山东省枣庄市滕州五中2015届高考数学模拟试卷(理科)(4月份) 含解析

2015年山东省枣庄市滕州五中高考数学模拟试卷（理科）(4月
份）
一、选择题
1．设集合U={1，2,3，4，5}，A={1,2，3｝，B={2,3,4｝，则∁U（A∩B）=(）A．{2，3｝B．{1,4,5} C．｛4,5} D．{1,5｝
2．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1•z2是实数，则t等于（）A．B．C．﹣D．﹣
3．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是(）A．=2B．∥C．=﹣ D．⊥
4．0（x﹣e x）dx=()
A．﹣1﹣B．﹣1 C．﹣+D．﹣
5．x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a
的值为(）
A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1
6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin(2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度
7．数列｛a n}是正项等比数列，｛b n}是等差数列，且a6=b7，则有（)
A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10
C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定
8．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x)﹣1|＜a的必要条件是|x+1｜＜b(a，b＞0),则a，b之间的关系是（）
A．B．C．D．
9．如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(）
A．π B．C．D．π
10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张，不同取法的种数为() A．232 B．252 C．472 D．484
二、填空题:
11．命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是．
12．已知函数f（x）=，若函数g(x）=f(x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．
13．设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果,可推测一般的结论为．
14．双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为．
15．函数f（x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是．
三、解答题
16．在锐角△ABC中，=
(1）求角A；
（2）若a=,求bc的取值范围．
17．经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内（以30天计)，日旅游人数f（t）（万人)与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）(元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t)=115﹣|t﹣15|．
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；(Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值(万元）．
18．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，PA=AD=2,BD=2．（Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值;
（Ⅲ)在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q的位置,若不存在,说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程;
（2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2，求证:k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
20．已知函数f（x）=ax+xlnx(a∈R）
（1）若函数f(x）在区间[e,+∞)上为增函数，求a的取值范围;
（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1)＜f（x)在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．21．已知数列｛a n}的前n项和为S n,且a1=4，S n=na n+2﹣（n≥2,n∈N＊)
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列｛b n}满足：b1=4且b n+1=b n2﹣（n﹣1）b n﹣2（n∈N*），求证：b n＞a n（n≥2，n∈N＊）；
(3）求证:（1+)（1+)…（1+）＜．
2015年山东省枣庄市滕州五中高考数学模拟试卷(理科）
（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合U=｛1，2，3，4，5｝,A={1，2，3},B={2，3，4｝，则∁U(A∩B）=() A．{2,3} B．｛1,4，5} C．｛4，5｝ D．{1，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】求出集合A∩B,然后求出它的补集即可．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，A=｛1，2，3}，B=｛2，3，4｝
所以A∩B={1，2，3}∩{2，3，4｝={2，3}；
∁U（A∩B)={1，4，5｝；
故选B．
【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算,常考题型．
2．已知t∈R，i为虚数单位,复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1•z2是实数，则t等于（）A．B．C．﹣D．﹣
【考点】复数代数形式的混合运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的乘法运算法则,复数是实数，虚部为0求解即可．
【解答】解：t∈R，i为虚数单位，复数z1=3+4i,z2=t+i，且z1•z2是实数，
可得（3+4i）（t+i）=3t﹣4+（4t+3）i，
4t+3=0
则t=．
故选：D．
【点评】本题考查复数的基本知识，复数的概念的应用,考查计算能力．
3．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=2B．∥C．=﹣ D．⊥
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量，共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．
【解答】解：由+=，得若=﹣≠,即有=﹣，则，共线且方向相反，
因此当因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立．
对照各个选项,可得A项中向量、的方向相同，
B项中向量，共线，方向相同或相反，
C项中向量、的方向相反，
D项中向量、的方向互相垂直
故选：C．
【点评】本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题．
4．0（x﹣e x)dx=（）
A．﹣1﹣B．﹣1 C．﹣+D．﹣
【考点】微积分基本定理．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】0（x﹣e x)dx=（x2﹣e x），从而解得．
【解答】解：0(x﹣e x）dx
=(x2﹣e x)
=（0﹣1）﹣（﹣)
=﹣；
故选C．
【点评】本题考查了积分的运算,属于基础题．
5．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）
A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大,z也最大．
若a=0,此时y=z,此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0,平行，此时a=﹣1,
综上a=﹣1或a=2，
故选：D
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．
6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin(2x+)的图象上所有的点(）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,可得结论．
【解答】解：函数y=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
可得函数y=3sin[2（x+）+］=3sin（2x+) 的图象，
故选:D．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用,函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
7．数列｛a n｝是正项等比数列，{b n｝是等差数列,且a6=b7,则有()
A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10
C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定
【考点】数列的函数特性．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由于｛b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7,于是b4+b10=2a6．由于数列{a n｝是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．
【解答】解：∵｛b n｝是等差数列，
∴b4+b10=2b7，
∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，
∵数列{a n｝是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，
∴a3+a9≥b4+b10．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．
8．已知f（x）=2x+3(x∈R)，若｜f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a,b＞0），则a，b 之间的关系是（）
A．B．C．D．
【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】化简|f(x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1｜＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）⊆（﹣b﹣1,b﹣1)，故﹣b﹣1≤,b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．
【解答】解:|f（x)﹣1｜＜a即|2x+2｜＜a,即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．
｜x+1｜＜b即﹣b＜x+1＜b 即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．
∵|f（x）﹣1｜＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0）,
∴（，)⊆（﹣b﹣1,b﹣1），
∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，
解得b≥，
故选A．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．
9．如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（)
A．π B．C．D．π
【考点】截面及其作法．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形,求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径,最后求出内切圆的面积
【解答】解：根据题意知,平面ACD1是边长为的正三角形,
且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得,△ACD1内切圆的半径是×tan30°=,
则所求的截面圆的面积是π××=．
故选:C
【点评】本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征,关键是想象出截面图的形状,考查了空间想象能力,数形结合的思想
10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（) A．232 B．252 C．472 D．484
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】不考虑特殊情况，共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有种取法，两种红色卡片,共有种取法，由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有
种取法，两种红色卡片，共有种取法,
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
【点评】本题考查组合知识,考查排除法求解计数问题，属于中档题．
二、填空题：
11．命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是∀x∈R，e x≤x．
【考点】命题的否定．
【专题】阅读型．
【分析】本题要求出命题的否定，由于命题是一个特称命题，故其否定是不念旧恶全称命题,特称命题的否定的书写格式书写即可
【解答】解：∵p：“∃x∈R，e x＞x
∴￢p：∀x∈R，e x≤x
故答案为∀x∈R，e x≤x
【点评】本题考点是命题的否定，考查命题否定的定义及命题否定的书写格式，属于基本题,在书写命题的否定时要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的书写形式是全称命题，解答此类题时要正确书写．
12．已知函数f(x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点,则实数m 的取值范围是(0，1）．
【考点】函数的零点．
【专题】数形结合法．
【分析】先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象,然后结合图象进行求解．
【解答】解：函数f(x）==，
得到图象为：
又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，
知f（x)=m有三个零点，
则实数m的取值范围是(0，1）．
故答案为:（0，1）．
【点评】本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用,
13．设n为正整数，，计算得,f（4）＞2，，f(16）＞3,观察上述结果，可推测一般的结论为f（2n）≥（n∈N＊）．
【考点】归纳推理．
【专题】探究型．
【分析】根据已知中的等式:，f(4）＞2，，f（16）＞3,…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系,归纳推断后，即可得到答案．
【解答】解：观察已知中等式：
得，
f（4）＞2，
,
f（16）＞3,
…，
则f（2n）≥（n∈N＊)
故答案为:f（2n)≥（n∈N*)．
【点评】归纳推理的一般步骤是:(1）通过观察个别情况发现某些相同性质；(2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想)
14．双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为1+．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．
【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，
因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，
由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，
c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．
故答案为:1+．
【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力．
15．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=在区间x∈（0，+∞)上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f(x)相切的情况，解出即可．
【解答】解：，（x＞0)．
∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，
∴方程在区间x∈（0,+∞）上有解．
即在区间x∈(0，+∞）上有解．
∴a＜2．
若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0,2x0)．
则，解得x0=e．
此时．
综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．
故答案为：（﹣∞，2﹣）∪．
【点评】本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
三、解答题
16．在锐角△ABC中，=
（1）求角A；
（2）若a=,求bc的取值范围．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．
【分析】（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值．
（2)由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围,即可求得bc的取值范围．
【解答】解：(1）由余弦定理可得:a2+c2﹣b2=2accosB，
，
∴sin2A=1且,
（2）,
又,
∴b=2sinB，c=2sinC，
bc=2sin（135°﹣C）•2sinC=，
，
∴．
【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
17．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计),日旅游人数f（t)（万人)与时间t（天)的函数关系近似满足,人均消费g(t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣｜t﹣15|．
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t）（万元）与时间t（1≤t≤30,t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．
【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】应用题;分类讨论．
【分析】（Ⅰ）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得w(t）与t的解析式；
（Ⅱ)因为w（t）中有一个绝对值,讨论t的取值，1≤t＜15和15≤t≤30两种情况化简得w（t)为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可．
【解答】解:（Ⅰ）由题意得，
；
(Ⅱ)因为；
①当1≤t＜15时，
当且仅当，即t=5时取等号
②当15≤t≤30时,，
可证w（t）在t∈［15,30]上单调递减，
所以当t=30时，w（t）取最小值为
由于,所以该城市旅游日收益的最小值为万元．
【点评】考查学生根据实际情况选择函数类型的能力,以及基本不等式在求函数最值中的应用能力．
18．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=2．(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在,指出点Q的位置，若不存在，说明理由．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AC,BD⊥PA，由此能证明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣C的余弦值．
（III)设，由CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，利用向量法能求出线段PD上存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，且．
【解答】解：（Ⅰ)证明:在Rt△BAD中，AD=2，BD=,
∴AB=2，ABCD为正方形，
∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA．
∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，
AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．…
(Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），
C（2,2，0）,D（0，2，0），
P（0，0，2），
∴，
，
设平面PCD的法向量，
则,取y=1,得,
高平面PBD的法向量,
则,取x1=1,得…
∵,
∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值．…
（III)解：∵Q在DP上，∴设，
又∵，
∴
，
∴Q（0，2﹣2λ，2λ)，∴．…
由（Ⅱ）可知平面PBD的法向量为，
设CQ与平面PBD所成的角为θ，
则有：…
∵CQ与平面PBD所成的角的正弦值为,
∴，解得，∵0＜λ＜1，∴…
∴线段PD上存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，且．…
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法，考查线段上满足条件的点是否存在的判断和求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程;
（2）若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m．求证:直线m过定点，并求出定点的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系;椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；
（2）（i)利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明;
（ii)利用直线的点斜式及其（i)的有关结论即可证明．
【解答】解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．
消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或(舍去)，则a2=4，
∴椭圆E的方程为．
(2)(ⅰ）设P(x1，y1）(y1≠0），M(2,y0），则,，
∵A，P，M三点共线,∴，∴，
∵P(x1,y1)在椭圆上，∴,故为定值．
（ⅱ）直线BP的斜率为,直线m的斜率为,
则直线m的方程为，
====
,
即．
所以直线m过定点（﹣1，0)．
【点评】熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．
20．已知函数f(x)=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函数f（x)在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈z时,不等式k（x﹣1）＜f(x）在x∈(1，+∞)上恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题;导数的概念及应用．
【分析】(1）易求f′（x）=a+1+lnx,依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时,a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；
（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则
，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增,从而可求得
g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．
【解答】解:（1）∵f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f(x）在区间[e，+∞）上为增函数，
∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，
∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为［﹣2,+∞）；
（2)当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f(x）⇔k＜，
即对任意x＞1恒成立．
令则，
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），
则在(1,+∞）上单增．
∵h（3）=1﹣ln3＜0，h(4）=2﹣ln4＞0,
∴存在x0∈（3,4）使h（x0)=0,
即当1＜x＜x0时,h（x)＜0，即g′（x）＜0，
当x＞x0时,h（x）＞0,即g′(x）＞0，∴g(x）在（1，x0）上单减,在（x0，+∞)上单增．
令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，
=x0∈(3，4），
∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，
即k max=3．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题．
21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=4，S n=na n+2﹣（n≥2,n∈N＊）
（1)求数列｛a n｝的通项公式；
（2）设数列{b n}满足：b1=4且b n+1=b n2﹣（n﹣1）b n﹣2（n∈N＊），求证：b n＞a n（n≥2,n∈N*）；（3）求证:（1+)(1+）…（1+）＜．
【考点】不等式的证明．
【专题】点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．
【分析】(1)运用下标变为n﹣1相减的方法,结合数列的通项和前n项和的关系，即可求得通项;
（2）运用数学归纳法证明，注意两个解题步骤，特别是假设的运用；
（3）设f（x）=ln（1+x)﹣x，通过导数判断单调性，可得ln（1+x）＜x，又n≥2时,＜=，结合裂项相消和累加法，及对数的运算性质即可得证．
【解答】（1)解:S n=na n+2﹣（n≥2,n∈N＊)①
S n
﹣1=(n﹣1）a n
﹣1
+2﹣（n≥3,n∈N*）②
①﹣②得a n=na n﹣（n﹣1)a n
﹣1
﹣（n﹣1)，
即有a n﹣a n
﹣1
=1（n≥3，n∈N*）
①中令n=2，a1+a2=2a2+2﹣1，a2=3，
综上a n=;
（2）证明：①当n=2时，b2=b12﹣2=14＞3=a2，不等式成立；
②假设n=k(k≥2）时，不等式b k＞k+1(k≥2时a k=k+1）,
那么当n=k+1时,
b k+1=b k2﹣(k﹣1）b k﹣2=b k（b k﹣k+1)﹣2
＞b k（k+1﹣k+1）﹣2=2b k﹣2＞2(k+1)﹣2(由归设）=2k≥k+2
∴n=k+1命题真；
综合①②知当n≥2时,b n＞a n．
（3）证明：设f（x）=ln（1+x)﹣x,f′（x）=﹣1=﹣＜0，
f（x)在（0,+∞)递减，则f（x）＜f(0）=0，
即ln（1+x)＜x，又n≥2时，＜=，
则ln(1+）＜＜=﹣,
即有ln（1+）+ln(1+）+…+ln（1+）＜（﹣）+（﹣）+…+（﹣)
=﹣．
则有（1+）(1+)…（1+）＜．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，同时考查数学归纳法证明数列不等式的方法，以及构造函数由函数的单调性，结合裂项和累加法证明不等式的方法，属于中档题和易错题．。