专题02二次函数中四边形的存在性问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 (原卷版)

专题02 二次函数中四边形的存在性问题
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最新模考题热点题型归纳
【题型一】 梯形存在性
【题型二】 平行四边形存在性
【题型一】 梯形存在性
【典例分析】
（2023杨浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
（2）分别联结AD、DC，CB，直线y＝4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；
（3）设点F A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．
【提分秘籍】
梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。

所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制 (在某一直线
上)，要么对梯形形状有较高要求(等腰或直角)。

综合利用各个条件，才能求出最后的结果【变式演练】
1.（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣
2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x22
﹣x的“不动点”的坐标；
②向左或向右平移抛物线y＝x22
﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
2.【2021年青浦二模】（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当
tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．
【题型二】 平行四边形存在性
【典例分析】
（2022•宝山区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点
A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左平移m个单位（m＞2），平移后点A、B、C的对应点分别记作A1、B1、C1，过点C1作C1D⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、B1为顶点的三角形与△A1C1D相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形A1FEB1为平行四边形，求m的值．
【提分秘籍】
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．
已知定点的个数不同，选用的方法也不同，通常有以下两种情况：
1、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．
2、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．【变式演练】
﹣与x轴1.【2021年杨浦二模】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x5
相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．
2．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()
20
=+¹经过
y ax bx a
()
1,3
B-两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点 D与点B关于抛A，()
4,0
物线的对称轴对称，联结BC、BD．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点E在线段BC上，当CED OBD
ÐÐ时，求点 E的坐标；
=
（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．
﹣经过点A（﹣
3.【2021年崇明二模】（12分）已知抛物线y＝ax2+bx4
1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【题型三】 矩形的存在性【典例分析】
【提分秘籍】
二次函数中的矩形存在性问题相交于平行四边形的存在性问题而言，其难度更大。

本文将从知识梳理和例题讲解两部分进行讲解，具体分析矩形存在性问题中的“定”与“动”以及具体的解题策略。

【题型四】 菱形的存在性
【典例分析】
（2022•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝
ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（4，1）两点，与y轴的交点为C点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形OABC的面积；
（3）设抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线l，点D与点B关于直线l对称，在线段BC上是否存在一点E，使四边形ADCE是菱形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【提分秘籍】
在解决函数背景下的菱形的存在性问题，我们需要先厘清菱形的判定：
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边是菱形；
(3)对角线互相垂足平分的四边形是菱形。

在目前的问题中，涉及的是：两个定点+一个半动点+一个全动点问题或一个定点，三个半动点的问题。

解题思路：
思路1：先平四，再菱形
先根据平行四边形的存在性，利用中点坐标公式确定一组方程，再利用邻边相等，即利用距离公式列出一个方程，联立求解。

思路2：先菱形，再平四
在构成菱形的4个点中取2个定点和1个半动点，构成等腰三角形，利用距离公式求出半动点的坐标。

再根据平行四边形的存在性，利用中点坐标公式求出另一个全动点的坐标。

模型分析：
分析：根据题意，先标出四个点的坐标，A(1,1)，B(5,4)，C(m,0)，D(x,y)，再依据思路1和思路2分析解答。

以思路1为例：先平四，再等腰以AB为对角线为例，先计算AB、CD中点，再利用
AC=BC，可以得到C、D坐标。

以此类推，得出另外两种情况，即以AC、AD为对角线，解关于m,x,y的三元一次方程组，进而得到点的坐标。

x
以思路2为例：先等腰，再平四
先求点C，点C 满足由A、B、C 构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰三角形的存在性问题确定点C，在确定点D。

以AB =AC 为例，利用距离公式求出点C 坐标，然后再利用平行四边形的存在性，计算BC、AD 的中点，求出点D 坐标。

以此类推，得到另外两种情况，即AC =BC，AB =BC。

先求出m 的值，再解关于x ,y 的二元一次方程组。

但是针对具体的问题要具体分析，画出图形，看能否简便运算。

【变式演练】
1.(2021年虹口区)（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第
（3）小题4分）
如图8，在平面直角坐标系
xOy
中，直线l ：
3
4
y x b =
+与x 轴、y 轴分别交于点
A 、
B ，与双曲线H ：
k y x
=
交于点P (2，
92
)，直线
x m
=分别与直线l 和双曲线H 交于点
E 、D ．
（1）求k 和b 的值；
（2）当点E 在线段AB 上时，如果ED =BO ，求m 的值；
（3）点C 是y 轴上一点，如果四边形BCDE 是菱形，求点的坐标．
x2+m与y轴交于点C，直线y
2.【2021年徐汇区二模】如图，已知抛物线y＝
1
2
＝﹣
x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点
4
3
D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．
（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m
的值．
【题型五】 正方形的存在性
【典例分析】
（2022•长宁区二模）如图，已知菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正
半轴上，点D的坐标为（4，1），抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、D，对称轴
为直线x＝．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：菱形ABCD是正方形；
（3）联结OC，如果P是x轴上一点，且它的横坐标大于点D的横坐标，∠P CD ＝∠BCO，求点P的坐标．
【提分秘籍】
从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．
比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．
从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．
不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！
常用处理方法思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方
形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全
等来求得第3个点，再求第4个点．
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知“两定两动”的情形，若有3个或4个动点，则
考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．【变式演练】
1.【2021年黄浦区二模】（12分）如果抛物线C1：y＝ax2+bx+c与抛物线C2：y＝﹣ax2+dx+e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．
﹣x+7的“对顶”抛物线的表达式；
（1）求抛物线y＝x24
﹣x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物（2）将抛物线y＝x24
﹣x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点线与原抛物线y＝x24
分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．。