任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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新高考人教版(2019)必修第一册
§5.1.1 任意角
一 情景引入
现实生活中，存在着许多“周而复始”的周期性变化现象， 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
如何刻画点P的位置？
射线OA沿逆时针方向旋转至OP位置，形成角α， OA与OP分别为角α的始边与终边
一 情景引入
初中是怎么定义角的？范围是多少？ 定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围：0°～360°
这些角有什么内在联系？
y
328°
o －32°
x
-392°
四 象限角
思考4：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内， 可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
328=-32o +360o -392=- 32o -360o
688=- 32o +720o 32 360 2
S= β β=-32o +k 360o ,k Z
练一练
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，
C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( D )A．A＝B＝C
B．A⊆CC．A∩C＝B
D．B∪C⊆C
练一练
2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内 (不包含边界)，那么角α的集合是________．
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
角的减法：像实数减法的减去一个数等于加上这个数的相反数， 我们将角的减法转化为角的加法。
α— β=α+(— β)
四 象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角， 并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对 一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是 第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.
练一练
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式 -360°≤α＜720°的元素β写出来？
【解析】 S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有： -315°，-135°,45°,225°,405°,585°.
课本171页练习4、5
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形叫做角.
2.角的构成要素 B
方向
始边
终边
A
O
顶点
二 任意角
1.正角的定义：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 2.负角的定义：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 3.零角的定义：没有做任何旋转形成的角叫做零角. 任意角包括正角、负角、零角. 你能读出下列各角的度数吗？
【解析】-950°12′=129°48′-3×360° 所以在0~360°范围内， 与-950°12′终边相同的角是129°48′ 它是第二象限角
练一练
例2 终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴、x轴、y轴 上的角分别如何表示？
【解析】 x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z . x轴：α= k·180°，k∈Z ；y轴：α=90°+ k·180°，k∈Z
作业
作业本：习题5.1的1、2、7、8题 学习之友117—119
二 任意角
两个角有大小关系吗？
正角>零角>负角
例如：360°<720°
角相等 旋转方向与旋转量都相同
两个角也能像实数那样做加减运算吗？
-360° >-720°
三 角的运算
角的加法：设α和β为任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终 边所对应的角为α+β
相反角：实数a有相反数-a,任意角也有相反角。把射线OA绕端点O按 不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。
静态定义 局限于0～360°
一 情景引入
生活中有超过0°～360°的例子吗？你能否举几例？ 前空翻转体540度；后空翻转体720度
一条射线绕其端点按逆时针方向旋 转60°所形成的角，与按顺时针方 向旋转60°所形成的角是否相等？
二 任意角
角的范围可以超过0～360°；旋转方向不同的角不相等 1.任意角的定义：
练一练
3．已知α为第二象限的角，α/2为第几象限的角？
【解析】 {k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z} {k·180°＋45°＜α/2＜k·180°＋90°，k∈Z} α/2为第二、三象限角.
五 课堂小结
1.角的定义； 2.角的分类：正角、零角、负角； 3.象限角； 4.终边相同的角的表示法．
四 象限角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S为
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
例如：与角50°终边相同的角的集合为
S={β|β=50°＋k·360°，k∈Z}
练一练
例1 在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角， 并判定它是第几象限角.
四 象限角
试判断下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别
是第几象限的角？
y
y
x
x
o
-50°
o 405°
y
y
210° x
x
o
o
-200°
y
x o
-450°
第四象限角 第一象限角 第三象限角 第二象限角 轴线角
四 象限角
思考2：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. 思考3： -32°，328°，-392°，688°是第几象限的角？
§5.1.1 任意角
一 情景引入
现实生活中，存在着许多“周而复始”的周期性变化现象， 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
如何刻画点P的位置？
射线OA沿逆时针方向旋转至OP位置，形成角α， OA与OP分别为角α的始边与终边
一 情景引入
初中是怎么定义角的？范围是多少？ 定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围：0°～360°
这些角有什么内在联系？
y
328°
o －32°
x
-392°
四 象限角
思考4：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内， 可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
328=-32o +360o -392=- 32o -360o
688=- 32o +720o 32 360 2
S= β β=-32o +k 360o ,k Z
练一练
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，
C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( D )A．A＝B＝C
B．A⊆CC．A∩C＝B
D．B∪C⊆C
练一练
2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内 (不包含边界)，那么角α的集合是________．
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
角的减法：像实数减法的减去一个数等于加上这个数的相反数， 我们将角的减法转化为角的加法。
α— β=α+(— β)
四 象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角， 并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对 一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是 第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.
练一练
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式 -360°≤α＜720°的元素β写出来？
【解析】 S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有： -315°，-135°,45°,225°,405°,585°.
课本171页练习4、5
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形叫做角.
2.角的构成要素 B
方向
始边
终边
A
O
顶点
二 任意角
1.正角的定义：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 2.负角的定义：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 3.零角的定义：没有做任何旋转形成的角叫做零角. 任意角包括正角、负角、零角. 你能读出下列各角的度数吗？
【解析】-950°12′=129°48′-3×360° 所以在0~360°范围内， 与-950°12′终边相同的角是129°48′ 它是第二象限角
练一练
例2 终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴、x轴、y轴 上的角分别如何表示？
【解析】 x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z . x轴：α= k·180°，k∈Z ；y轴：α=90°+ k·180°，k∈Z
作业
作业本：习题5.1的1、2、7、8题 学习之友117—119
二 任意角
两个角有大小关系吗？
正角>零角>负角
例如：360°<720°
角相等 旋转方向与旋转量都相同
两个角也能像实数那样做加减运算吗？
-360° >-720°
三 角的运算
角的加法：设α和β为任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终 边所对应的角为α+β
相反角：实数a有相反数-a,任意角也有相反角。把射线OA绕端点O按 不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。
静态定义 局限于0～360°
一 情景引入
生活中有超过0°～360°的例子吗？你能否举几例？ 前空翻转体540度；后空翻转体720度
一条射线绕其端点按逆时针方向旋 转60°所形成的角，与按顺时针方 向旋转60°所形成的角是否相等？
二 任意角
角的范围可以超过0～360°；旋转方向不同的角不相等 1.任意角的定义：
练一练
3．已知α为第二象限的角，α/2为第几象限的角？
【解析】 {k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z} {k·180°＋45°＜α/2＜k·180°＋90°，k∈Z} α/2为第二、三象限角.
五 课堂小结
1.角的定义； 2.角的分类：正角、零角、负角； 3.象限角； 4.终边相同的角的表示法．
四 象限角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S为
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
例如：与角50°终边相同的角的集合为
S={β|β=50°＋k·360°，k∈Z}
练一练
例1 在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角， 并判定它是第几象限角.
四 象限角
试判断下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别
是第几象限的角？
y
y
x
x
o
-50°
o 405°
y
y
210° x
x
o
o
-200°
y
x o
-450°
第四象限角 第一象限角 第三象限角 第二象限角 轴线角
四 象限角
思考2：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. 思考3： -32°，328°，-392°，688°是第几象限的角？