【精编】高考数学二轮复习 细致讲解 第10章 高考押题中的数学能力课件 文课件 文-精心整理
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量法来解决.一般此类立体几何问题描述的是动态的过程,结果
具有不唯一性或者隐藏性,往往需要耐心尝试及等价转化,因此,
对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的.
例 6 (2014 年四川卷)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形.
(1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在 一点 M,使直线 DE∥平面 A1MC?请证明你的结论.
【点评】(1)几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几 何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求
之.
(2)几何体的“补形”:与分割一样,有时为了计算方便,可将
几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成
锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义,我们
在有些情况下,可以将台体补成锥体来进行研究.
图(2)
(2)如图(2),连接 HE,GE. 因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH∥AB. 由 AB⊥BC,得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点, 所以 EF∥HC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形. 所以 CF∥HE. 又 CF⊥BC,所以 HE⊥BC. 又 HE,GH⊂平面 EGH,HE∩GH=H, 所以 BC⊥平面 EGH. 又 BC⊂平面 BCD,所以平面 BCD⊥平面 EGH.
台),或化离散为集中,给解题提供便利.
例 5 如图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直, 点 O 在线段 AD 上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正 三角形.
(1)证明:BC∥EF; (2)求棱锥 F-OBED 的体积.
【解析】(1)设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以 OB���1DE,OG=OD=2,
热点六 立体几何中的探究性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些ห้องสมุดไป่ตู้论能否 成立,立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力,
又可以考查学生的探究能力.近几年高考中立体几何试题不断出 现一些具有探索性、开放性的试题.内容涉及平行与垂直等方面.
对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向
问题的本质.其主要包括四个方面的要求:一是对基本几何图形
必须非常熟悉,能正确画图,画图是指将文字语言和符号语言转 化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换, 能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关 系;二是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关 系;三是能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形
考查,往往是综合考查,每一道题目同时考查几个能力.因此,只 要在解题时不断地积累解题经验,就会使数学能力不断提高.
【高考中的空间想象能力】 空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形,根据图形想 象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系; 能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示
(2)由
OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知
S = △EOB
3.
2
而△OED 是边长为 2 的正三角形,故 S = △OED 3.
所以
S
四边形
=S +S =3
OBED △EOB △OED 2
3.
由平面 ABED⊥平面 ACFD 知,FQ 就是四棱锥 F-OBED 的高,且
FQ= 3,所以 VF-OBED=13FQ·S 四边形 OBED=32.
的法则确定组合体中的各个量.
热点三 线线、线面、面面平行与垂直的证明 证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系, 一要熟练掌握所有判定定理与性质定理,梳理好几种位置关系的 常见证明方法,如证明线面平行,既可以构造线线平行,也可以构
造面面平行.而证明线线平行常用的是三角形中位线性质,或构
2
同理,设 G'是线段 DA 与 FC 延长线的交点,有 OG'=OD=2.
又由于 G 和 G'都在线段 DA 的延长线上,所以 G 与 G'重合.
在△GED 和△GFD 中,由 OB���1DE 和 OC���1DF,可知 B 和 C 分别
2
2
是 GE 和 GF 的中点,所以 BC 是△GEF 的中位线,故 BC∥EF.
【解析】(1)∵A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴A1O⊥平面 BCD, 又 BC⊂平面 BCD,∴BC⊥A1O, 又 BC⊥CO,A1O∩CO=O,∴BC⊥平面 A1CD. 又 A1D⊂平面 A1CD,∴BC⊥A1D. (2)∵四边形 ABCD 是矩形,∴A1D⊥A1B, 由(1)知 A1D⊥BC,A1B∩BC=B,∴A1D⊥平面 A1BC, 又 A1D⊂平面 A1BD,∴平面 A1BC⊥平面 A1BD. 【点评】折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如
圆柱的体积 V2=12×π×12×2=π,∴
V=1+π.
3
【答案】A
【点评】要求空间几何体的表面积与体积,首先要由三视图 还原空间几何体,同时还要由视图中标注的数字反映出空间几何
体的几何元素的数量.解题中就是要把这种数量关系找出,这就 需要空间想象能力.本题考查简单组合体的三视图的识别,对简
单组合体的三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视 图和俯视图,确定组合体的形状,再根据“长对正,宽相等,高平齐”
面,则下列命题中正确的是( ). A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C.若α∥β,m∥n,m∥α,则 n∥β D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
【解析】对于选项 A,m∥α,n∥α,则 m 与 n 可以平行,可以 相交,可以异面,故 A 错;对于选项 B,由线面垂直的性质定理知,m ∥n,故 B 正确;对于选项 C,n 可以平行β,也可以在β内,故 C 错; 对于选项 D,α与β可以相交,故 D 错.
转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题 型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典 型问题,也是考查实践能力与创新能力的好素材.解答折叠问题
的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,并弄清折叠前
后哪些发生了变化,哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件 都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问
【答案】B 【点评】解决空间线面位置关系的组合判断题的两大思路: (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的 判定定理和性质定理逐项判断; (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型 中观察线面位置关系,结合有关定理,肯定或否定某些选项,并作
出选择.
热点二 空间几何体的认识及表面积与体积的计算 涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的表面积和体积的计算 问题,要在正确理解概念的基础上,结合三视图画出符合题意的 图形或辅助线(面),分析几何体的结构特征,选择合适的公式,进
行计算.另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换 法的运用.
例 2 (2015 年重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几
何体的体积为( ).
A.1+π B.2+π
3
3
C.1+2π D.2+2π
3
3
【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱
锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积 V1=13×12×2×1×1=13,半
(2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1
的交点.
由已知,O 为 AC1 的中点.
连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位线,
所以 MD���1AC,OE���1AC,
2
2
因此 MD���OE.
【高考考情解读】
课标高考是强调“以能力立意”的.考查能力就是以数学知
识为载体,从问题入手,把握数学的整体意义,用统一的数学观念 组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的 应用,以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力,从 而检测出考生个体性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能,
【解析】(1)因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为 AB,AC 为平面 ABC 内两条相交的直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC⊂平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内两条相交的直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1.
【解析】
(1)(法一)如图(1),连接 DG,CD,设 CD∩ GF=O,连接 OH.
在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G 为 AC 的中点, 可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形, 则 O 为 CD 的中点. 又 H 为 BC 的中点, 所以 OH∥BD.又 OH⊂平面 FGH,BD⊄平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH.
题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及多面体表面的问题,解题时
不妨将它展开成平面图形试一试.
例 4 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好 在 CD 上.
(1)求证:BC⊥A1D; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1BD.
状及位置关系;四是有熟练的识图能力,即从复杂的图形中能区 分出基本图形,能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关
系.
热点一 空间中点、线、面位置关系的判断 这类题为高考常考题型,主要考查空间中线面之间的位置关 系,要求熟悉有关公理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力,
做到快速准确地解题. 例 1 已知 m,n 为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平
强调的是对数学能力的考查.数学学习的目的之一就是形成一定 的数学能力,能力是运用已有的知识在反复练习的基础上形成的.
掌握基础知识是形成能力的前提;反复练习是形成能力的基础;
熟练运用是能力形成的标志.因此,解题的练习在技能的形成过 程中起着十分重要的作用.在高考复习阶段,多做一些练习是十 分必要的,通过练习,把知识转化为数学能力.高考试题对能力的
造平行四边形;二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思 路;三要注意表述规范,推理严谨,避免使用一些虽然正确但不能
作为推理依据的结论.
例 3 (2015 年山东卷)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE, G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.
本题,不仅要求学生像解常规立体几何综合题一样懂得线线、线 面和面面垂直的判定定理及相互转化,还要正确识别出直角三角
形 ABD 沿斜边折叠而成的空间图形,更要识别折前折后有关线线、
线面位置的关系变化情况以及有关量(边长与角)的变化情况,否
则无法正确解题.这正是折叠问题的价值之所在.
热点五 立体几何中的“割”“补”问题 当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者 虽然几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我们可 采用“割”“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、
(法二)在三棱台 DEF-ABC 中, 由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 BHFE 为平行四边形,可得 BE∥HF. 在△ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GH∥AB. 又 GH∩HF=H,所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD⊂平面 ABED,所以 BD∥平面 FGH.
【点评】空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、 面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想
象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全导致推理片面.
解决平行与垂直问题需要一些技巧,特别需要学会化归与转化能
力的应用.
热点四 立体几何中的折叠问题 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的
具有不唯一性或者隐藏性,往往需要耐心尝试及等价转化,因此,
对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的.
例 6 (2014 年四川卷)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形.
(1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在 一点 M,使直线 DE∥平面 A1MC?请证明你的结论.
【点评】(1)几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几 何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求
之.
(2)几何体的“补形”:与分割一样,有时为了计算方便,可将
几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成
锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义,我们
在有些情况下,可以将台体补成锥体来进行研究.
图(2)
(2)如图(2),连接 HE,GE. 因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH∥AB. 由 AB⊥BC,得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点, 所以 EF∥HC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形. 所以 CF∥HE. 又 CF⊥BC,所以 HE⊥BC. 又 HE,GH⊂平面 EGH,HE∩GH=H, 所以 BC⊥平面 EGH. 又 BC⊂平面 BCD,所以平面 BCD⊥平面 EGH.
台),或化离散为集中,给解题提供便利.
例 5 如图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直, 点 O 在线段 AD 上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正 三角形.
(1)证明:BC∥EF; (2)求棱锥 F-OBED 的体积.
【解析】(1)设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以 OB���1DE,OG=OD=2,
热点六 立体几何中的探究性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些ห้องสมุดไป่ตู้论能否 成立,立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力,
又可以考查学生的探究能力.近几年高考中立体几何试题不断出 现一些具有探索性、开放性的试题.内容涉及平行与垂直等方面.
对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向
问题的本质.其主要包括四个方面的要求:一是对基本几何图形
必须非常熟悉,能正确画图,画图是指将文字语言和符号语言转 化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换, 能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关 系;二是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关 系;三是能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形
考查,往往是综合考查,每一道题目同时考查几个能力.因此,只 要在解题时不断地积累解题经验,就会使数学能力不断提高.
【高考中的空间想象能力】 空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形,根据图形想 象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系; 能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示
(2)由
OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知
S = △EOB
3.
2
而△OED 是边长为 2 的正三角形,故 S = △OED 3.
所以
S
四边形
=S +S =3
OBED △EOB △OED 2
3.
由平面 ABED⊥平面 ACFD 知,FQ 就是四棱锥 F-OBED 的高,且
FQ= 3,所以 VF-OBED=13FQ·S 四边形 OBED=32.
的法则确定组合体中的各个量.
热点三 线线、线面、面面平行与垂直的证明 证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系, 一要熟练掌握所有判定定理与性质定理,梳理好几种位置关系的 常见证明方法,如证明线面平行,既可以构造线线平行,也可以构
造面面平行.而证明线线平行常用的是三角形中位线性质,或构
2
同理,设 G'是线段 DA 与 FC 延长线的交点,有 OG'=OD=2.
又由于 G 和 G'都在线段 DA 的延长线上,所以 G 与 G'重合.
在△GED 和△GFD 中,由 OB���1DE 和 OC���1DF,可知 B 和 C 分别
2
2
是 GE 和 GF 的中点,所以 BC 是△GEF 的中位线,故 BC∥EF.
【解析】(1)∵A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴A1O⊥平面 BCD, 又 BC⊂平面 BCD,∴BC⊥A1O, 又 BC⊥CO,A1O∩CO=O,∴BC⊥平面 A1CD. 又 A1D⊂平面 A1CD,∴BC⊥A1D. (2)∵四边形 ABCD 是矩形,∴A1D⊥A1B, 由(1)知 A1D⊥BC,A1B∩BC=B,∴A1D⊥平面 A1BC, 又 A1D⊂平面 A1BD,∴平面 A1BC⊥平面 A1BD. 【点评】折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如
圆柱的体积 V2=12×π×12×2=π,∴
V=1+π.
3
【答案】A
【点评】要求空间几何体的表面积与体积,首先要由三视图 还原空间几何体,同时还要由视图中标注的数字反映出空间几何
体的几何元素的数量.解题中就是要把这种数量关系找出,这就 需要空间想象能力.本题考查简单组合体的三视图的识别,对简
单组合体的三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视 图和俯视图,确定组合体的形状,再根据“长对正,宽相等,高平齐”
面,则下列命题中正确的是( ). A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C.若α∥β,m∥n,m∥α,则 n∥β D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
【解析】对于选项 A,m∥α,n∥α,则 m 与 n 可以平行,可以 相交,可以异面,故 A 错;对于选项 B,由线面垂直的性质定理知,m ∥n,故 B 正确;对于选项 C,n 可以平行β,也可以在β内,故 C 错; 对于选项 D,α与β可以相交,故 D 错.
转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题 型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典 型问题,也是考查实践能力与创新能力的好素材.解答折叠问题
的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,并弄清折叠前
后哪些发生了变化,哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件 都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问
【答案】B 【点评】解决空间线面位置关系的组合判断题的两大思路: (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的 判定定理和性质定理逐项判断; (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型 中观察线面位置关系,结合有关定理,肯定或否定某些选项,并作
出选择.
热点二 空间几何体的认识及表面积与体积的计算 涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的表面积和体积的计算 问题,要在正确理解概念的基础上,结合三视图画出符合题意的 图形或辅助线(面),分析几何体的结构特征,选择合适的公式,进
行计算.另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换 法的运用.
例 2 (2015 年重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几
何体的体积为( ).
A.1+π B.2+π
3
3
C.1+2π D.2+2π
3
3
【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱
锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积 V1=13×12×2×1×1=13,半
(2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1
的交点.
由已知,O 为 AC1 的中点.
连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位线,
所以 MD���1AC,OE���1AC,
2
2
因此 MD���OE.
【高考考情解读】
课标高考是强调“以能力立意”的.考查能力就是以数学知
识为载体,从问题入手,把握数学的整体意义,用统一的数学观念 组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的 应用,以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力,从 而检测出考生个体性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能,
【解析】(1)因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为 AB,AC 为平面 ABC 内两条相交的直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC⊂平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内两条相交的直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1.
【解析】
(1)(法一)如图(1),连接 DG,CD,设 CD∩ GF=O,连接 OH.
在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G 为 AC 的中点, 可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形, 则 O 为 CD 的中点. 又 H 为 BC 的中点, 所以 OH∥BD.又 OH⊂平面 FGH,BD⊄平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH.
题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及多面体表面的问题,解题时
不妨将它展开成平面图形试一试.
例 4 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好 在 CD 上.
(1)求证:BC⊥A1D; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1BD.
状及位置关系;四是有熟练的识图能力,即从复杂的图形中能区 分出基本图形,能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关
系.
热点一 空间中点、线、面位置关系的判断 这类题为高考常考题型,主要考查空间中线面之间的位置关 系,要求熟悉有关公理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力,
做到快速准确地解题. 例 1 已知 m,n 为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平
强调的是对数学能力的考查.数学学习的目的之一就是形成一定 的数学能力,能力是运用已有的知识在反复练习的基础上形成的.
掌握基础知识是形成能力的前提;反复练习是形成能力的基础;
熟练运用是能力形成的标志.因此,解题的练习在技能的形成过 程中起着十分重要的作用.在高考复习阶段,多做一些练习是十 分必要的,通过练习,把知识转化为数学能力.高考试题对能力的
造平行四边形;二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思 路;三要注意表述规范,推理严谨,避免使用一些虽然正确但不能
作为推理依据的结论.
例 3 (2015 年山东卷)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE, G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.
本题,不仅要求学生像解常规立体几何综合题一样懂得线线、线 面和面面垂直的判定定理及相互转化,还要正确识别出直角三角
形 ABD 沿斜边折叠而成的空间图形,更要识别折前折后有关线线、
线面位置的关系变化情况以及有关量(边长与角)的变化情况,否
则无法正确解题.这正是折叠问题的价值之所在.
热点五 立体几何中的“割”“补”问题 当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者 虽然几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我们可 采用“割”“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、
(法二)在三棱台 DEF-ABC 中, 由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 BHFE 为平行四边形,可得 BE∥HF. 在△ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GH∥AB. 又 GH∩HF=H,所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD⊂平面 ABED,所以 BD∥平面 FGH.
【点评】空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、 面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想
象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全导致推理片面.
解决平行与垂直问题需要一些技巧,特别需要学会化归与转化能
力的应用.
热点四 立体几何中的折叠问题 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的