1－a 1＝2(n －1)．∴a 2n －1＝2n －1，∴当n 为奇数时，a n ＝n . 同理可得当n 为偶数时a n ＝n . ∴a n ＝n . ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 18．(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝54·2n －1＝5·2n －3(2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．19．(本小题满分12分)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }的前n 项的和S n 的公式．解析 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此，T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝1－4n1－4＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n)＋2n ＋1.21．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(2011年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)．(1)设从2011年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n ，B n 的表达式；(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？思路 (1)A n 是一个等差数列的前n 项和，B n 是一个常数数列和一个等比数列的组合的前n 项和，根据数列的求和公式，就可以求出A n ，B n 的表达式．(2)建模B n >A n ，解这个关于n 的不等式．解析 (1)依题意知，A n 是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n 项和，所以A n ＝480n ＋n n －12×(－20)＝490n －10n 2，B n ＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n )－600＝500n ＋500(12＋122＋…＋12n )－600＝500n ＋500×12[1－12n]1－12－600＝500n －5002n －100.(2)依题意得，B n >A n ，即500n －5002n －100>490n －10n 2，可化简得502n <n 2＋n －10.∴可设f (n )＝502n ，g (n )＝n 2＋n －10.又∵n ∈N *，∴可知f (n )是减函数，g (n )是增函数．又f (3)＝508>g (3)＝2，f (4)＝5016<g (4)＝10.则当n ＝4时不等式成立，即4年．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减，得a n＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列．因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n. 所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋ (2))－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1>2 010，则2＋2n －1·2n ＋12n －1>2 010，即2n ＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10.所以满足不等式T n －22n －1>2 010的n 的最小值是10.1．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定答案 B解析记等比数列{a n }的公比为q ，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7.又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6(1＋q6q3)＝b 7(1＋q6q3)，又1＋q6q3＝1q3＋q 3≥2，当且仅当q ＝1时，等号成立，∴a 3＋a 9≥b 4＋b 10.故选B.2．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值是A ．5B ．6C ．10D ．11答案 D解析令f (x )＝32x －11知f (x )关于(112，0)对称，∴a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝0，且a 6>a 7>a 8>a 9>a 10>…>0. ∴S 10＝0，S 11>0，选D.3．数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，则此数列为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列答案 D解析 S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0， ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，∴a n ＋1＝2a n . 又a 1＝1，a 2＝1，∴从第二项起为等比数列．4．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，则a nn 等于A.12 B.23 C.32 D ．2答案 B解析令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ，即a n ＋1－a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公差为d ＝23的等差数列，于是a n ＝23＋(n －1)·23＝23n ，即a n n ＝23.故选B.5．设a 1，a 2，…，a 50是以－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个答案 A解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.6．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有 ( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.答案 64解析 a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1.∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2. ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)．∴b 10＝a 10＋a 11＝64.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．答案 {5,6}解析等差数列中由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6.∴集合为{5,6}．9．(2013·衡水调研)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f (x )＝12px2－(p ＋q )x ＋q ln x (其中p 、q 均为常数，且p >q >0)，当x ＝a 1时，函数f (x )取得极小值，点(a n,2S n )(n ∈N *)均在函数y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q 的图像上．(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)记b n ＝4S n n ＋3·q n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由题易得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝px －(p ＋q )＋q x ＝px 2－p ＋q x ＋q x ＝x －1px －qx.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝qp. ∵p >q >0，∴0<q p<1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：(0，q p ) q p(q p，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值1(2)依题意，y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q ＝2px 2＋px －p ， 2S n ＝2p ·a 2n ＋p ·a n －p (n ∈N *)．∴2a 1＝2p ·a 21＋pa 1－p . 由a 1＝1，得p ＝1. ∴2S n ＝2a 2n ＋a n －1.①∴当n ≥2时，2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1. ②①－②得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1. ∴2(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0. ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－12)＝0.由于a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝12(n ≥2)．∴{a n }是以a 1＝1为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.(3)S n ＝n ＋n n －12·12＝n 2＋3n 4，∴b n ＝4S n n ＋3·q n ＝nq n .∴T n ＝q ＋2q 2＋3q 3＋…＋(n －1)qn －1＋nq n.③已知p >q >0，而由(2)知p ＝1，则q ≠1. ∴qT n ＝q 2＋2q 3＋3q 4＋…＋(n －1)q n ＋nqn ＋1.④由③－④，得(1－q )T n ＝q ＋q 2＋q 3＋…＋q n －1＋q n－nq n ＋1＝q 1－q n 1－q－nq n ＋1.∴T n ＝q 1－q n 1－q 2－nq n ＋11－q. 10．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝12.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．解析 (1)设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且 32<13<42，所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3，又a 13＝1，解得q ＝12.由已知可得c n ＝b n qn －1，因此c n ＝2n ·(12)n －1＝n2n －2.所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n2n －2. 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1. 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.解得S n ＝8－n ＋22n －2.②由①知，c n ＝n2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n n ＋12n －2≥λ.设f (n )＝n n ＋12n －2，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－n2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )．计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154.因为集合M 的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]． 11．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式； (2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2.∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1. ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，d ＝－1的等差数列． ∴a n ＝2－n .(2)当λ＝3时，a n ＝3a n －1＋1，即a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1.∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列．∴b n ＝32×3n －1＝3n2.∴S n ＝321－3n1－3＝34(3n－1)． 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＋a 2＝2S 3，等比数列{b n }满足b 1＝a 2，b 2＝a 4.(1)求证：{b n }中的每一项均为{a n }中的项；(2)若a 1＝12，数列{c n }满足：b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＋a 2＝2S 3得4a 1＋6d ＋a 1＋d ＝6a 1＋6d ，∴a 1＝d .则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1.∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1，等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2. 则b n ＝2a 1·2n －1＝2na 1.∵2n∈N *，∴{b n }中的每一项均为{a n }中的项． (2)解析：∵a 1＝12，∴b n ＝2n×12＝2n －1.由b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，得2n·c n ＝(－1)n[1＋2(n －1)]＝(－1)n(2n －1)． ∴c n ＝－1n2n －12n＝(2n －1)(－12)n.T n ＝(－12)＋3(－12)2＋5(－12)3＋…＋(2n －1)(－12)n ，－2T n ＝1＋3(－12)＋5(－12)2＋…＋(2n －1)(－12)n －1.两式相减，得－3T n ＝1＋2(－12)＋2(－12)2＋…＋2(－12)n －1－(2n －1)(－12)n＝1－2＋2·[1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1]－(2n －1)(－12)n＝－1＋2·1－－12n1－－12－(2n －1)(－12)n＝－1＋43－43(－12)n －(2n －1)(－12)n＝13－6n ＋13(－12)n ，∴T n ＝6n ＋19(－12)n －19. 13．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －2n －2＝0，(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)由题意得a n －a n －1＝2n (n ≥2)，累差叠加，得a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)．又a 1＝2，所以a n ＝n (n ＋1)，(n ∈N *)． (2)b n ＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝nn ＋12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1，b n ＝12n ＋1n＋3，b n 的最大值为b 1＝16，所以t 2－2mt ＋16>16恒成立，m ∈[－1,1]．构造g (m )＝－2tm ＋t 2，即g (m )>0恒成立m ∈[－1,1]．当t ＝0，不成立；当t ≠0，g (m )是一次函数，⎩⎪⎨⎪⎧g －1>0，g1>0，解得t ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2) (2)T n ＝n4n ＋1解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)．因此b n ＝14nn ＋1＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1)＝n4n ＋1. 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1. 15．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ，若S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值．解析方法一 a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.方法二 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋6d ≥10，S 5＝5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a 1－3d ≤－5，a 1＋2d ≤3⇒d ≤1.又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15，∴a 3≤3. ∴a 4≤4.故a 4的最大值为4.方法三本题也可利用线性规划知识求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ≥10，5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.a 4＝a 1＋3d .画出可行域⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.16．(2012·天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n，n ∈N *. (2)方法一由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，① 2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n －1a 1.②由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝121－2n －11－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n－6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n－6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.方法二 (1)当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； (2)假设当n ＝k 时等式成立，即T n ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时，有T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12. 即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1. 因此n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立．17．(2012·陕西)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4. 即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.由a 1≠0，q ≠0，得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)方法一对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．方法二对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 11－q k1－q，S k ＋2＋S k ＋1＝a 11－q k ＋21－q ＋a 11－q k ＋11－q＝a 12－q k ＋2－q k ＋11－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 11－q k1－q－a 12－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k)－(2－qk ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0，因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．18．(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解析 (1)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， ∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又∵2a 1＝2S 1＝a 2－22＋1,2(a 1＋a 2)＝2S 2＝a 3－23＋1， ∴a 2＝2a 1＋3，a 3＝6a 1＋13.因此4a 1＋16＝7a 1＋13，从而a 1＝1.(2)由题设条件知，n ≥2时，2S n －1＝a n －2n＋1， 2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1.∴2a n ＝a n ＋1－a n －2n，于是a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．而由(1)知，a 2＝2a 1＋3＝5＝3a 1＋2，因此对一切正整数n ，有a n ＋1＝3a n ＋2n. 所以a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)．又∵a 1＋21＝3，∴{a n ＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．故a n ＋2n＝3n，即a n ＝3n－2n. (3)∵a n ＝3n－2n＝3·3n －1－2n ＝3n －1＋2(3n －1－2n －1)≥3n －1，∴1a n ≤13n －1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋132＋…＋13n －1＝1－13n1－13<32. 19．(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列的通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.20．(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n－k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解析 (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kcn －1(n ≥2)．由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)．解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kcn －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n.(2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(2012·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解析 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0. (2)(ⅰ)假设{x n }是递增数列．由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③21 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知 2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n 的性质，得2c －1≤0，c ≤14.故0<c ≤14. (ⅱ)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即 x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明：当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立． (1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即x k <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(ⅰ)(ⅱ)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是(0，14]．。

六年级数学思维训练：分数数列计算(六年级)竞赛测试.doc

六年级数学思维训练：分数数列计算（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】计算：++++++++．【答案】【解析】试题分析：通过观察，每个分数的分母都是两个自然数的乘积，可以把每个分数拆分成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求出结果．解：++++++++=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．【题文】计算：+++…+．【答案】【解析】试题分析：通过观察，分母中的两个因数的差等于分子，因此可把每个分数拆成两个分数的差，通过加减相互抵消，求得结果．解：+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=点评：此题采用了裂项消项法，先进行分数裂项，然后通过加减相互抵消，求出结果．【题文】．【答案】．【解析】试题分析：通过观察，每个分数的分子为1，分母的两个因数相差2，可将分数拆成两个因数分别作为分母，分子为l的两个分数的差，据此解答．解：+++…+，=×[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=×[﹣]，=×，=．点评：此题中的分数形如（若b﹣a=n），就可以拆分为×（﹣）．【题文】+++++++．【答案】．【解析】试题分析：6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，42=6×7，56=7×8，72=8×9，90=9×10，所以=﹣，=﹣，…=﹣，依次展开，前后抵消，即可得解．解：+++++++=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣===．点评：关键发现=﹣，把计算式展开，前后抵消，使问题简化．【题文】（2012•北京模拟）．【答案】．【解析】试题分析：根据==×（1﹣），=，…，再提取公因数，括号里面的数相加减最后剩下（1﹣），再按照运算顺序计算即可．解：+…+，=+…+，=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），=×（1﹣），=×，=．点评：解决本题要分析数据选择适合的方法计算．【题文】（2012•北京模拟）．【答案】．【解析】试题分析：因为，所以将算式中的数先写成这种形式，能结合的结合，再进行加减计算．解：﹣，=，=，=．点评：解决本题主要依据：，将算式进行简算．【题文】计算：﹣+﹣+﹣+﹣+．【答案】1【解析】试题分析：不考虑运算符号，可以发现=+，=+，…，由此代入题目中进行计算即可．解：﹣+﹣+﹣+﹣+=1+﹣﹣++﹣﹣+…++=1+=1点评：解答此题的关键是把分数拆分，进一步发现规律解决问题．【题文】计算：+++…+．【答案】【解析】试题分析：因为=（﹣），=（﹣），…，因此通过拆分，加减相互抵消，解决问题．解：+++…+=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．【题文】计算：++++…++．【答案】15【解析】试题分析：每个分数的分子与分母相差1，因此把每个分数拆成“1﹣分数单位”的形式，再把分数单位进行拆分，通过加减相互抵消，求出结果．解：++++…++=1﹣+1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣+1﹣=（1+1+1+…+1）﹣（++++…++）=（1+1+1+…+1）﹣（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=16﹣（1﹣）=16﹣=15点评：仔细观察数字特点，通过分数拆分，使计算简便．【题文】计算：（1﹣）×（1+×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）．【答案】【解析】试题分析：先求出每个括号内的得数，然后约分，即可得出最后结果．解：（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）=××××…××=×=点评：注意观察题目中数字构成的特点和规律，善于灵活运用运算技巧，巧妙解答．【题文】计算：+++++…+．【答案】【解析】试题分析：通过观察，每个分数的分母都是两个连续自然数的乘积，可以把每个分数拆分成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求出结果．解：+++++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．【题文】计算：++++…+．【答案】【解析】试题分析：通过观察，分子都为3，并且每个分数的分母中的两个因数的差都等于分子，因此把3提出来，原式变为3×（﹣+﹣﹣+…﹣），括号内通过加减相互抵消，得出结果．解：++++…+=3×（﹣+﹣﹣+…﹣）=3×（﹣）=3×=点评：此题采用了裂项消项法，先进行分数裂项，然后通过加减相互抵消，求出结果．【题文】计算：﹣+﹣+﹣．【答案】【解析】试题分析：通过观察，分子等于分母中两个因数的和，于是可把每个分数拆成两个分数的和，通过加减相互抵消，解决问题．解：﹣+﹣+﹣=﹣+﹣+﹣=+1﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣=1﹣=点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．【题文】计算：（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17；（2）+﹣﹣++﹣﹣++…++﹣．【答案】（1）81；（2）1.【解析】试题分析：（1）把每个分数拆成“整数+分数”的形式，再把分数拆成两个分数相减的形式，通过加减相互抵消，求出结果．（2）通过观察，分母的两个因数的和等于分子，因此把分子拆成分母中两个因数的和的形式，进而计算即可．解：（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17=（1+3+5+7+…+17）+（++…+）=+（1﹣+﹣+…﹣）=81+（1﹣）=81+=81（2）+﹣﹣++﹣﹣++…++﹣=+﹣﹣+…+﹣=+1++﹣﹣﹣﹣+…++﹣﹣=1+﹣=1+=1点评：注意分析数据，运用拆分的方法，使计算简便．【题文】计算：1++++…+．【答案】1【解析】试题分析：通过观察，每个分数拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相互抵消，求出结果．解：1++++…+=1+（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+（1﹣）=1+（1﹣）=1+（1﹣）=1+=1点评：解答此题，应注意分数的拆分，把每个分数拆成两个分数相减的形式，从而进行简算．【题文】计算：++++…++．【答案】37【解析】试题分析：通过计算发现：每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果．解：++++…++=（2﹣）+（2﹣）+（2﹣）+…+（2﹣）+（2﹣）=（2﹣）+（2﹣）+（2﹣）+…+（2﹣）+（2﹣）=2×19﹣（+++…+）=38﹣[1﹣+﹣+﹣+…﹣]=38﹣（1﹣）=37+=37点评：此题解答的关键在于把分数拆分，变成相互抵消的形式，使计算简便．【题文】计算：+++…+．【答案】33【解析】试题分析：=1+×（﹣），把每一项进行拆分，然后通过加减相互抵消，解决问题．解：+++…+=1+×（1﹣）+1+×（﹣）+1+×（﹣）+…+1+×（﹣）=1×33+×（1﹣+﹣++…+﹣）=33+×（1﹣）=33+×=33+=33点评：此题解答的依据是：=1+×（﹣）．【题文】计算：++++…+．【答案】【解析】试题分析：先计算出分母，原式变为++++…，然后把每个分数拆成两个分数的差，通过加减相互抵消，求出结果．解：++++…+=++++…+=++++…+=++++…=1﹣++﹣+﹣+…+﹣=1﹣=点评：注意分数拆分，是解答此题的关键．【题文】计算+++…+．【答案】．【解析】试题分析：先探索规律：=×（﹣），=×（﹣），=×（﹣）…，=×（﹣），代入原式，然后利用分配律提取，就会出现前后项相抵消，继而求得结果．解：+++…+=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×（﹣）=×==．点评：本题解决的关键是能够发现规律，把原式中的每一项拆成两项差的，提取后利用前后项相抵消解决问题．【题文】计算：+++…+．【答案】【解析】试题分析：仔细观察数据，把每个分数进行拆分，化成分数相减的形式，通过加减相互抵消，求得结果．解：+++…+=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（2+++…++）=×（2+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=×（2+﹣）=×=点评：此题如果按常规来做很复杂，必须运用某些技巧，寻找简便计算的方法．此题分母具有一定规律，通过拆项的方法，简化计算的过程．【题文】计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）．【答案】【解析】试题分析：把每个括号内的算式运用平方差公式展开，然后计算出每个括号内的结果，约分即可．解：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）=（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）=××××…××=×=点评：此题解答的关键在于运用平方差公式，通过约分，得出结果．【题文】计算：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）．【答案】【解析】试题分析：把每个括号内的数进行通分，原式变成，约分即可．解：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）=×××…×===点评：仔细观察数据，对数据进行灵活处理，进行简便计算．【题文】计算：++…++．【答案】38【解析】试题分析：通过计算发现：每一项的结果都是“2+分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果．解：++…++=2++2++2++…2++2+=2×19+（1﹣﹣+﹣+…+﹣）=38+（1﹣）=38+=38点评：仔细观察，找出规律，使计算简便．【题文】计算：++…++．【答案】10【解析】试题分析：通过观察，原式变为（1+）+（1+）+…+（1+）+（1+），然后把分数进行拆分，通过加减相互抵消，求得到结果．解：++…++=（1+）+（1+）+…+（1+）+（1+）=10+（+…++）=10+（1﹣+﹣+﹣+…+）=10+1=10点评：从数据特点出发，通过数据变形，灵活简算．【题文】已知算式（1+）×（2+）×…×（8+）×（9+）的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？【答案】60．【解析】试题分析：先计算出各个括号内的结果，然后约分，求出最后结果，确定最后两位数字即可．解：（1+）×（2+）×…×（8+）×（9+）=××××…×××=×1×2×3×…×8×189=×189=2540160．答：它的末两位数字是60．点评：此题考查了分数的计算，计算量较大．【题文】计算：+++…+．【答案】【解析】试题分析：利用==+=+=﹣+×（﹣），把每个都这样拆开计算即可．解：+++…+=++++++…++=（1﹣+﹣+…+﹣）+﹣+﹣+…+﹣=×（1+﹣）+﹣=×+=点评：本题考查巧妙的计算，注意观察数字的特点是关键．【题文】计算：+++…+（最后结果可以用阶乘表示）【答案】1﹣【解析】试题分析：把每个分数拆成两个分数相减的形式，通过加减相互抵消，即可求出结果．解：+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣点评：此题考查了阶乘知识以及分数拆项，通过加减相互抵消，求出结果．【题文】已知A=，B=+++…+，请比较A和B的大小．【答案】A＞B．【解析】试题分析：利用放缩法，可得B=+++…+＜====A，据此判断出A和B 的大小即可．解：B=+++…+＜====A所以A＞B．点评：此题主要考查了分数大小的比较，解答此题的关键是放缩法的灵活应用．【题文】计算：+++…+（结果可以用阶乘和乘方表示）【答案】103!×（）100﹣6【解析】试题分析：由题意得，a1==1×3！×（）1a2==2×4！×（）2=5！×（）2﹣4！×（）1a3==3×5！×（）3=6！×（）3﹣5！×（）2…a100==103×（）100﹣102！×（）99计算即可．解：a1==1×3！×（）1a2==2×4！×（）2=5！×（）2﹣4！×（）1a3==3×5！×（）3=6！×（）3﹣5！×（）2…a100==103×（）100﹣102！×（）99所以，+++…+=1×3！×（）1+5！×（）2﹣4！×（）1+6！×（）3﹣5！×（）2+…+103×（）100﹣102！×（）99=103！×（）100﹣4!×+3!×=103!×（）100﹣4×3×2×+3×2×=103!×（）100﹣6点评：把原式进行适当变形，简算即可．【题文】计算：+++…+．【答案】50275【解析】试题分析：解：第一项为100×99×98×第二项为100×99×98×依此类推，最后一项为100×99×98×（总共97项）现在只需要计算+…+==+﹣+…+=（++…+）+（++…+）﹣（++…+）所有到的可以全部消掉，得+++﹣﹣=×（++﹣﹣）．还很难计算．解：+++…+=100×99×98×+100×99×98×+…+100×99×98×=100×99×98×（++…+）=100×99×98×（+…+）=100×99×98×[（++…+）+（++…+）﹣（++…+）]=100×99×98×[+++﹣﹣]=100×99×98××（++﹣﹣）=100×99×98××（+﹣）=100×99×98××+100×99×98××﹣100×99×98××=40425+4900+4950=50275点评：此题属于较难的计算题目，根据数据特点，找出规律，综合运用运算技巧，灵活简算．。

6智商测试题及答案解析

6智商测试题及答案解析一、逻辑推理题1. 如果所有的猫都是哺乳动物，并且所有的哺乳动物都有毛发，那么可以推断出所有的猫都有毛发吗？A. 是的B. 不一定C. 不能推断答案：A2. 以下哪个选项是正确的逻辑顺序？A. 苹果 > 橙子 > 香蕉B. 香蕉 > 橙子 > 苹果C. 橙子 > 苹果 > 香蕉答案：C二、数学问题3. 一个数字序列是：2, 4, 6, 8, ... 这个序列的下一个数字是什么？A. 8B. 10C. 12答案：B4. 如果一个数列的前三个数字是 3, 5, 7，那么这个数列的第四个数字是多少？A. 8B. 9C. 10答案：C三、空间推理题5. 如果一个立方体的每个面都是正方形，那么这个立方体有多少个角？A. 4B. 8C. 12答案：B6. 一个球体在空间中可以有多少个对称轴？A. 1B. 2C. 无数个答案：C四、语言理解题7. “他不仅聪明，而且勤奋。

”这句话描述的是一个人哪两个特点？A. 聪明和懒惰B. 聪明和勤奋C. 愚蠢和勤奋答案：B8. “不入虎穴，焉得虎子”这句话的意思是什么？A. 不冒风险就得不到成功B. 不进山洞就找不到老虎C. 不进虎穴就得不到虎子答案：A五、常识判断题9. 世界上最深的海沟是哪一个？A. 马里亚纳海沟B. 阿特兰蒂斯海沟C. 太平洋海沟答案：A10. 人体最大的器官是什么？A. 心脏B. 肝脏C. 皮肤答案：C六、答案解析- 逻辑推理题1的答案是A，因为题目给出了两个条件：猫是哺乳动物，哺乳动物有毛发，根据逻辑推理，可以得出猫也有毛发。

- 数学问题3的答案是B，因为这是一个等差数列，每个数字比前一个数字大2，所以下一个数字是8+2=10。

- 空间推理题5的答案是B，因为立方体有8个角。

- 语言理解题7的答案是B，因为句子中使用了“不仅...而且...”的结构，表示两个都是正面的特点。

- 常识判断题9的答案是A，因为马里亚纳海沟是已知的世界上最深的海沟。

备战2023年高考理科数学单元检测(六)数列

单元检测(六) 数列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2021·江西五校联考]在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 6a 5＝2，则公差d 的值是( ) A ．－13 B ．13 C ．－14 D ．142．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，则a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．73．[2021·蓉城名校高三联考]若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝20，a 4＝6，则a 2的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．[2022·吉林长春模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则在数列中绝对值最小的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项5．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 C ．a n ＝2n －1 D ．a n ＝2n ＋16．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ＋1·(3n －2)(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝( )A ．－3 027B ．3 027C ．－3 030D ．3 0307．[2021·广东七校联考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．88．[2022·山东青岛模拟]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6 ＝13 ，则S 6S 12＝( ) A ．310 B ．13 C ．18 D ．199．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21 ＋a 22 ＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2B ．13(2n －1)2 C ．4n －1 D ．13(4n －1) 10．[2021·湖北武汉部分重点中学联考]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或311．[2022·内蒙古巴彦淖尔月考]定义n p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1.若b n ＝a n ＋14 ，则1b 1b 2 ＋1b 2b 3 ＋…＋1b 10b 11为( ) A ．111 B ．910 C ．1011 D ．111212．数列{a n }满足a 1＝65 ，a n ＝a n ＋1－1a n －1(n ∈N *)，若对n ∈N *，都有k >1a 1 ＋1a 2 ＋…＋1a n 成立，则最小的整数k 是( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在公差为2的等差数列{a n }中，a 3－2a 5＝4，则a 4－2a 7＝________．14．已知等差数列{c n }的首项c 1＝1，若{2c n ＋3}为等比数列，则c 2 019＝________．15．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N *)，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，则实数λ的值是________．16．[2022·安徽五校检测]设数列{a n }满足a 1＝5，且对任意正整数n ，总有(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4成立，则数列{a n }的前2 018项的和为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．18．(本小题满分12分)已知由实数构成的等比数列{a n }满足a 1＝2，a 1＋a 3＋a 5＝42.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ＋a ＋1(a 为常数).(1)若a ＝2，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a n ＋1n ·S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)已知n ∈N *，设S n 是单调递减的等比数列{a n }的前n 项和，a 2＝12，且S 4＋a 4，S 6＋a 6，S 5＋a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝－log 2a n ＋λn (λ≠－1)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1 的前n 项和T n 满足T 2 018＝2 018，求实数λ的值．21．(本小题满分12分)设数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝1a n ＋a n ＋1，若b 1＋b 2＋…＋b n >1，求正整数n 的最小值．22．(本小题满分12分)[2021·河南林州调研]已知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q >0，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 3＋a 3，S 2＋a 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12 an b n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ≥m 恒成立，求m的最大值．。

(完整版)高职数学第六章数列题库题库

2015级2015-2016学年度第二学期数学题库高职数学第六章数列题库题库一、选择题01-06-02 下列数列中不是等比数列的是…………（）A. 2，2，2，2；B. -1，51，-251，1251 C. 3，-3，3，-3，3，…… D. 17，14，11，8，……02-06-02 等比数列38，4，6，9，…的通项公式是（） A.n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=23916 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=23916n a C. n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=32916 D. 123916-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n a 03-06-02已知数列｛a n ｝为等比数列，48,652==a a ，1a 的值是……………………………………………（）A.2B.3C.4D.504-06-02 等比数列1，－31，91，－271，…的前5项的和是…………………………………………………（） A. 8164 B. 8161- C.8161 D. 8111 05-06-02 已知－2，x ，－8成等比数列，则x 的值是（）A.4B.－4C. －4或4D.806-06-02 等比数列Λ,2,1,21,41的前8项的和是（） A. 8126- B. 4125- C.4126- D. 4128- 07-06-02 等比数列12，18，27，（）括号内应是（）A.32B.36C.37.5D.40.508-06-02 已知数列()n a 是等比数列，若1a =－23，4a =96，则q 的值是………………………………（）A.4 B.－4 C.5 D.-809-06-02 选择合适的数填入括号内使数列中各数都具有相同的规律……………………………………（）1/9，2/27，1/27，( )A.4/27B.7/9C.5/18D.4/24310-06-02 选择合适的数填入括号内使数列中各数都具有相同的规律……………………………………（）1，1，2，-1，5，6，15，( )A.21B.24C.31D.40二、填空题11-06-02 已知等比数列｛n a ｝中，1a =1，q=3，则4a = ，4S =12-06-02 等比数列｛n b ｝中，若1b =25，q=51，则n b = 13-06-02 等比数列｛n b ｝中，若3b =3，6b =24，则q= ，10b = 。

课标版(文理)数学第一轮专题练习--第六章数列

2023课标版(文理)数学高考第一轮专题练习第六章数列第一讲数列的概念与简单表示法夯基础考点练透1.己知5；为数列的前n项和，3又=#2,则数列⑶A.有最大项也有最小项B.有最大项无最小项C.无最大项有最小项D.尤最大项也无最小项2.［开放题］己知递减数列满足1＜况彡2,则UJ的通项公式可以是备= .3.己知在数列中，a)=-ln 2, a,^=a n+\w则a^= .n+24.已知数列是首项为2,公比为3的等比数列，若数列｛ZU满足则⑹的通项公式么= .5.在数列U｝中，功=1，备=2如+ln 3 (n^2)，则数列UJ的通项公式.6.［2021河南商丘诊断改编］已知数列U,｝满足且则礼= .7.在数列UJ中，况+2從+3氏+•••+/?礼=2/7,则a,= ____________________________ ，数列｛-^-1的前n项和为________________________________________ . ____________________________n+i8.［2022安徽名校联考］已知正项数列UJ的前/?项和为S。

且满足2S t p^aAn^.⑴求数列UJ的通项公式：⑵设b‘」求数列｛b)｝的前n项和K9.[2022河南十校联考]已知在数列U）中，功=1，好3,且当n^Z时，如=4U-如）.⑴证明：是等比数列.⑵求数列U）的通项公式.提能力考法实战10.[2022武汉市部分学校质检改编]数列U｝依次为i i i i ?…，其中第-项为|，接下来三项均为再接下来五项均为^依此类推.记的前/7项和为么则下列说法错误的是（B.存在正整数k，使得C.S n（而D.数列｛&｝是递减数列n11.［2021安徽省马鞍山市三检］如图6-1-1 (1)是第7届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图6-1-1 (2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA\=A\A2=A2Ai=A i A<=A^A3A^=M=AiA i i=…=1，A h A2, /h，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积按从小到大的顺序组成的数列分别为｛/J, ｛&｝,则关于这两个数列叙述错误的是()图6-1-1A.是等差数列B.7n=l+Vn + Vn + 1C.l n~l^i=yfn — Vn-l(z?>l, /?eN)D.人-1=25>2么12.［2021云南、贵州、四川、广西四地5月联考］在数列U｝中，a=2, G/+1)知=20/-2护2)如则^/?=______ .13.［条件创新］己知数列满足a n=ncos^ n , b n=a n+a^,则数列｛b,｝的前50项和为.14.［条件创新］已知数列UJ的前/7项和为5；且战=1，当时，a2+25X-i=/rl.若(^2)且则nF .15.［2022山东部分重点中学综合考试］已知数列U｝满足a^=\t a^a^=2n(n^2t.⑴记求数列M的通项公式；⑵求数列UJ的前/7项和&第二讲等差数列及其前〃项和夯基础考点练透1. ［易错题］数列的前/7项和为5；且S^-n+a,n^',则“沪0”是“数列UJ 为等差数列”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 1).既不充分也不必要条件2. ［2021厦门市三检］已知等差数列U ｝，其前n 项和为S 物若S,=^5,汝+泳=32,则() A. 80B. 160C.176D.1983. ［2021郑州市三模］己知等差数列U)的公差不为零，且al=^, 5；为其前项和，则&a l4. 在等差数列UJ 中，已知^>0,决+决〈0,则数列U,｝的前n 项和5；取得最小值时的n 值为A.4B.5C.6D. 75. ［2021苏锡常镇四市联考］［开放题］己知等差数列U ｝的首项为a ，公差为M 其中a,阳们，且决〈aX 曲,写出一个满足条件的数列UJ 的通项公式:.6. ［2022厦门模拟］已知等差数列U)的公差#0,氏=7,且况，决，纽、成等比数列，数列｛ZU 满足b^b^=a n . (1)求UJ 的通项公式； ⑵求｛ZU 的前20项和&7. [2022郑州一模]已知等差数列的公差为＜/(#⑴，前/?项和为S 。

差距游戏测试题及答案大全

差距游戏测试题及答案大全1. 题目一：计算下列数列中第10项的值。

数列：2, 4, 8, 16, ...答案：第10项的值为1024。

2. 题目二：找出数列中缺失的数字。

数列：1, 3, 6, 10, 15, ...答案：缺失的数字是21。

3. 题目三：如果一个差距游戏的规则是每次操作后数字翻倍，那么从数字2开始，进行三次操作后，数字是多少？数列：2, ...答案：进行三次操作后，数字是16。

4. 题目四：数列中每个数字是前一个数字的两倍减去1，求第5项的值。

数列：3, 5, 9, 17, ...答案：第5项的值是33。

5. 题目五：给定数列的生成规则是每个数字是前一个数字加上3，求第8项的值。

数列：1, 4, 7, 10, ...答案：第8项的值是21。

6. 题目六：数列的生成规则是每个数字是前一个数字的平方，求第4项的值。

数列：2, 4, 8, ...答案：第4项的值是16。

7. 题目七：数列的生成规则是每个数字是前一个数字加上前一个数字的一半，求第6项的值。

数列：1, 3, 4, 7, 11, ...答案：第6项的值是18。

8. 题目八：数列的生成规则是每个数字是前一个数字加上2的倍数，求第7项的值，初始数字为1。

数列：1, 3, 5, 7, 9, 11, ...答案：第7项的值是13。

9. 题目九：数列的生成规则是每个数字是前一个数字的平方根，求第3项的值。

数列：4, 2, ...答案：第3项的值是1.41421356。

10. 题目十：数列的生成规则是每个数字是前一个数字加上5，求第10项的值。

数列：2, 7, 12, 17, ...答案：第10项的值是52。

以上是差距游戏测试题及答案大全，每题都提供了数列的生成规则和对应的答案。

高中数学竞赛试题汇编六《数列》

高中数学竞赛试题汇编六《数列》1.【2010全国】{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =， 533a b =，则n a = ，n b =答案：d=6,q=92.【2013山东】数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n S a =-，则n a =答案：12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.【2010河南】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59S S =，则35:a a = A.9:5 B. 5:9 C. 3:5 D. 5:34.【2010河北】从满足12211,(1)n n n a a a a a n ++===+≥的数列{}n a 中，依次抽出能被3整除的项组成数列{}n b ，则100b = A.100a B.200a C.300a D.400a 答案：易知4k a 能被3整除，故选D5.【2010山西】数列{}n a 满足2111,n n a a a n +=+=-，则15a =答案：15104a =-6.【2013福建】数列{}n a 满足1132,2n n a a a n +=+=，则na n的最小值为答案：累加法，(1)32n a n n =-+，321n a n n n =+-，n=6 最小313.7.【2010福建】数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++=-=，则满足10n a >的最小正数n=答案：11122n nn na a ++-=，3n =. 8.【2010江西】数列{}n a ，{}nb 满足1,1,2,3,k k a b k ⋅==L ，已知数列{}n a 前n 项和为1n nA n =+，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n B = 答案：9.【2010湖北】数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++===-，前n 项和为n S ，100S =答案：9k k a a +=，故100991001210111()89S S a a a a a =+=++++=L 10.【2010江苏】数列{}n a ，{}n b 满足235212312,log ()n n n n a b a a a a n+==L ，则n b = 答案：2(123)5(4)5512322n nn n n a a a a ++++++==L L ，1(4)(4)55n n n n b n ++==11.【2013湖北】数列{}n a 满足0120,1,n n a a a a ===，211n n a a +=+，2013a = 答案：912.【2010江苏】数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，123n n T a a a a =L ，则2010T = 答案：1234112,3,,23a a a a ==-=-=，123441,n n a a a a a a +==， 2010200820092010126T T a a a a =⨯⨯==-13.【2010浙江】数列{}n a {}n b 分别为等差数列和等比数列，且11444,1a b a b ====，则 A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b >答案：A14.【2013江苏】数列{}n a 满足()()4+1+19,130n n n n a a a a a =---=，满足条件的1a 的所有可能值之积是答案：49a =，33a =，21a =，10a =；015.【2013安徽】数列{}n a满足12121,(3)n n n a a a a n --===-≥，则2013a =答案：116.【2013浙江】等比数列{}n a 满足13a =且第1项至第8项的几何平均数为9，则3a = A.B.C.D.答案：B，2733,q a ==16.【2012天津】数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则317a a +=A. 36B. 35C. 34D. 33 答案：C16.【201河南】已知n a n =，则数列11321n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数的前2n 项和2T n = 答案：2122T 222n n n n +=++-3.【2012山西】设等差数列的前n 项和n S ，若10a >，311S S =，则当n S 取得最大值时n = 答案：7n =.3.【2012山东】等差数列{}n a 中，201a a =，2011a b =，20121a c=，则 199********ac bc ab --=答案：0.3.【2012湖北】已知数列{}n a 满足：1a 为正整数，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩偶为数为奇数，① 若12a =，则4a = ；② 若12329a a a ++=，则1a = ；答案：5.3.【2012四川】设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2(1)4n n a S +=，则20S =答案：0.3.【2012黑龙江】数列{}n a 满足11a =，212a =，1111()2n n n n n a a a a a -+-++=⋅，则2012a = 答案：C3.【2012江苏】在等差数列{}n a 中，44S ≤，515S ≥，则4a 的最小值是199********ac bc ab --= 答案：0.1.【2011天津】正实数1239,,,a a a a L 构成等比数列，且1234a a +=，345615a a a a +++=，则789a a a ++= 答案：()1314a q +=①，()2231115a q q q q +++=②；②/①得2q =，114a =，789112a a a ++=2.【2011辽宁】设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n C ，且满足1n n b c +=，则1na = 答案：1,n n n cbc -=1112b c ==，11n n n c c c -+=，所以1111n n c c --=，易得1,11n n n c b n n ==++ 11(1)n n n a b b n n -=-=+3.【2011福建】已知,n n S T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2142n n S n T n +=-，则1011318615a ab b b b +=++答案：1010101112020111131861512012012012020a a a a a a S a ab b b b b b b b b b b b T +++=+===++++++4.【2011湖北】数列{}n a 满足12a =，21a =，1212n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++，则122011a a a +++=L答案：40225.【2011四川】设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若103010,70S S ==，则40S = 答案：150.6.【2011浙江】已知等差数列{}n a 的前15项和1530S =，则1815a a a ++= 答案：150.。

命题热点自测6 数列

命题热点自测(六) 数列一、选择题1．(2021·湖南永州高三月考)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a t ＝7，a t ＋3＝10，则其前t 项的和为( )A ．12B ．22C ．23D ．25B [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，d ＝a t ＋3－a t 3＝a t －a 2t －2，∴10－73＝7－5t －2，∴t ＝4，d ＝1.∵a 1＝a 2－d ＝4，∴S t ＝S 4＝4a 1＋4×32d ＝16＋6＝22. 故选B ．]2．(2021·济南市历城第二中学高三开学考试)在等比数列{a n }中，a 2＝－1，a 6＝－4，则a 3a 4a 5＝( )A ．－8B ．8C ．±8D ．16A [设等比数列 {a n }的公比为q ，∵a 2＝－1，a 6＝－4, ∴a 6＝a 2q 4＝－4，∴q 2＝2, ∴a 4＝a 2q 2＝－2.∵a 3a 5＝a 2a 6＝a 24＝4 ，∴a 3a 4a 5＝4×(－2)＝－8，故选A .]3．(2021·广东高州二模)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n ＝n 2－n ”是“数列{a n }是公差为2的等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [已知S n ＝n 2－n ，所以a 1＝0，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2－n －[(n －1)2－(n －1)]＝2n －2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列；当数列{a n }是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列{a n }的前n 项和S n 不确定，所以是充分不必要条件．故选A ．]4．(2021·“山东学情”高三联考)已知等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且a 4b 6＝13，则S 7T 11＝( )A ．733B ．13C ．1433D ．711A [因为S 7＝7 (a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7a 4，T 11＝11 (b 1＋b 11)2＝11×2b 62＝11b 6.所以S 7T 11＝7a 411b 6＝711×13＝733.故选A ．]5．(2021·广东高三模拟)已知等比数列{a n }中，a 1a 3a 5＝64，a 6＝32，若2a n ≥8n ＋t 恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－16B ．16C ．－20D ．20A [因为a 1a 3a 5＝a 33＝64，所以a 3＝4，又a 6＝32，所以q 3＝a 6a 3＝8，解得q ＝2，所以a n ＝2n －1，所以2a n ≥8n ＋t 恒成立等价于2n －8n ≥t 恒成立，令b n ＝2n －8n ，则b n ＋1－b n ＝2n －8，当n <3时，b n ＋1－b n <0；当n ＝3时，b 4－b 3＝0；当n >3时，b n ＋1－b n >0，所以b 1>b 2>b 3＝b 4<b 5<b 6<…，所以(b n )min ＝b 3＝b 4＝－16，所以t ≤－16，即实数t 的最大值为－16.故选A ．] 6．(2021·河北衡水中学模拟)跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要( )A ．16天B ．17天C ．18天D ．19天B [依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程(单位：千米)依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，设经过n 天后他完成健身计划，则8n ＋n (n －1)2×12≥200，整理得n 2＋31n －800≥0.因为函数f (x )＝x 2＋31x －800在[1，＋∞)为增函数，且f (16)<0，f (17)>0，所以n ≥17.故选B ．]7．(多选)(2021·广东顺德区高三月考)已知S n 是公比为q 的正项等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 2＝3，a 2a 4＝16，则下列说法正确的是( )A ．q ＝2B ．数列{S n ＋1}是等比数列C ．S 8＝255D ．数列{lg a n }是公差为2的等差数列ABC [由题意知，公比q 为正数，且a 23 ＝ a 2 a 4 ＝ 16，∴a 3＝4，a 1q 2＝4，又a 1＋a 1q ＝3，解得a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1，S n ＝1·(1－2n )1－2＝2n －1，∴S n ＋1＝2n ，∴数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列．S 8＝28－1＝255，故ABC 正确； lg a n ＝(n －1)lg 2，数列{lg a n }是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选ABC ．]8．(多选)设首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＋1＝2S n ＋n －1，则下列结论正确的是()A．数列{S n＋n}为等比数列B．数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1－1C．数列{a n＋1}为等比数列D．数列{2S n}的前n项和为2n＋2－n2－n－4 AD[因为S n＋1＝2S n＋n－1，所以S n＋1＋n＋1S n＋n＝2S n＋2nS n＋n＝2.又S1＋1＝2，所以数列{S n＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；所以S n＋n＝2n，则S n＝2n－n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误；由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，即a3＋1a2＋1≠a2＋1a1＋1，故C错误；因为2S n＝2n＋1－2n，所以2S1＋2S2＋…＋2S n＝22－2×1＋23－2×2＋…＋2n＋1－2n＝22＋23＋…＋2n＋1－2(1＋2＋…＋n)＝4(1－2n)1－2－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋n(n－1)2＝2n＋2－n2－n－4.所以数列{2S n}的前n项和为2n＋2－n2－n－4，故D正确．故选AD．]二、填空题9．(2021·北京八中高三月考)已知等差数列{a n}是首项为－10的递增数列，若a3<0，a11>0，则满足条件的数列{a n}的一个通项公式为________．a n＝2n－12(答案不唯一)[设数列{a n}的公差为d，由题可得d>0，因为a 3<0，a 11>0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－10＋2d <0，－10＋10d >0，解得1<d <5，只要公差d 满足1<d <5即可，然后根据等差数列的通项公式写出a n 即可，我们可以取d ＝2，此时a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.]10．已知数列{a n }的前n 项和为S n .若a n ＋a n ＋1＝4n ，则S 20＝________. 400 [∵a n ＋a n ＋1＝4n ，∴a 1＋a 2＝4×1，a 3＋a 4＝4×3，…，a 19＋a 20＝4×19， ∴S 20＝4×10×(1＋19)2＝400.]11．(2021·山东省淄博实验中学高三月考)将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为________．48 [前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)(1＋n －1)2＝n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.所以第10行从左向右的第3个数为102－10＋62＝48.]12．(2021·肥城市教学研究中心高三月考)元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及：今有银一秤一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之．其意思是：现有银一秤一斤十两，将银分给甲、乙、丙三人，甲、乙、丙三人每个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最多的那个人得银________两，得银最少的3个人一共得银________两．(规定：1秤＝10斤，1斤＝10两)1 92031 84031 [由题意可得一秤一斤十两共120两，将这5个人所得银的数量由小到大排列即为数列{a n }，则{a n }是公比为q ＝2的等比数列，所以前5项的和为S 5＝a 1(1－25)1－2＝120，可得a 1＝12031，所以得银最多的那个人得银a 5＝12031×24＝1 92031，得银最少的3个人一共得银S 3＝12031× (1－23)1－2＝84031.]三、解答题13．(2021·江苏如皋高三开学考试)在①3S n ＋1＝S n ＋1，②a 2＝19，③2S n ＝1－3a n ＋1，三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足________，________；又知正项等差数列{b n }满足b 1＝2，且b 1，b 2－1，b 3成等比数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)证明：a b 1＋a b 2＋…＋a b n ＜326.[解] 选择①②： ∵3S n ＋1＝S n ＋1，∴当n ≥2时，3S n ＝S n －1＋1，∴两式做差得：3a n ＋1＝a n ，即a n ＋1a n＝13(n ≥2)，∵3S n ＋1＝S n ＋1，a 2＝19， ∴令n ＝1，得3S 2＝S 1＋1，即3(a 1＋a 2)＝a 1＋1，解得a 1＝13，∴a 2a 1＝13，∴a n ＋1a n ＝13，即数列{a n }为等比数列，公比为13，首项为13.∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.又∵正项等差数列{b n }满足b 1＝2，且b 1，b 2－1，b 3成等比数列， ∴设公差为d ＞0，得b 1b 3＝(b 2－1)2，即2(2＋2d )＝(1＋d )2，解得d ＝3(负值舍去)． ∴b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1. (2)证明：由(1)得a b n＝a 3n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －1，∴a b 1＋a b 2＋…＋a b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫135＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝326⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133n ＜326. 选择②③：∵2S n ＝1－3a n ＋1，∴当n ≥2时，2S n －1＝1－3a n ，两式相减得：2a n ＝3a n －3a n ＋1，∴a n ＋1a n＝13(n ≥2)，又∵2S 1＝1－3a 2＝2a 1，a 2＝19， ∴a 1＝13，a 2a 1＝13，∴数列{a n }为等比数列，公比为13，首项为13. ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.又∵正项等差数列{b n }满足b 1＝2，且b 1，b 2－1，b 3成等比数列，∴设公差为d ＞0，得b 1b 3＝(b 2－1)2，即2(2＋2d )＝(1＋d )2，解得d ＝3(负值舍去)． ∴b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1. (2)证明：由(1)得a b n＝a 3n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －1，∴a b 1＋a b 2＋…＋a b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫135＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝326⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133n ＜326. 14．(2021·湖北荆州中学高三月考)已知数列{a n }满足3a n ＋1＝a n ＋13n ，a 1＝23，设b n ＝3n ·a n .(1)证明：{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋13n ⇒3n ＋1·a n ＋1＝3n ·a n ＋1⇒b n ＋1－b n ＝1， ∴{b n }为等差数列．(2)∵b 1＝3·a 1＝2，∴b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1， ∴a n ＝n ＋13n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝23＋332＋…＋n ＋13n ，① ∴13S n ＝232＋333＋…＋n ＋13n ＋1，②①－②得：23S n ＝23＋132＋133＋…＋13n －(n ＋1)·13n ＋1＝23＋132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－(n ＋1)·13n ＋1， ∴S n ＝54－2n ＋54×3n.15．(2021·山东省淄博实验中学高三月考)已知等差数列{a n }前n 项和为S n (n ∈N *)，数列{b n }是等比数列，a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10, a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q ≠0), ∵a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10, a 5－2b 2＝a 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋3＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，∴d ＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，∴T 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＋(21＋23＋25＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝1＋22n ＋13－12n ＋1.。

2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为()A ．11B ．12C ．13D ．14答案C解析由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a2a 1等于()A.32B.23C.12D ．2答案A解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d .因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d＝32.故选A.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于()A ．－160B ．－80C ．20D ．40答案B解析a 1＋15d ＝30，a 1＋45d ＝10，解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B.4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－qa 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－qa 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑()A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ．39500m答案A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5000×7＋7×62×200＝39200(m)．故选A.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于()A ．38B ．20C ．10D ．9答案C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于()A.139B.79C ．3D ．1答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列，∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q ≠1，当q ＝3时，S 3a 3＝a 1(33－1)3－1a 1×9＝139.故选A.9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中的()A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组答案A解析正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n ＝2n －1，则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中的第404组，故选A.10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .在直线y ＝2x －1上，则a 9等于()A ．1290B ．1280C ．1281D ．1821答案C解析由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝又S11－1＝a 1－1＝1，1，公比为2的等比数列，所以Sn n －1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故a 9＝10×128＋1＝1281.11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋4n ，若首项为13的数列{b n }满足1b n ＋1－1b n ＝a n ，则数列{b n }的前10项和为()A.175264B.3988C.173264D.181264答案A解析由S n ＝n 2＋4n ，可得a n ＝2n ＋3，根据1b n ＋1－1b n＝a n ＝2n ＋3，结合题设条件，应用累加法可求得1b n n 2＋2n ，所以b n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝所以数列{b n }的前n项和为T n －13＋12－14＋…＋1n －－1n ＋1－所以T 10－111－＝175264，故选A.12．已知数列{a n }的通项a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2018<1，则实数x 可以等于()A ．－23B ．－512C ．－1348D ．－1160答案B 解析∵a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)＝1(x ＋1)(2x ＋1)…[n (x －1)＋1]－1(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ≥2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 2018＝x x ＋1＋1x ＋1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)＝1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)，当x ＝－23x ＋1>0，nx ＋1<0(2≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.当x ＝－512时，x ＋1>0，x ＋2>0，nx ＋1<0(3≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)<1；当x ＝－1348时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，nx ＋1<0(4≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1；当x ＝－1160时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，x ＋4>0，x ＋5>0，nx ＋1<0(6≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，则d 的值为________．答案－10解析由a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，1＋3d ＋a 1＋9d ＝0，a 1＋12×112d2a 1＋d ＋10，解得d ＝－10.14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若Sn T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 3＋a 11＋a 19b 7＋b 15＝________.答案129130解析原式＝3a 112b 11＝32·2a 112b 11＝32·a 1＋a 21b 1＋b 21＝32·S 21T 21＝32·2×21＋13×21＋2＝129130.15．(2019·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝(2n －2则S 2019＝________.答案2020解析∵a n ＝(2n －2＝(1－2n )sinn π2，∴a 1，a 2，…，a n 分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，归纳可得，每相邻四项和为4，∴S 2019＝504×4＋a 2017＋a 2018＋a 2019＝2016＋[(1－2×2017)＋0＋(2×2019－1)]＝2016＋4＝2020.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)，P 3(3，y 3)，…，P n ＋1(n ＋1，y n ＋1)在x 轴上的投影为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1，且点P n ＋1满足y 1＝1，直线P n P n ＋1的斜率1n n P P k ＋＝2n .则多边形P 1Q 1Q n ＋1P n ＋1的面积为________．答案3×2n －n －3解析根据题意可得y n ＋1－y n ＝2n ，结合y 1＝1，应用累加法，可以求得y n ＋1＝2n ＋1－1，根据题意可以将该多边形分成n 个直角梯形计算，且从左往右，第n 个梯形的面积为S n ＝y n ＋y n ＋12＝3×2n －1－1，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S ＝3(2n －1)－n ＝3×2n －n －3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．(1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，且4S n ＝5a n －5，数列{b n }满足b n ＝log 5a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明T n <1.(1)解∵4S n ＝5a n －5，∴4a 1＝5a 1－5，∴a 1＝5.当n ≥2时，4S n －1＝5a n －1－5，∴4a n ＝5a n －5a n －1，∴a n ＝5a n －1，∴{a n }是以5为首项，5为公比的等比数列，∴a n ＝5·5n －1＝5n .∴b n ＝log 55n ＝n .(2)证明∵c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n…＝1－1n ＋1<1.19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝2a n －n ＋1，a 1＝3.(1)设数列{b n }满足：b n ＝a n －n ，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求出数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(1)证明b n ＋1b n ＝a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2a n －n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2(a n －n )a n －n ＝2，又b 1＝a 1－1＝3－1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得b n ＝2n ，∴a n ＝2n ＋n ，∴S n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n ＋n )＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1}是等比数列；(2)若数列b n ＝log 2(a n ＋1)n 项和T n .(1)证明当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.∵S n ＝2a n －n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋1＝2n ，∴b n ＝log 22n ＝n ，∴1b 2n －1·b 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝∴T n －13＋13－15＋…＋12n －1－＝n 2n ＋1.21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n .(1)若对任意n ∈N *，S n ＝n 2＋n ＋12都成立，求a n ；(2)若a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，且数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n .解(1)由S n ＝n 2＋n ＋12，得S n －1＝(n －1)2＋n2，n ≥2，两式相减得a n ＝n ，n ≥2，又a 1＝S 1＝32，不满足a n ＝n ，∴a n n ＝1，n ≥2.(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ，∵b 1＝a 1＋a 2＝3，{b n }是公比为3的等比数列，∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若存在n ∈N *，使不等式2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n≥m 成立，求实数m 的最大值．解(1)∵S n ＝2a n －2，①∴S n ＋1＝2a n ＋1－2，②∴②－①得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n (n ≥1)，∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n .(2)由题意得，T n ＋1n ＋1－T n n ＝12，成等差数列，公差为12.首项T 11＝b11＝1，∴T n n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，T n ＝n (n ＋1)2，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ，当n ＝1时，b 1＝1成立，∴b n ＝n .∴2b n a n ＝2n2n ＝n 2n －1＝－1，令M n ＝2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n，只需(M n )max ≥m .∴M n ＝1＋2×12＋3＋…＋n －1，③12M n ＝12＋2＋3＋…＋n ，④③－④得，12M n ＝1＋12＋＋…－1－n 1－12n＝2－(n ＋，∴M n ＝4－(n ＋－1.∵M n ＋1－M n ＝4－(n ＋－4＋(n ＋－1＝n ＋12n>0.∴{M n }为递增数列，且(n ＋－1>0，∴M n <4.∴m ≤4，实数m 的最大值为4.。

高考数列基本题型六证明等差与等比数列

高考数列基本题型六.证明等差与等比数列1.（2022年全国甲卷）记S n为数列{a n}的前n项和．已知2S n n+n=2a n+1．(1)证明：{a n}是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．【解答】解：(1)因为2S n n+n=2a n+1，即2S n+n2=2na n+n①，当n≥2时，2S n−1+(n−1)2=2(n−1)a n−1+(n−1)②，①−②得，2S n+n2−2S n−1−(n−1)2=2na n+n−2(n−1)a n−1−(n−1)，即2a n+2n−1=2na n−2(n−1)a n−1+1，即2(n−1)a n−2(n−1)a n−1=2(n−1)，所以a n−a n−1=1，n≥2且n∈N∗，所以{a n}是以1为公差的等差数列．(2)由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即(a1+6)2=(a1+3)⋅(a1+8)，解得a1=−12，所以a n=n−13，所以S n=−12n+n(n−1)2=12n2−252n=12�n−252�2−6258，所以，当n=12或n=13时(S n)min=−78．2．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n ﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1=12（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为12的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（12）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（12）n+n−12，b n＝（12）n﹣n+12．3．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n=aa nn nn．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：aa nn+1nn+1aa nn nn=2（常数），由于bb nn=aa nn nn，故：bb nn+1bb nn=2，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：bb nn=bb1⋅2nn−1=2nn−1，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于bb nn+1bb nn=2（常数）；所以：数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．（3）由（1）得：bb nn=2nn−1，根据bb nn=aa nn nn，所以：aa nn=nn⋅2nn−1．4．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2SS nn+1bb nn=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S1，由2bb1+1bb1=2，解得b1=32，当n≥2时，bb nn bb nn−1=S n，代入2SS nn+1bb nn=2，消去S n，可得2bb nn−1bb nn+1bb nn=2，所以b n﹣b n﹣1=12，所以{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由题意，得a1＝S1＝b1=32，由（1），可得b n=32+（n﹣1）×12=nn+22，由2SS nn+1bb nn=2，可得S n=nn+2nn+1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=nn+2nn+1−nn+1nn=−1nn(nn+1)，显然a1不满足该式，所以a n=�32，nn=1−1nn(nn+1)，nn≥2．5．（2021•甲卷）已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{�SS nn}是等差数列；③a2＝3a1．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】解：选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：a2＝a1+d＝3a1，∴d＝2a1，数列的前n项和：SS nn=nnaa1+nn(nn−1)2dd=nnaa1+nn(nn−1)2×2aa1=nn2aa1，故�SS nn−�SS nn−1=nn√aa1−(nn−1)√aa1=√aa1（n≥2），据此可得数列{�SS nn}是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列{a n}的公差为d，则：�SS1=√aa1，�SS2=�aa1+(aa1+dd)=�2aa1+dd，�SS3=�aa1+(aa1+dd)+(aa1+2dd)=�3(aa1+dd)，数列{�SS nn}为等差数列，则：�SS1+�SS3=2�SS2，即：(√aa1+�3(aa1+dd))2=(2�2aa1+dd)2，整理可得：d＝2a1，∴a2＝a1+d＝3a1．选择③②为条件，①结论：由题意可得：S2＝a1+a2＝4a1，∴�SS2=2√aa1，则数列{�SS nn}的公差为dd=�SS2−�SS1=√aa1，通项公式为：�SS nn=�SS1+(nn−1)dd=nn√aa1，据此可得，当n≥2时，aa nn=SS nn−SS nn−1=nn2aa1−(nn−1)2aa1=(2nn−1)aa1，当n＝1时上式也成立，故数列的通项公式为：a n＝（2n﹣1）a1，由a n+1﹣a n＝[2（n+1）﹣1]a1﹣（2n﹣1）a1＝2a1，可知数列{a n}是等差数列．6．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1=aa3qq2=−8qq2，a2=aa3qq=−8qq，由a1+a2＝2，−8qq2+−8qq=2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n=aa1(1−qq nn)1−qq=−2[1−(−2)nn]1−(−2)=−13[2+（﹣2）n+1]，则S n+1=−13[2+（﹣2）n+2]，S n+2=−13[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2=−13[2+（﹣2）n+2]−13[2+（﹣2）n+3]=−13[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，=−13[4+2（﹣2）n+1]＝2×[−13（2+（﹣2）n+1）]＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．7．（2022年北京）已知Q:a1,a2,⋯,a k为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在a i,a i+1,a i+2,⋯,a i+j(j≥0)，使得a i+a i+1+a i+2+⋯+a i+j=n，则称Q为m−连续可表数列．(1)判断Q:2,1,4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a1,a2,⋯,a k为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若Q:a1,a2,⋯,a k为20−连续可表数列，且a1+a2+⋯+a k<20，求证：k≥7．【解答】解：(1)a2=1，a1=2，a1+a2=3，a3=4，a2+a3=5，所以Q是5−连续可表数列；易知，不存在i,j使得a i+a i+1+⋯+a i+j=6，所以Q不是6−连续可表数列．(2)若k≤3,设为Q:a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c，6个数字，没有8个，矛盾；当k=4时,数列Q:1,4,1,2，满足a1=1，a4=2，a3+a4=3，a2=4，a1+a2=5，a1+a2+ a3=6，a2+a3+a4=7，a1+a2+a3+a4=8，∴k min=4．(3)Q:a1,a2,⋯,a k，若i=j最多有k种，若i≠j，最多有C k2种，所以最多有k+C k2=k(k+1)2种，若k≤5，则a1,a2,…,a k至多可表5(5+1)2=15个数，矛盾,从而若k<7,则k=6，a,b,c,d,e,f至多可表6(6+1)2=21个数，而a+b+c+d+e+f<20，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1~20及那个负数（恰21个），这表明a~f中仅一个负的，没有0，且这个负的在a~f中绝对值最小，同时a~f中没有两数相同,设那个负数为−m(m≥1)，则所有数之和≥m+1+m+2+⋯+m+5−m=4m+15，4m+15≤19⇒m=1，∴{a,b,c,d,e,f}={−1,2,3,4,5,6}，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，∵1=−1+2（仅一种方式），∴−1与2相邻，若−1不在两端,则"x , -1 , 2 , __,__,__"形式，若x=6，则5=6+(−1)（有2种结果相同，方式矛盾），∴x≠6，同理x≠5,4,3，故−1在一端，不妨为"−1 ,2, A, B, C, D"形式，若A=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，A=5，则6=−1+2+5（有2种结果相同，矛盾），从而A=6，由于7=−1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能−1,2,6,3,5,4，①或−1,2,6,4,5,3，②这2种情形，对①：9=6+3=5+4，矛盾，对②：8=2+6=5+3，也矛盾，综上k≠6∴k≥7．。

数列专题六、累乘法求an题库(教师版)

累乘法求an1．已知数列{}n a 满足11a =，()1+=-n n n a n a a ，则数列{}n a 的通项公式为n a =（）A ．21n -B ．11n n n -+⎛⎫⎪⎝⎭C ．2nD ．n【答案】D 【分析】依题意可得11n n a n a n++=，再利用累乘法计算可得；【详解】解：由()1+=-n n n a n a a ，得()11n n n a na ++=，即11n n a n a n ++=，则11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，…，21221a n a =≥，，由累乘法可得1na n a =，所以,2n a n n =≥，又11a =，符合上式，所以n a n =. 故选：D ．2．在数列{}n a 中，11a =，且1(21)(21)n n n a n a +-=+，则数列{}1n n a a +⋅的前10项和等于（） A ．919B ．1819C ．1021D ．2021【答案】C 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而结合裂项相消法即可求出结果. 【详解】因为1(21)(21)n n n a n a +-=+，所以12121n n a n a n +-=+，则121232112325272112121325212121n n n n n n n a a a a n n n a a a a n n a a n n --------⨯=⋅⋅⋅⋅----⨯-⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，所以()()11111212122121n n a a n n n n +⋅⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以数列{}1n n a a +⋅的前10项和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C.3．已知数列{}n a 满足113a =，12321n n n a a n --=+(2n ≥，*n ∈N )，则数列{}n a 的通项n a =（） A ．2141n - B ．2121n +C ．()()12123n n -+D ．()()113n n ++ 【答案】A 【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列{}n a 满足113a =，123(2,*)21n n n a a n n N n --=∈+，整理得12321n n a n a n --=+，122521n n a n a n ---=-，......，2115a a =，所有的项相乘得：113(21)(21)n a a n n ⨯=+-，整理得：2141n a n =-，故选：A ．4．已知{}n a 中，11a =，1(1)2n n n a na ++=，则数列{}n a 的通项公式是（） A ．21n n na =- B ．12n n n a -=C ．n a n =D ．12n nn a +=【答案】B 【分析】利用累乘法求解即可. 【详解】解：由1(1)2n n n a na ++=，可得：112n n a n a n ++=，又∵11a =，∴2n ≥时231121nn n a a a a a a a a -=⋅⋅1123123112222(1)21212n n n n n n n --=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯--，11a =满足上式，∴12n n na -=．故选：B.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，26a =，()()*12N nn n a S n +=∈，则数列{}na 的通项公式为（） A ．3n a n = B ．3nn a =C ．4n a n =+D ．22n a n =+【答案】A【分析】由题可得当2n ≥时，11n n a n a n -=-，然后利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式. 【详解】当1n =时，11S a =；当2n ≥时，()1112n n n n n n a na a S S --+-=-=，整理得()11n n n a na --=，即11n n a n a n -=-，由累乘法，得()34223134632231n n n a a a n a a n n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=≥-，又2221212S a a a +=⋅=+，解得13a =，满足上式，综上，()*3N n a n n =∈．故选：A6．已知数列{}n a 满足递推公式()*12,1n n na a n n n -=≥∈+N ，且15a =，则数列{}n a 的前四项依次为___________，它的通项公式为___________. 【答案】5，103，52，2 101n a n =+ 【分析】（1）由递推公式直接代入求出数列{}n a 的前四项；（2）利用累乘法求通项公式. 【详解】（1）将n 取1，2，3，4依次代入递推公式即可得前4项的值，依次为5，103，52，2. （2）由()*12,1n n na a n n n -=≥∈+N 得： 3212123,,341n n a a a n a a a n -===+累乘得：12323411n a n a n n ==++，所以通项公式为101n a n =+. 故答案为：（1）5，103，52，2.（2）101n a n =+. 7．若数列{}n a 满足13a =，13132n n n a a n +-=+，则n a =________，数列{}1n n a a +⋅的前10项和是_________. 【答案】631n - 458【分析】由13132n n n a a n +-=+可得13132n n a n a n +-=+，则134(2)31n n a n n a n --=≥-，从而使用累乘法即可求出n a ；可令1n n n b a a +=⋅，分析可知利用裂项求和法即可求出数列{}1n n a a +⋅的前10项和. 【详解】由13132n n n a a n +-=+可得13132n na n a n +-=+，则134(2)31n n a n n a n --=≥-， 121121235n n n n n a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⨯=⨯583468113131n n n -⨯⨯⨯⨯=--. 令1n n n b a a +=⋅,则66111231323132n b n n n n ⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭，数列{}n b 的前10项和是1291011111111451212255829322328b b b b ⎛⎫⎛⎫++⋯++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：645;.318n -8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12021a =，2n n S n a =，则2011a =_________．【答案】202120111006⨯【分析】由2n ≥时，1n n n a S S -=-，可得111n n a n a n --=+，利用累乘法得()40421n a n n =+，从而即可求解. 【详解】解：因为2n n S n a =，所以2n ≥时，()22111n n n n n a S S n a n a --=-=--，即()()22111n n n a n a --=-，化简得111n n a n a n --=+，又12021a =，所以12321123211202321113142n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+-()40421n n =+，检验1n =时也成立，所以()40421n a n n =+，所以()20114042202120112011120111006a ==+⨯，故答案为：202120111006⨯.9．已知数列{}n a 满足11a =，()11n n na a n n *+=∈+N ，则n a =___________.【答案】1n【分析】由11n n n a a n +=+得11n n a n a n +=+，根据累乘法求解公式即可求解通项．【详解】∵11n n n a a n +=+，∴11n n a n a n +=+， ∴13211221122111132n n n n n a a a a n n a a a a a a n n n-----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-．故答案为：1n10．在数列{}n a 中，12a =，()12*1n n a nn n N a n -=≥∈-，，则9a =______ ．【答案】18 【分析】利用累积法进行求解即可. 【详解】解：在数列{}n a 中，12a =，()12*1nn ann n N an -=≥∈-，， 9879287611983298721a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==，则99218a =⨯=．故答案为：18．11．在数列{}n a 中，11a =，()*11n n a nn a n +=∈+N ，则10a =_________．【答案】110【分析】直接由递推关系进行累乘运算即可. 【详解】由题意知109210198198111109210a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：110. 12．已知数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则数列{}n a 的通项公式为n a =________. 【答案】n 【分析】利用累乘法求得数列{}n a 的通项公式. 【详解】数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则当2n 时，2112,11n n a a n a n a -=⋯=-，所有的式子相乘得1na n a =，整理得n a n =（首项符合通项）. 故n a n =. 故答案为：n 【点睛】本小题主要考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题. 13．若数列满足则数列的通项公式n a =___________．【答案】(1)22n n n a -=【详解】试题分析：()112113221112122?·12222n n nnn n nn n n n n a a a a a a a a a a a a --++-=∴=∴==⨯⨯⨯⨯=考点：数列求通项及等差数列求和 14．已知数列{}n a 满足12a =，且31122(2)234n n a a a a a n n-++++=-≥，则{}n a 的通项公式为______．【答案】1n a n =+ 【分析】先求得2a ，然后利用“作差”的方法，结合累乘法求得{}n a 的通项公式. 【详解】依题意数列{}n a 满足12a =，且31122234n n a a a a a n-++++=-①. 当2n =时，1222,32a a a =-=， 3112122341n n n a a a a a a n n -++++++=-+②， ②-①得112,11n n n nn a a n a a n a n +++=-=++，则()112n n a n n a n-+=≥，所以13211221132112n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+-， 12,a a 都符合上式.所以{}n a 的通项公式为1n a n =+. 故答案为：1n a n =+15．已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 【答案】2-222n n +【分析】根据累乘法以及等差数列的前n 项和公式即可求出．【详解】∵a n ＋1＝2na n ，∴12n n na a +=，当2n ≥时，a n ＝112112n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯＝122222n n --⨯⨯⨯⨯=2-222n n +．又a 1＝1也符合上式，∴a n ＝2-222n n +.故答案为：2-222n n +．16．已知数列{}n a ，11a =，且12n n na a n +⋅=+，则12322212n n n a a a a a a --⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅=_______. 【答案】121n + 【分析】由已知可得2122121n n n a a n --⋅=+，累乘即可求解. 【详解】 11a =且12n n na a n +⋅=+， 12345621213521,,,,35721n n n a a a a a a a a n --∴===⋅=+， 123222121352113572121n n n a a a a a a n n n ---∴=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋯⋅+⋅⋅+. 故答案为：121n +. 17．数列{}n a 中，若11a =，12n n na a n +=+，则191k k a ==∑___________. 【答案】1910【分析】依题意可得12n n a na n +=+，再利用累乘法求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为12n n na a n +=+，所以12n n a n a n +=+，所以111n n a n a n --=+，122n n a n a n ---=，，3224a a =，2113a a =，累乘可得132********143n n n n a a a a n n a a a a n n -----⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+ 即()121naa n n =+，因为11a =，所以()211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以191111111111111921222121223192022319202010kk a=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑故答案为：191018．已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是______________．【答案】n a n = 【分析】根据题设递推关系得11n n a n a n++=，应用累乘法求{}n a 的通项公式即可. 【详解】由()11n n na n a +=+，可得：11n n a n a n++=，又11a =， ∴321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋯⋅＝231121n n n ⨯⨯⋯⨯⨯=-．∴n a n =．故答案为：n a n =19．已知数列{a n }中，（n +1）a n =na n +1，a 1=1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =3n •（a n +1），求数列{b n }的前n 项和S n . 【答案】（1）a n =n（2）1(21)3344n n n S ++⋅=- 【分析】（1）直接利用叠乘法的应用求出数列的通项公式；（2）利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和. （1）解：数列{a n }中，（n +1）a n =na n +1，a 1=1，整理得：11n n a n a n++=，故11n n a n a n -=-， 1212n n a n a n ---=-， ......2121a a =，所有的式子相乘，1na n a =，故a n =n （首项符合通项），所以a n =n ；（2）解：由（1）得：(1)3nn b n =+⋅，所以：122333...(1)3nn S n =⨯+⨯+++⋅①，23132333...(1)3n n S n +=⨯+⨯+++⋅3②，①﹣②得：1212133...32(1)3n n n S n +⎡⎤-=+++++-+⋅⎣⎦，整理得：1(21)3344n n n S ++⋅=-. 20．已知数列{}n a满足1a*1,n n n +∈N ，求数列{}n a 的通项公式.【答案】)*n a n ∈N【分析】将题中条件变形为1n n a a +={}n a 的通项公式. 【详解】1n n +，得1n n a a + 所以当2n ≥时，32123451112321n n a a a n n a a an n +⋅=⋅⋅⋅=---，因为1a =所以)2n a n =≥，又因为1n =时，1a所以)*n a n =∈N21．已知数列{a n }，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，求通项公式a n .【答案】a n ＝1n【分析】由题得1n n a a +＝1nn +，再利用累乘法求解. 【详解】∵(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴1n n a a +＝1nn +. ∴324123123,,,,234a a a a a a ===1n n a a -＝1n n- (n ≥2)．以上各式相乘，得11n a a n =.∵a n ＝11a n n= (n ≥2)，又a 1＝1满足上式，∴a n ＝1n (n ∈N *)．22．在数列{}n a 中，()11212,n n n a a a n++==，求数列{}n a 的通项公式．【答案】2nn a n =⋅【分析】利用累乘法求得数列{}n a 的通项公式．【详解】依题意得()121n n n a a n ++=，()1221n n a n n a n -=≥-，所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()212232221221n n n n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅--2,(1nn n =⋅=也满足). 23．若数列{}n a 满足()()1112n n n a na n --=+≥，且11a =，求数列{}n a 的通项公式．【答案】()*21n a n n =-∈N【分析】已知递推式变形得出2n ≥时，1111n n a na n -+=+-，用累乘法求得1n a +，得通项公式n a ．【详解】由()()1112n n n a na n --=+≥，得()()()1112n n n a n na n n --+-=+≥，所以当2n ≥时，1111n n a na n -+=+-．又11a =，所以()231121111231122111121n n n a a a na a n a a a n -++++=+⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=+++-，从而()212n a n n =-≥，因为当1n =时也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =-∈N ．24．已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式. 【答案】()11n a n n =+.【分析】根据递推关系式，利用累乘法即可求解. 【详解】由()()111n n n a n a -+=-，得111n n a n a n --=+，又112a =，所以当2n ≥时， 123211232112321······1143n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+-()1121n n⋅=+，又1n =也满足上式，所以()11n a n n =+；25．已知数列{}n a 满足1a*1,n n n +∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*n nb n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求证：1n S <．【答案】（1）)*n a n =∈N ；（2）证明见解析.【分析】（1）根据递推关系式，由累乘法即可求解. （2）利用裂项相消法即可求解. 【详解】（11n n +，得1n n a a +=∴32121nn a a aa a a ⋅=-2n n⋅=-，∵1a ∴)*n a n ∈N ．（2）由（1）得n n b =∴12111111112231n n S b b b nn =+++=-+-++-=-+ 当*n ∈N 时，0>，∴1n S <，即证. 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a da a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列；（2 （3）指数型()11n n na a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 26．已知正项数列{}n a 满足11a =，且()22*111,n n n n na n a a a n N ++-+=⋅∈，求{}n a 的通项公式【答案】n a n = 【分析】通过因式分解可得11n n a n a n++=，由累乘法可得{}n a 的通项公式【详解】由已知，得11()((1))0n n n n a a na n a +++-+=，因为数列{}n a 是正项数列，所以1(1)0n n na n a +-+=，即11n n a n a n++=，故2313412,,,...,1234123n n a a a a na a a a n -====- 累乘得，1234 (1231)n a nn a n =⨯⨯⨯⨯=-，(2)n a n n ∴=≥ 又11a =也满足上式故{}n a 的通项n a n =27．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若()21n n S n a =+，且11a >，21a -，42a -，6a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设142n a n n n b a a -+=+，数列{}n b 的前n 项和为n T . 【答案】（1）2()n a n n N +=∈；（2）4111()3134n n T n =--⋅+. 【分析】（1）利用数列通项与和的关系结合累乘法可得1n a na =，再由等比中项的性质即可得解；（2）由裂项相消法及分组求和法即可得解. 【详解】（1）由()21n n S n a =+，可得()12n n n a S +=，当2n ≥时，11122n n n n n n n a S S a a --+=-=-，可得11n n a n a n -=-，则3211112123121n n n a a a n a a a na a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-，又由21a -，42a -，6a 成等比数列，可得()()262421a a a -⋅=-，所以()()112124162a a a -⋅=-，所以12a =或112a =，因为11a >，所以12a =，所以2()n a n n N +=∈.（2）由（1）可得12111()22(1)142442n a n n n n n n n n n b a a --+==-+⋅++=++，所以21211111111[(1)()()][()(())]2231444n n n T b b b n n =+++=-+-++-+++++ 11[1()]1411144(1)()11313414n n n n -=-+=--⋅++-. 28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()()*21N n n S n a n =+∈.求数列{}n a 的通项公式.【答案】2n a n = 【分析】根据2n ≥时，由1n n n a S S -=-，根据条件化简得11n n na a n -=-，再利用累乘法求解即可. 【详解】由题意知，当2n ≥时，()21n n S n a =+，112n n S na --=，两式相减得：()11211n n n n n na n a na a a n --=+-⇒=-，所以1211112112··2121n n n n n a a a n n a a a na n a a a n n ----==⨯⨯⨯⨯==--，又12a =也适合，故2n a n =.29．已知正数数列{}n a 满足11a =，2n n S n a =，求{}n a 的通项公式.【答案】()21n a n n =+【分析】根据,n n S a 间的关系可得111n n n a a n --=+，利用累乘法求出n a . 【详解】由题意，当n≥2时，()22111n n n n n a S S n a n a --=-=--，即111n n n a a n --=+，于是，()()111232122114311n n n n a a a n n n n n n n ---=⨯⨯⨯⨯⨯==+-++，而11a =符合上式，故而()21n a n n =+.30．已知数列{}n a 满足()()()11211n n n a n a +-=+-，29a =.求数列{}n a 的通项公式.【答案】21nn a n =⋅+【分析】由()()()11211n n n a n a +-=+-,得()()12111n n n a a n++-=-，进而用累乘法求得答案. 【详解】由题意，()()()11211n n n a n a +-=+-,得()()12111n n n a a n++-=-，当n =1时，()21114183a a a -=-=⇒=，当n ≥2时，()12111n n na a n --=--，于是()()()1112122322112121221n n n n n a a n a n n n --⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯-=⋅-=⋅-- 则21nn a n =⋅+，而13a =满足上式.所以21nn a n =⋅+.。

逐差法练习题六个点

逐差法练习题一、基础题1. 已知数列的前五项分别为2，5，10，17，28，请用逐差法求出数列的第六项。

2. 数列的前三项分别为1，4，10，请用逐差法求出数列的第四项和第五项。

3. 数列的前四项分别为3，6，12，24，请用逐差法求出数列的第五项和第六项。

二、进阶题4. 已知数列的前四项分别为1，3，6，10，请用逐差法求出数列的第五项和第六项，并分析数列的规律。

5. 数列的前三项分别为2，5，10，请用逐差法求出数列的第四项、第五项和第六项。

6. 数列的前四项分别为0，1，4，10，请用逐差法求出数列的第五项和第六项。

三、综合题7. 已知数列的前五项分别为1，2，5，10，17，请用逐差法求出数列的第六项、第七项和第八项。

9. 数列的前三项分别为1，3，6，请用逐差法求出数列的第四项、第五项、第六项和第七项。

四、拓展题10. 已知数列的前六项分别为1，2，4，7，11，16，请用逐差法求出数列的第七项、第八项和第九项。

11. 数列的前五项分别为0，1，3，6，10，请用逐差法求出数列的第六项、第七项和第八项。

12. 数列的前四项分别为1，4，10，20，请用逐差法求出数列的第五项、第六项、第七项和第八项。

五、应用题13. 一个等差数列的前三项分别为4，7，10，请用逐差法求出该数列的第四项、第五项和第六项。

14. 在一个等差数列中，已知第五项为15，第六项为19，请用逐差法求出该数列的第一项、第二项和第七项。

15. 一个数列的前四项分别为3，1，3，7，请用逐差法求出该数列的第五项、第六项和第七项。

六、创新题16. 一个数列的前五项分别为1，3，9，27，81，请用逐差法求出该数列的第六项、第七项和第八项，并分析数列的特点。

17. 已知一个数列的前三项分别为1，2，4，且从第四项开始，每一项都是前三项的和。

请用逐差法求出该数列的第四项、第五项和第六项。

18. 一个数列的前四项分别为0，1，2，5，从第五项开始，每一项都是前四项的和。

小学奥数计算专题--等差数列(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数计算专题--等差数列（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？【答案】1470【解析】由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。

【题文】文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。

文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？【答案】120【解析】文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。

首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。

所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。

【题文】李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。

这批零件共有多少个？【答案】880【解析】（25+63）×20÷2=880（个）【题文】建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

【答案】52【解析】求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。

项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。

评卷人得分答：这堆钢管一共有52根。

【题文】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?【答案】165【解析】如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数列测试六
(本章测试共18题,满分100分,时间60分钟) 日期姓名得分一、填空题:(共十小题,每题4分,共40分)
1. 已知两个等差数列1234512345,,,,b ,,,,,a a a a a b b b b 和6b 其中1255,a b a b ==，则
61
32
b b a a --的值为
2. 若在等差数列2,5,8…的每相邻两项中间插入三项，使它们构成一个新的等差数列，则原数列的第十项是新数列的
第项，新数列的第29项是原数列的第项 3. 如果方程()2200x x a x x b a b -+=-+=≠和的四个根组成首项为
1
4
的等差数列，那么a b +的值为 4. 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，这个数列的项数和中间项分别为 5. 小于1000且不能被5且不能被7整除的正整数的个数为
6.{}q |q|>1b 1(){b }n n n n a a n N *=+∈设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合{53,23,19,-- 37,82}____.q =中，则
7．设数列{}n a 的前n 项和为1(31)2
n n a S -=，且4a =54，则1a =
8. 从数列{}b n 中任取一些项，按照原来的顺序组成的新数列称为数列{}b n 的子数列，数列{}n c 为数列{}b n 的子数列，
{}b n 中有无数项不在{}n c ，且{}n c 是无穷等差数列，若()*2123,b ,c n n b n n N c =-∈=且则可以是
9．当m 为常数时，计算
211
1
lim (
)12
x m n n n n n m
→∞
----
=+++________________. 10. 有浓度为90﹪的溶液100克，从中倒出10克，再加入10克水，（以上过程称为一次操作）要使溶液浓度低于 10﹪，这种操作至少要进行次.
二、选择题：（共四小题，每题4分，共16分） 11.项数为偶数的等差数列，其所有项之和为20，偶数项之和为12，且末项比首项大7，则此数列项数为（） A.4 B.6 C.8 D.10
12. 1111242n +
++⋅⋅⋅+等于（） 1.212n A ⎛
⎫- ⎪⎝⎭ 11.212n B +⎛
⎫- ⎪⎝⎭
1.12n C - 11.12n D +- 13．下列命题中真命题的个数为( )
①若()lim 0,lim lim n n n n x x x a b a b →∞
→∞
→∞
-==则 ②若2
2
lim ,lim n n x x a A a A →∞
→∞
==±则数列n a {}
③已知数列n a {}存在极限，若数列()n b 极限不存在，则数列n n a b {+}极限不存在。

④若0,lim ,0n n x a a A A →∞
>=>且则（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个
14.三个数c b a ,,成等比数列，且)0(>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（）（A ）]3,
0[m （B ）]3,[m m -- （C ）)3,0(m （D ）]3
,0()0,[m
m ⋃- 三、解答题：（共四小题，第15题8分，第16题10分，第17题12分，18题14分，共44分）
15.把所有奇数1,3,5,7,9……按照下列方法分组：（1）,（3,5）,(7,9,11),(13,15,17,19), ….若15称为是第四组第 2项，则2011是第几组第几项？
16.求证：两两相交且没有任何三条直线共点的n 条直线将平面分成的部分数为：))(2(2
1)(2
*∈++=N n n n n g
17．已知数列n a {}是等差数列，且公差0,d ≠从n a {}中抽出部分项1212,,
,,
()n k k k n a a a k k k <<<<
组成数
列{}n k a 是等比数列，若1231,4,10k k k ===.（1）求数列n a {}的公比q ；（2）12...;n k k k +++（3）判断382a 是否是等比数列{}n k a 中的一项，并证明你的结论。

18.已知数列n a {}满足：120,2,a a ==*
,,m n N 且对任意∈都有22m 121122()n m n a a a m n --+-+=+-成立.（1）求35,;a a （2）设*2121(),n n n b a a n N +-=-∈证明：{}n b 为等差数列；（3）设1*1()(0,),n n n n c a a q q q N -+=-≠∈求数列{}n c 的前n 项和n S .
答案：
220313
1.
2.37,8
3.
4.711
5.686
6.
7.2
8.263
72
2
4
(1)9.
10.21
29(22n n c n n m m c n n -
=--=⎧+=⎨
-≥⎩、或
）
11.12.13.14.C
B
B
D
38235212
15.451616.17.(1)2
(2)3223(3){}818.(1)620(2)(1)(3)(1)1
2(2)(1)n n n k k n n n q S n a a a a n n n S nq n q n q +==⋅--==⎧+=⎪
=⎨-++⋅≥⎪-⎩
第组第项证略是中的第项，证略。