浙教版八年级下册数学课件第5章5.正方形的性质
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14.如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是 BC 的中点,∠AEF =90°,EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F.求证:AE=EF.
整合方法提升练
证明:如图,取 AB 的中点 H,连结 EH. ∵∠AEF=90°,∴∠2+∠AEB=90°. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠1+∠AEB=90°. ∴∠1=∠2. ∵E 是 BC 的中点,H 是 AB 的中点, ∴BH=BE,AH=CE. ∴∠BHE=45°.∴∠AHE=135°. ∵CF 是正方形外角的平分线,∴∠DCF=45°.∴∠ECF=135°. ∴∠AHE=∠ECF.∴△AHE≌△ECF(ASA).∴AE=EF.
夯实基础巩固练
同理可证△ABE≌△BCH, ∴BE=AG=DF=CH=12,AE=BH=DG=CF=5. ∴EH=FH=FG=EG=7. 又易知∠EHF=90°, ∴EF= EH2+FH2=7 2. 故选 C.
夯实基础巩固练
7.我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系 中,边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上,AB 的中点 是坐标原点 O,固定点 A,B,把正方形沿箭头方向推,使点 D 落在 y 轴正半轴点 D′处,则点 C 的对应点 C′的坐标为( ) A.( 3,1) B.(2,1) C.(1, 3) D.(2, 3)
【点拨】 如图,过点 E 作 EO⊥CD 于点 O,EH⊥BC 于点 H, 显然四边形 EHCO 为正方形,∴EH=EO,∠HEO=90°. ∵∠GEF=∠HEO=90°, ∴∠HEM=∠OEN. ∵∠EHM=∠EON=90°, ∴△EHM≌△EON. ∴S 四边形 EMCN=S 正方形 EHCO.
夯实基础巩固练
【点拨】在 AD 上取一点 M,使得 AM=2,易知 F,M 关于直 线 AC 对称.连结 EM,交 AC 于点 P′,连结 P′F,易得 P′F+P′E 的值为 PF+PE 的最小值,即 EM 的长为 PF+PE 的最小值.过 点 M 作 MN⊥BC 于点 N,由题意可知 EN=BN-BE=AM-BE =2-1=1,MN=4,所以 EM= EN2+MN2= 12+42= 17. 此类问题容易出错的地方是不能将两条线段的和转化为一条线 段. 【答案】 17
夯实基础巩固练
4.如图,点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,且 EC=2AE,
Rt△FEG 的两条直角边 EF,EG 分别交 BC,DC 于点 M,N,
若正方形 ABCD 的边长为 a,则阴影部分即四边形 EMCN 的
面积为( )
A.23a2 B.14a2
C.59a2 D.49a2
夯实基础巩固练
整合方法提升练
11.如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E,F 分别是 AB,AD 上的一点,且 BF⊥CE,垂足为点 G,求证:AF=BE.
整合方法提升练
证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC,∠A=∠CBE=90°. ∵BF⊥CE,∴∠BCE+∠CBG=90°. ∵∠ABF+∠CBG=90°,∴∠BCE=∠ABF.
夯实基础巩固练
9.如图,直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 D 且与 BC 交于点 G, 过 A,C 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 E,F.若 AE=4a, CF=a,则正方形 ABCD 的面积为___1_7_a_2__.
夯实基础巩固练
10.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 BC 上的一点,BE =1,F 为 AB 上的一点,AF=2,P 为 AC 上的一个动点, 则 PF+PE 的最小值为________.
(2)延长 BE 交 AD 于点 F,若∠DEB=140°,求∠AFE 的度数. 解:∵∠DEB=140°,△BEC≌△DEC, ∴∠DEC=∠BEC=70°.∴∠AEF=∠BEC=70°. ∵∠DAB=90°,∴∠DAC=∠BAC=45°. ∴∠AFE=180°-70°-45°=65°.
整合方法提升练
∠BCE=∠ABF, 在△BCE 和△ABF 中,BC=AB,
∠CBE=∠A, ∴△BCE≌△ABF(ASA).∴AF=BE.
整合方法提升练
12.如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE,连结 BE, CE.
(1)求证:BE=CE.
整合方法提升练
证明:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴BA=CD,∠BAD=∠ADC=90°. ∵△ADE 为等边三角形, ∴AE=DE,∠EAD=∠EDA=60°. ∴∠BAE=∠CDE=150°. ∴△BAE≌△CDE.∴BE=CE.
为边的正方形 EFGH 的周长为( B )
A. 2
B.2 2
C. 2+1 D.2 2+1
夯实基础巩固练
6.如图,在正方形 ABCD 中,△ABE 和△CDF 为直角三角形,
∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则 EF
的长是( )
A.7BLeabharlann 8C.7 2D.7 3
夯实基础巩固练
整合方法提升练
12.如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE,连结 BE, CE.
(2)求∠BEC 的度数.
解:在正方形 ABCD 中,AB=AD.在等边三角形 ADE 中,AD =AE,∠AED=60°,∴AB=AE.∴∠ABE=∠AEB. 又∵∠BAE=150°,∴∠ABE=∠AEB=15°. 同理可得∠CED=15°,∴∠BEC=60°-15°×2=30°.
整合方法提升练
13.如图,在正方形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,连结 EB,ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CB=CD,∠BCA=∠DCA. 又∵CE=CE,∴△BEC≌△DEC.
整合方法提升练
13.如图,在正方形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,连结 EB,ED.
浙教版 八年级下
第5章 特殊平行四边形
5.3 正方形 第2课时 正方形的性质
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1B 2B 3C 4D 5B
6C 7D 8 65 9 17a2 10 17
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
答案显示
夯实基础巩固练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( B )
培优探究拓展练
15.如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,AC 与 BE 相交于点 F,连结 DF.
(3)延长 DF 交 BC 于点 M,试判断 BM 与 MC 的数量关系(直接 写出结论). 解:BM=MC.
【点拨】设 AE 的延长线交 DF 于点 G,CF 的延长线交 BE 于点 H,易证△ABE≌△CDF,∴∠ABE=∠CDF. ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AB=BC=AD. ∴∠CDF+∠ADG=∠DAG+∠BAE=90°. 又∵∠ABE+∠BAE=90°, ∴∠BAE=∠ADG,∠ABE=∠DAG. ∴△ABE≌△DAG.
夯实基础巩固练
【点拨】由已知条件得到 AD′=AD=2,AO=12AB=1,根据勾 股定理得到 OD′= AD′2-OA2= 3,于是得到结论.
【答案】D
夯实基础巩固练
8.如图,在正方形 ABCD 中,点 F 为 CD 上一点,BF 与 AC 相交于点 E,若∠CBF=20°,则∠AED 等于____6_5___度.
培优探究拓展练
15.如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,AC 与 BE 相交于点 F,连结 DF.
(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形;
解:△ADF≌△ABF, △ADC≌△ABC, △CDF≌△CBF.
培优探究拓展练
15.如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,AC 与 BE 相交于点 F,连结 DF.
夯实基础巩固练
∵AB=BC=a,∠B=90°,∴AC= 2a.
∵EC=2AE.∴EACC=23.∴EC=23×
2a=2 3
2 a.
∴S 正方形 EHCO=12×232a×232a=49a2.
∴阴影部分即四边形 EMCN 的面积为49a2.故选 D.
夯实基础巩固练
5.如图,正方形 ABCD 的面积为 1,则以相邻两边中点连线 EF
A.四个角都相等
B.四条边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
夯实基础巩固练
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( B ) A.对边平行 B.邻边互相垂直 C.对边相等 D.四条边相等
夯实基础巩固练
3.如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,则图中等腰直角 三角形有( C ) A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10 个
(2)连结 AE,试判断 AE 与 DF 的位置关系,并给出理由;
培优探究拓展练
解:AE⊥DF.理由:如图,设 AE 与 DF 相交于点 H. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD=AB,∠DAF=∠BAF. 又∵AF=AF,∴△ADF≌△ABF.∴∠1=∠2. 又∵AD=BC,∠ADE=∠BCE=90°,DE=CE, ∴△ADE≌△BCE.∴∠3=∠4. ∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°. ∴∠AHD=90°.∴AE⊥DF.
整合方法提升练
证明:如图,取 AB 的中点 H,连结 EH. ∵∠AEF=90°,∴∠2+∠AEB=90°. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠1+∠AEB=90°. ∴∠1=∠2. ∵E 是 BC 的中点,H 是 AB 的中点, ∴BH=BE,AH=CE. ∴∠BHE=45°.∴∠AHE=135°. ∵CF 是正方形外角的平分线,∴∠DCF=45°.∴∠ECF=135°. ∴∠AHE=∠ECF.∴△AHE≌△ECF(ASA).∴AE=EF.
夯实基础巩固练
同理可证△ABE≌△BCH, ∴BE=AG=DF=CH=12,AE=BH=DG=CF=5. ∴EH=FH=FG=EG=7. 又易知∠EHF=90°, ∴EF= EH2+FH2=7 2. 故选 C.
夯实基础巩固练
7.我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系 中,边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上,AB 的中点 是坐标原点 O,固定点 A,B,把正方形沿箭头方向推,使点 D 落在 y 轴正半轴点 D′处,则点 C 的对应点 C′的坐标为( ) A.( 3,1) B.(2,1) C.(1, 3) D.(2, 3)
【点拨】 如图,过点 E 作 EO⊥CD 于点 O,EH⊥BC 于点 H, 显然四边形 EHCO 为正方形,∴EH=EO,∠HEO=90°. ∵∠GEF=∠HEO=90°, ∴∠HEM=∠OEN. ∵∠EHM=∠EON=90°, ∴△EHM≌△EON. ∴S 四边形 EMCN=S 正方形 EHCO.
夯实基础巩固练
【点拨】在 AD 上取一点 M,使得 AM=2,易知 F,M 关于直 线 AC 对称.连结 EM,交 AC 于点 P′,连结 P′F,易得 P′F+P′E 的值为 PF+PE 的最小值,即 EM 的长为 PF+PE 的最小值.过 点 M 作 MN⊥BC 于点 N,由题意可知 EN=BN-BE=AM-BE =2-1=1,MN=4,所以 EM= EN2+MN2= 12+42= 17. 此类问题容易出错的地方是不能将两条线段的和转化为一条线 段. 【答案】 17
夯实基础巩固练
4.如图,点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,且 EC=2AE,
Rt△FEG 的两条直角边 EF,EG 分别交 BC,DC 于点 M,N,
若正方形 ABCD 的边长为 a,则阴影部分即四边形 EMCN 的
面积为( )
A.23a2 B.14a2
C.59a2 D.49a2
夯实基础巩固练
整合方法提升练
11.如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E,F 分别是 AB,AD 上的一点,且 BF⊥CE,垂足为点 G,求证:AF=BE.
整合方法提升练
证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC,∠A=∠CBE=90°. ∵BF⊥CE,∴∠BCE+∠CBG=90°. ∵∠ABF+∠CBG=90°,∴∠BCE=∠ABF.
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9.如图,直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 D 且与 BC 交于点 G, 过 A,C 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 E,F.若 AE=4a, CF=a,则正方形 ABCD 的面积为___1_7_a_2__.
夯实基础巩固练
10.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 BC 上的一点,BE =1,F 为 AB 上的一点,AF=2,P 为 AC 上的一个动点, 则 PF+PE 的最小值为________.
(2)延长 BE 交 AD 于点 F,若∠DEB=140°,求∠AFE 的度数. 解:∵∠DEB=140°,△BEC≌△DEC, ∴∠DEC=∠BEC=70°.∴∠AEF=∠BEC=70°. ∵∠DAB=90°,∴∠DAC=∠BAC=45°. ∴∠AFE=180°-70°-45°=65°.
整合方法提升练
∠BCE=∠ABF, 在△BCE 和△ABF 中,BC=AB,
∠CBE=∠A, ∴△BCE≌△ABF(ASA).∴AF=BE.
整合方法提升练
12.如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE,连结 BE, CE.
(1)求证:BE=CE.
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证明:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴BA=CD,∠BAD=∠ADC=90°. ∵△ADE 为等边三角形, ∴AE=DE,∠EAD=∠EDA=60°. ∴∠BAE=∠CDE=150°. ∴△BAE≌△CDE.∴BE=CE.
为边的正方形 EFGH 的周长为( B )
A. 2
B.2 2
C. 2+1 D.2 2+1
夯实基础巩固练
6.如图,在正方形 ABCD 中,△ABE 和△CDF 为直角三角形,
∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则 EF
的长是( )
A.7BLeabharlann 8C.7 2D.7 3
夯实基础巩固练
整合方法提升练
12.如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE,连结 BE, CE.
(2)求∠BEC 的度数.
解:在正方形 ABCD 中,AB=AD.在等边三角形 ADE 中,AD =AE,∠AED=60°,∴AB=AE.∴∠ABE=∠AEB. 又∵∠BAE=150°,∴∠ABE=∠AEB=15°. 同理可得∠CED=15°,∴∠BEC=60°-15°×2=30°.
整合方法提升练
13.如图,在正方形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,连结 EB,ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CB=CD,∠BCA=∠DCA. 又∵CE=CE,∴△BEC≌△DEC.
整合方法提升练
13.如图,在正方形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,连结 EB,ED.
浙教版 八年级下
第5章 特殊平行四边形
5.3 正方形 第2课时 正方形的性质
习题链接
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1B 2B 3C 4D 5B
6C 7D 8 65 9 17a2 10 17
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
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夯实基础巩固练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( B )
培优探究拓展练
15.如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,AC 与 BE 相交于点 F,连结 DF.
(3)延长 DF 交 BC 于点 M,试判断 BM 与 MC 的数量关系(直接 写出结论). 解:BM=MC.
【点拨】设 AE 的延长线交 DF 于点 G,CF 的延长线交 BE 于点 H,易证△ABE≌△CDF,∴∠ABE=∠CDF. ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AB=BC=AD. ∴∠CDF+∠ADG=∠DAG+∠BAE=90°. 又∵∠ABE+∠BAE=90°, ∴∠BAE=∠ADG,∠ABE=∠DAG. ∴△ABE≌△DAG.
夯实基础巩固练
【点拨】由已知条件得到 AD′=AD=2,AO=12AB=1,根据勾 股定理得到 OD′= AD′2-OA2= 3,于是得到结论.
【答案】D
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8.如图,在正方形 ABCD 中,点 F 为 CD 上一点,BF 与 AC 相交于点 E,若∠CBF=20°,则∠AED 等于____6_5___度.
培优探究拓展练
15.如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,AC 与 BE 相交于点 F,连结 DF.
(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形;
解:△ADF≌△ABF, △ADC≌△ABC, △CDF≌△CBF.
培优探究拓展练
15.如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,AC 与 BE 相交于点 F,连结 DF.
夯实基础巩固练
∵AB=BC=a,∠B=90°,∴AC= 2a.
∵EC=2AE.∴EACC=23.∴EC=23×
2a=2 3
2 a.
∴S 正方形 EHCO=12×232a×232a=49a2.
∴阴影部分即四边形 EMCN 的面积为49a2.故选 D.
夯实基础巩固练
5.如图,正方形 ABCD 的面积为 1,则以相邻两边中点连线 EF
A.四个角都相等
B.四条边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
夯实基础巩固练
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( B ) A.对边平行 B.邻边互相垂直 C.对边相等 D.四条边相等
夯实基础巩固练
3.如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,则图中等腰直角 三角形有( C ) A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10 个
(2)连结 AE,试判断 AE 与 DF 的位置关系,并给出理由;
培优探究拓展练
解:AE⊥DF.理由:如图,设 AE 与 DF 相交于点 H. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD=AB,∠DAF=∠BAF. 又∵AF=AF,∴△ADF≌△ABF.∴∠1=∠2. 又∵AD=BC,∠ADE=∠BCE=90°,DE=CE, ∴△ADE≌△BCE.∴∠3=∠4. ∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°. ∴∠AHD=90°.∴AE⊥DF.