泰州高三2012届一模第一学期期末考试数学试题

泰州市2012届一模高三第一学期期末考试数学
(考试时间：120分钟 总分160分)
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1.在ABC ∆中，060,2,1===B c a ，则b = ▲ .
2.某年级有三个班级，人数分别为45、50、55，为加强班级学生民主化管理，拟就某 项决策进行问卷调查，按分层抽样的方法抽取30人，则各个班级被抽取的人数分别 为 ▲ .
3.命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是 ▲ .
4.复数
i
i +12的模为 ▲ .（其中i 是虚数单位）
5.已知ABCD 是半径为2圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P ，点P 落在正方形ABCD 内部的概率为 ▲ .
6.右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s = ▲ .
7.设A 为奇函数a a x x x f ()(3++=为常数）图像上一点，在A 处的切线平行于直线x y 4=，则A 点的坐标为 ▲ .
8.已知)0,0(>>=+b a t b a ，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t = ▲ .
9.将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像仍过点),2
3,3
(π
则ϕ的
最小值为 ▲ . 10.在集合{x |
2012
x
∈Z ,x ∈Z } 中取三个不同元素排成一列，使其成等比数列，则此等比数列的公比为 ▲ .
11. 设α、β、γ表示是三个不同的平面，a 、b 、c 表示是三条不同的直线，给出下列 五个命题：
(1)若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；
(2)若a ∥α，b ∥α，ββαβ⊂⊂=⋂b a c ,,，则b a //； (3)若ααα⊥⇒⊂⊂⊥⊥a c b c a b a ,,,；
i ←1,s ←1
s ←s ·9
i ←i +1
开始
结束
否
是
输出s i ≥3
(4)若,,γβγα⊥⊥则βα//或βα⊥；
(5)若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b ． 其中正确命题的序号是 ▲ .
12．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，则21r r = ▲ . 13．设实数1≥a ，使得不等式a a x x ≥+
-2
3，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立，则满足条
件的实数a 的范围是 ▲ .
14. 集合{)(x f M =存在实数t 使得函数)(x f 满足})
1()()1(f t f t f +=+，下列
函数k c b a ,,,(都是常数）
（1）)0,0(≠≠+=b k b kx y （2）)0(2≠++=a c bx ax y （3）)10(<<=a a y x （4）)0(≠=
k x
k y
（5）x y sin =
属于M 的函数有 ▲ . (只须填序号) 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥A —BCD ，BC =3，BD =4，CD =5，AD ⊥BC ，E 、F 分
别是棱AB 、CD 的中点，连结CE ，G 为CE 上一点．
(1)求证：平面CBD ⊥平面ABD ；
(2)若 GF ∥平面ABD ，求CG
GE 的值．
16．(本题满分14分)某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具(5π
24
≤θ≤π
3 )，现准备定制长与宽分别为a 、b (a >b )的硬纸板截成
三个符合要求的△AED 、△BAE 、△EBC ．(如图所示)
(1)当θ=6
π
时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；
(2)现有三种规格的硬纸板可供选择，A 规格长80cm ，宽30cm ，B 规格长60cm ，宽40cm ，C 规格长72cm ，宽32cm ，可以选择哪种规格的硬纸板使用．
A
B
C
D
F
E
G
A
B
C
D
θ
E
17．（本题满分14分）如图，半径为1圆心角为
2
3π圆弧AB ︵
上有一点C ．
（1）当C 为圆弧 AB ︵
中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值. （2）当C 在圆弧 AB ︵
上运动时，D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，
求CE ·DE 的取值范围．
18．（本题满分16分）如图，已知椭圆
)0(122
2
2
>>=+b a b
y
a x
，左、右焦点分别为21,F F ，右顶点为A ，上顶点为B , P 为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若2
2
1PAF
F PF S S ∆∆=,求椭圆的离心率；
（2）若122
1PBF PAF F PF
S S S ∆∆∆==，求直线1PF 的斜率k ；
（3）若2
P A F S ∆、2
1F PF
S ∆、1
PBF S ∆成等差数列，椭圆的离心率
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,41e ，求直线1PF 的斜率k 的取值范围.
19．（本题满分16分）已知函数ax x a a x x f 2ln )2
14
3(
21)(2
2
-+
+=
(1)当2
1-
=a 时，求)(x f 的极值点;
(2)若)(x f 在'
()f x 的单调区间上也是单调的，求实数a 的范围.
A
E D C
B
O
F 2
A
x
y
P B
F 1
20．（本题满分16分）已知数列{}n a ，对于任意n ≥2，在1-n a 与n a 之间插入n 个数，
构成的新数列{}n b 成等差数列，并记在1-n a 与n a 之间插入的这n 个数均值为1-n C .
(1)若2
8
32
-+=n n a n ，求321C C C 、、；
(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{1+n C -λn C }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由； (3)求出所有的满足条件的数列{}n a .
泰州市2011～2012学年度第一学期期末考试
高三数学试题参考答案
(考试时间：120分钟 总分160分)
一、填空题
1．3 2．9，10，11 3．01,2≠+-∈∀x x R x 4．2 5．π
2
6．81 7．（1，2）或（-1，-2） 8．22 9．6
π
10．2,2
1±±
11．(2) 12．25 13．或
231≤
≤a 2
5≥
a 14.(2)（4）
15．解：(1)在△BCD 中，BC=3，BD=4，CD=5，∴BC ⊥BD 又∵BC ⊥AD ，BD ∩AD=D
∴BC ⊥平面ABD …………………………4′ 又∵BC ⊂平面BCD
∴平面CBD ⊥平面ABD …………………………7′ (2) ∵GF ∥平面ABD, FG ⊂平面CED
平面CED ∩平面ABD=DE ∴GF ∥ED …………………………10′ ∴G 为线段CE 的中点 ∴
CG
GE
=1 …………………………14′ 16．解：(1)由题意∠AED=∠CBE=θ
∵b=BE ·cos300
=AB ·sin300
·cos300
=
3 4
a ∴a
b =4 3 3
…………………………4′ (2)∵b=BE ·cos θ=AB ·sin θ·cos θ=12 AB ·sin2θ ∴b a =1
2 sin2θ
∵
5π24 ≤θ≤π3 ∴5π12 ≤2θ≤2π3 ∴b a ∈[ 3 4 ，1
2
]…………………10′ A 规格：3080 =38 < 3 4 , 不符合条件. …………………………11′
B 规格：4060 =23 >1
2 , 不符合条件. …………………………12′
C 规格：3272 =49 ∈[ 3 4 ，1
2
],符合条件. …………………………13′
∴选择买进C 规格的硬纸板. …………………………14′
17．解：（1）以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立图示坐标系，
设D （t ，0）（0≤t ≤1），C （2
22
2，
-
）………………………2′
∴OD OC +=（2
222t ，
+-）
∴2||OD OC +=
2
122
12
+
+-
t t =122+-
t t （0≤t ≤1）…4′
当2
2=t 时，最小值为
2
2…………………………6′
（2）设OC =（cos α，sin α）（0≤α≤2
3π）
OC OE CE -==（0，2
1-）—（cos α，sin α）=（ααsin 2
1cos ---，）………8′
又∵D （021
，）
，E （0，2
1-）
∴DE =（2
12
1-
-
，）…………………………10′
∴CE ·DE =)sin 2
1(cos 2
1αα++=
4
1)4
sin(2
2+
+
π
α…………12′
∵
4
π
≤4
π
α+
≤4
7π…………………………13′
∴CE ·DE ∈[2
24
12
24
1+
-，]…………………………14′
18．解：（1）∵2
1F PF
S ∆=2
PAF S ∆ ∴A F F F 221=
∵a-c=2c ∴e =3
1…………………………2′
（2）设)(1c x k y PF +=的直线方程为，
∵2
1F PF S ∆=1
PBF S ∆
∴
1
2·211·21
2121+=+-k kc
PF k kc b PF …………………………4′
∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c ∴b=22c ∴k=3
22…………………………7′
(3)设2
1F PF
S ∆=t ，则t c
c a S PAF 22
-=
∆…………………………8′
∵P 在第一象限 ∴c
b k >
kc
kc b k kc k kc
b S S F PF PBF 21
212
2
2
11-=
++-=
∆∆ ∴t kc kc b S PBF ·21
-=
∆…………………………9′
∴2t=
t kc
kc
b t
c c a ·22-+
- ∴kc b ck ak kc -+-=4 ∴b a c k =-)6(
∴a c b k -=
6…………………………11′
∴
c b
a c b
>
-6
∴15
1
<<e 又由已知14
1<≤e
∴
14
1<≤e …………………………12′
∴2
2
2
2
1236a ac c b
k +-=
=
2
2
2
21236a
ac c c
a +--
=
1123612
2
+--e e e
=
2
2)
16(1--e e
（令16-=e m ，∴6
1+=m e ）……13′
=2
2
)
61(
1m m +-=
2
2
123636
1m
m m ---
=)1235
(
3612
--m
m
∵
141<≤e ∴52
1<≤m
∴
2151≤<m
∴4
1502
≤
<k
∴2
150≤
<k …………………………16′
19．解 (1)f(x)= 12 x 2- 1
16 lnx+x （0>x ）
f’(x)=x - 116x + 1=16x 2+16x-1
16x =0
∴x 1=
-2- 5 4 ，x 2=-2+ 5
4
…………………………2′
∵(0，
-2+ 5
4
]
单调
[
-2+ 5
4
，+∞)单调增…………………………3′ ∴f(x)在x= -2+ 5
4
时取极小值…………………………4′
(2)解法一：f’(x)=x 2
-2ax+ 34 a 2+ 12
a
x )0(>x …………………………5′
令g(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 1
2 a ， △=4a 2-3a 2-2a=a 2-2a ，
设g(x)=0的两根)(,2121x x x x <…………………………7′ 10
当△≤0时 即0≤a ≤2，f’(x)≥0
∴f(x)单调递增，满足题意…………………………9′
20 当△>0时 即a<0或a>2时
(1)若210x x <<，则 34 a 2 + 12 a<0 即- 2
3
<a<0时,
)(x f 在),0(2x 上减，),(2+∞x 上增
f’(x)=x+ 34 a 2 + 1
2
a x
-2a
f’’(x)=1- 34 a 2 + 12
a x
2
≥0 ∴f ’(x) 在(0，+∞)单调增，不合题意……………11 (2)若021<<x x 则⎪⎩
⎪⎨⎧<≥+00
2
1
432a a a 即a ≤- 2
3
时f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意。

…………………………13′
(3) 若210x x <<则⎪⎩
⎪⎨⎧>>+00
2
1
432a a a 即a>2时 ∴f(x)在(0，x 1)单调增，(x 1，x 2)单调减，(x 2，+∞)单调增，不合题意………15′ 综上得a ≤- 2
3 或0≤a ≤2. …………………………16′
解法二：f’(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 1
2
a
x …………………………5′
令g(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 12 a ， △=4a 2-3a 2-2a=a 2
-2a ，
设g(x)=0的两根)(,2121x x x x <…………………………7′
10
当△≤0时 即0≤a ≤2，f’(x)≥0
∴f(x)单调递增，满足题意 …………………………9′ 20 当△>0时 即a<0或a>2时
(1)当0<a 若34 a 2 + 12 a<0，即- 2
3
<a<0时,210x x <<
)(x f 在),0(2x 上减，),(2+∞x 上增
f’(x)=x+ 34 a 2 + 12
a x
-2a
f’’(x)=1- 34 a 2 + 12
a x 2
≥0 ∴f ’(x) 在(0，+∞)单调增，不合题意…………………………11′ 若 34 a 2 + 12 a>0，即a ≤- 2
3
时，021<<x x f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意。

…………………………13′ (2)当2>a 时，34 a 2 + 1
2
a>0，210x x <<
∴f(x)在(0，x 1)单调增，(x 1，x 2)单调减，(x 2，+∞)单调增，不合题意……………15′ 综上得a ≤- 2
3 或0≤a ≤2. …………………………16′
20．解：(1)由题意a 1=-2，a 2=1，a 3=5，a 4=10，
∴在a 1与a 2之间插入-1、0，C 1=- 1
2
…………………………1′
在a 2与a 3之间插入2、3、4，C 2=3…………………………2′ 在a 3与a 4之间插入6、7、8、9，C 3=15
2 …………………………3′
(2)在a n-1与a n 之间插入n 个数构成等差，d=a n -a n-1
n+1
=1
∴C n-1=n(a n-1+a n )
2 n =a n-1+a n 2 =n 2
+2n-9
2 …………………………5′
假设存在λ使得{C n+1-λC n }是等差数列
∵(C n+1-λC n )-(C n -λC n-1) =C n+1-C n -λ(C n -C n-1) =
2n+52 -λ·2n+3
2
=(1-λ)n+ 52 - 3
2
λ=常数
∴λ=1时{C n+1-λC n }是等差数列…………………………8′
(3)由题意满足条件的数列{a n }应满足 a n -a n-1n+1 =a n+1-a n
n+2
…………………………10′
∴a n+1-a n a n -a n-1 =n+2n+1
∴a n+1-a n a n -a n-1 ·a n -a n-1a n-1-a n-2 ……a 4-a 3a 3-a 2 ·a 3-a 2a 2-a 1 =n+2n+1 ·n+1n ……54 ·43 =
n+2
3
∴a n+1-a n =1
3 (a 2-a 1)·(n+2) …………………………12′
∴a n -a n-1=1
3
(a 2-a 1) ·(n+1)
…
a 3-a 2=1
3 (a 2-a 1)×4
a 2-a 1=1
3 (a 2-a 1)×3
∴a n -a 1=13 (a 2-a 1)·(n-1)(3+n+1)
2 （2≥n ）
∴a n =1
6
(a 2-a 1)(n-1)(n+4)+a 1（2≥n ）…………………………14′
又∵1=n 时也满足条件…………………………15′
∴形如),()4)(1(R b a b n n a a n ∈++-=的数列均满足条. ……………………16′
泰州市2011～2012学年度第一学期期末考试
高三数学附加题参考答案
1．（几何证明选讲）（1）∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD ＝∠DAC; ∵四边形AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC; ……………………2′
∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ∴∠FBC ＝∠FCB ∴FB ＝FC. (5)
（2） ∵AB 是圆的的直径,∴∠90.A C D =︒
1120,60,30.2
E A C D A C E A C D ∠=︒∴∠=
∠=︒∠=︒
…………………………7′
在Rt △ACB 中,∵BC=33 ∠BAC=60°∴AC=3 又在Rt △ACD 中，∠D=30°,AC=3 ∴AD=6 …………………………10′
2.解：由题意得1
3
12221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
A
，…………………………5′
=AX B ，1
3
194112
22312
15
1-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤
⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
-⎣⎦⎣⎦
X A B …………………………10′
3.解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为062
2
=-+y y x ，
即9)3(22=-+y x ，它表示以)3,0(为圆心，3为半径的圆，…………………………3′ 直线方程l 的普通方程为31y x =
+，…………………………6′
圆C 的圆心到直线l 的距离1=d ，
故直线l 被曲线C 截得的线段长度为241322
2
=-．…………………………10′ 4.解法一：1+-y x =|)2()1(|---y x …………………………5′ 221≤-+-≤y x …………………………9′
（当且仅当3,2==y x 或x=0,y=1时取等号）…………………………10′ 解法二：∵11≤-x ， ∴20≤≤x …………………………3′ ∵,12≤-y ∴31≤≤y …………………………6′ ∴13-≤-≤-y
∴212≤+-≤-y x …………………………9′ ∴1+-y x 的最大值为2. …………………………10′ 5.解：取AC 中点O,因为AB=BC ，所以OC OB ⊥, ∵平面ABC ⊥平面APC
平面ABC ⋂平面APC =AC, ∴⊥OB 平面PAC
∴OP OB ⊥…………………………1′ 以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为 x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AB=BC=PA=2,所以OB=OC=OP=1 从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0), C(0,1,0),P(0,0,1), ……………………2′ ∴)1,1,0(),1,0,1(),1,0,1(=-=-=AP PB BC 设平面PBC 的法向量),,(1z y x n =， 由0,011=∙=∙n PB n BC 得方程组
⎩
⎨
⎧=-=+-00
z x y x ，取)1,1,1(1=n …………………………3′ A
P
C
O
B
z y
x
∴3
6,cos 1
11=
∙>=
<n AP n AP n AP
∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为
3
6。

…………………………4′
（2）由题意平面PAC 的法向量)0,0,1(2=n ，…………………………5′ 设平面PAM 的法向量为)0,,(),,,(3n m M z y x n =
∵)0,1,(),1,1,0(+==n m AM AP 又因为0,033=∙=∙n AM n AP
∴⎩
⎨⎧=++=+0)1(0y m mx z y 取)1,1,1(3-+=m n n ，…………………………7′
∴11
113211
,cos 2
3
23232=
+⎪⎭
⎫
⎝⎛++=
∙>=
<m n m n n n n n n n
∴912
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+m n ∴m n 31=+ 或 m n 31-=+（舍去） ∴B 点到AM 的最小值为垂直距离5
10=
d 。

…………………………10′
4.解：(1)当抛物线焦点在x 轴上时，设抛物线方程y 2=2Px ，
∵⎪⎩⎪⎨⎧==pa
a pa a 816242
2
∴P=2a …………………………2′
∴y 2=4ax
当抛物线焦点在y 轴上时，设抛物线方程x 2=2py
∵⎪⎩⎪⎨⎧==pa
a pa a 481622 ∴方程无解 ∴抛物线不存在…………………………4′
(2)设A 1(as 2，2as)、B 1(at 2，2at) T(m ，0)(m>a) ∵1
TA TA k k = ∴
2a a-m =2as
as 2-m
∴as 2
+(m-a)s-m=0
∵(as+m)(s-1)=0 ∴S=- m
a
∴A 1(m 2
a
，-2m) …………………………5′
∵1
TB TB k k = ∴
4a 4a-m =2at at 2-m
∵2at 2+(m-4a)t-2m=0 ∴(2at+m)(t-2)=0
∴t=- m 2a ∴B 1(m
2
4a ，-m) …………………………6′
∴1
1
B
A l 的直线方程为y+2m=-2m+m m 2a - m 24a
(x- m 2
a
)…………………………7′ ∵直线的斜率为m
a 34-在),(+∞a 单调
∴所以集合M 中的直线必定相交，…………………………8′ ∵直线的横截距为a
m
22
-
在),(+∞a 单调，纵截距为3
2m -
在),(+∞a 单调
∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。