12-13-02《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)

2012-2013-2《微积分二》（基本层次要求）
复习纲要
建议：
1、以同步练习册、期中试卷为重要参考，依据以下“微积分（II）复习要点”所述重点及列出的教材练习，集中力量掌握重点、典型问题的求解思路和基本技巧。

在此基础上，第六章至第七章的较完整考点可参考本学期《期中试卷》。

此外，第九章仅限于第二节“可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性方程”三类方程的通解/特解的求解，建议以课堂例子及课后布置的有限数量的作业的难度为准。

2、在难度与期中考试水平相当的情况下，务必熟练掌握以下“三大计算”：
积分（定积分、反常积分、二重积分）
偏导（一阶偏导、二阶偏导、显函数/隐函数偏导）与全微分
级数判敛（限于典型方法的典型应用，不追求过多技巧）
微积分（II ）复习要点（共12页）
（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用，
建议按照提纲罗列顺序进行复习）
Ch6+Ch7两章
第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）
()()()
.
y
z
,x z y
z ,
x
z
,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数
具体形式已知初等函数问题()()().
x
z
,x x 3,
dx
dz 2,y ,x f ,y y 1x
z
0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：
求具体点偏导解法：
*().y
z
,00y ,x ∂∂可求出
类似
()().
y
z
y ,x y ,x f ,*.
x z ,x z 2,
y y ,x f 1x
z
∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：
求偏导函数 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！
前提——熟记第三章P66导数公式、P64“四则运算”求导法则、P68复合函数求导之链式法则！
同步练习册P13 Ex1 (1), Ex2 (1).
().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=
.
dy y
z
dx x z dz ,
y
z
,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P14 Ex4, Ex5.
().y
z
,x y z ,
y x z
,x z ,y ,x f z .322
2
222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题
().
y x z ,x z y ,x f z :y x z .P233,*2的偏导再求此新函数关于）
（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导
—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P17 Ex2, Ex1
.
,)717(P227,.
.4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P15 Ex1 1), 2).
两例的法一即可！
学会套用即可公式二元隐函数偏导一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P231~P230.),237(P231),227(P230.
.5-- 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P16 Ex4, Ex5 2).
第二部分 求二元函数的极值和条件最值
()()()./8.7P238,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0
z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：
的极值求二元初等函数问题''''''''⎩⎨⎧='='''= .32P238*解答过程、例例学会 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P19 Ex1.
()()()()()()()().
y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0
f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y y
x x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：
的驻点求）令）解法步骤：
下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令
令
λ⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ
该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记或同步练习册参考解答文档！并依照以上步骤做以下练习： 同步练习册P20 Ex5.
第三部分 定积分相关要点
基本前提：熟记P122~P123及P143不定积分公式！掌握不定积分的典型求法“拆加减、化乘积后凑微分或分部积分、（第二）换元积分——限于根式代换、三角代换、倒代换”。

建议：在掌握了§5.1“原函数与不定积分的概念、性质”后，熟练求解典型的定积分。

()()()()()()()().
a F
b F x F dx x f 2,x F x f ,1.dx x f ,x f .1b a b
a b
a -==⎰⎰从而）的一个原函数求出利用求不定积分的方法）莱布尼兹公式：
—牛顿主要方法）求解定积分具体形式已知问题
()[].
,,f f f ,c ,b ,a x f *b
c c
a b
a 再进行计算均取明确形式使得右端每个被积函数性质“拆区间”定积分的则需利用为分段点比如以上的分段函数是若重点：⎰⎰⎰+= 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P4 Ex4 2) 3) 5).
在此基础上，掌握定积分的换元积分法（要点：作换元()t x ϕ=时，需要注意()dt t dx ϕ'=，并将关于x 的积分上下限换为关于新变量t 的积分上下限）；掌握定积分的分部积分法（类似不定积分的分部积分法，只不过“带着”定积分号或积分上下限进行而已）。

建议以下述练习为主，参考相应的习题选解文档： 同步练习册P5 Ex1 1) 2), Ex5 1) 2), Ex3（本小题选做）.
⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰为偶函数
为奇函数有公式如下：定积分称时当积分区间关于原点对特殊方法）f ,f 2f ,
0f f ,a 0
a
a -a
a -
()
.
1100.1xdx 2dx x 2dx x ,x .0dx x 1x xdx sin x ,x 1x ,x sin x .dx x x 1x x sin x .1
01
01
11
121
12
2
2
1
122=++=====∴=-=∴-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰----从而原式为偶函数均有奇函数）
特点！（务必注意积分区间的解：求解例
()()()().x f x dt t f x 1.2x
a =Φ'=
Φ⎰的求导公式：
熟记函数）要点）
变限积分的求导及应用问题
()()()[]()()()()()[]()()[]().
,Hospital 'L ,2.x u x u f dt t f x u a 可求解某些极限法则结合利用以上求导公式）进一步有公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'='
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡'⋅='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰x v x v f x u x u f dt t f x u x v
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P3 Ex1 1) 2), Ex2 1) 2).
.
:4P1721P1711.3积分变量状选择适当的注意针对不同的区域形例例典型例—求平面图形面积）
—几何应用一）要点）
济应用定积分的几何应用与经问题+ 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P7 Ex1 2).
.
.21624619,6226P1752转体体积运用以上两公式求解旋及其适用的图）（熟记公式及其适用的图）（公式熟记—求旋转体体积）—几何应用二）----
.
236P176.
,.*即运用了此原理）（式例如实心体积所求体积转化为若干则只能间接利用公式将若考察空心旋转体体积特征的旋转体体积“实心”于求解具有以上两公式只能直接用注意：-配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P7 Ex3 2).
()()()().
9P179,8P178.286~266178~P177.a ,dt t F a F x F ,x F 3x
a
例例典型例：）（）（公式熟记为选定的常数其中莱布尼兹公式可得—则由牛顿若已知原理：
—已知边际求总量）
—经济应用）--'+
='⎰
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P8 Ex4.
()()().
,,:.
,,
,181~P1801.4再取极限求出定积分结果后“有限点”换为“无穷点”将基本步骤应的积分敛散性并会按照此定义判定相的敛散性定义关于三类无穷限积分熟悉教材）要点）
反常积分的敛散性判定问题⎰
⎰
⎰∞
+∞
-∞
-∞
+dx x f dx x f dx x f b a 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！
同步练习册相应习题偏繁，建议掌握教材P181 例1, P182 例2 1).
().
,,:.
,188~P1872再取极限求出定积分结果后“正常点”换为“瑕点”将基本步骤应的积分敛散性并会按照此定义判定相的敛散性定义
关于三类瑕积分熟悉教材）⎰b
a
dx x f
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P10 Ex3 2).
第四部分 二重积分相关要点
().
,y x D ,7.7P247,y x D 3x y 297,y )b (237P249D ;y x 287,x )a (237P249D D 2D 1.dxdy y ,x f ,D .1D
果再分别写出累次积分结区域型”“或型”“划分为若干标准的将）性质（则需利用分块积分法则型”“或型”“并非标准的若）形式的累次积分
”内“外写出）（公式则运用区域型”“之图为若形式的累次积分”内“外写出）（公式则运用区域型”“之图为若的形状：
判断）的草图出在平面直角坐标系中画）解法步骤）
累次积分次序表达为两种
将二重积分具体形式已知区域问题----------⎰⎰
2P250例典型例：
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P21 Ex1.
().1,,dxdy y ,x f 2,
D 1..2D
”“问题方法同积分按要求写出另一种累次对于）的形状区域根据题目形式写出积分）要点）
积分次序将给定的累次积分交换问题⎰⎰
3P250例典型例：
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P21 Ex2 1) 2).
()()()()().
)327(),337(~)317(542P ,r ,rdrd rsin ,rcos f ,rsin y ,rcos x ,,
x
y
y x y ,x f ,*.,3,y ,x f D 2,
D 1.
dxdy y ,x f ,D y ,x f .322D
即可熟记重点公式具体结果见的累次积分关于内层、外层关于再将此新二重积分化为化为将原积分即令标系计算则上述过程宜采用极坐的形式或为关于且扇形等环、若区域形状为圆、最终求出原二重积分上述累次积分由内层至外层逐层计算）积分次序表达的形式选择适当的累次的形状及根据）的草图画出积分区域）要点）
计算的具体形式和积分区域已知问题---==+⎰⎰⎰⎰θθθθθθ8
P255,5,6P2524,P251例例例例）：（建议按以下顺序复习典型例
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P21 Ex3 1), Ex4 1), Ex5 1), Ex9
()()().
3.dxdy y x,f V .D y ,x f z .
D xy ,y ,x f z .4D
中方法求此二重积分再利用问题则平面区域的“底”及作为的函数“顶”由题意准确识别出作为要点：的曲顶柱体体积为底平面上某区域为顶求以非负曲面问题⎰⎰=== 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P23 Ex8.
第五部分 其它要点摘录
()().2
2121dx e 10.6P1923.421P155Ex3,3.6P1522.y ,x f ,y ,x f z 10
x -2
π
=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=
Γ=⎰
∞
+以及概率积分
性质函数的形式、熟记、）））练习性质熟用、驻点的关系极值点、的最值点、理清连续的关系偏导存在、可微、偏导数连续、理清、
Ch8+Ch9两章
第一部分 函数的幂级数展开
()的幂级数展开成将问题x x f .1
()
()()()()(]1,1x ,1
n x 1-3x 2x x 1
n x 1-x 1ln 31,1x ,x x x 1x x 112,x ,!n x
2!x x 1n x e 1,11
n n
32
n 1n n n 20
n n n
20n n x 0-∈+++-+-=+=+-∈+++++==-+∞∞-∈+++++==+∞
=+∞
=∞
=∑
∑∑ ））！
）如
式及其成立区间熟记重要的幂级数展开主要思路：
()()()()()()()()()2,2x ,2x
12x 212x 1121x 211,1x ,x 1x x x 11x x 1x ,
,x ,!
n x !n x x e x .x f .,x f 20
n 1n n n 0n n
n 2n n 0n n 2
22
0n 3
n 0n n 3x
30-∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⋅=--∈-=-=--=++∞∞-∈==∑∑∑∑∑∑∞
=+∞=∞
=+∞=∞=+∞
=如
展开区间的得出最后利用上述公式也能进而得以展开上述公式的形式转化为可利用将给定的换元等）（如拆为加减、利用初等变形
()()().
11P294,10P293.x f ,,x f 1,x f ,23000例例如的展开式即得积分中的展开式逐项求导或则只需同时将相应公式函数转为中公式的将若可利用求导或求积分对于某些外除上述
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P32 Ex5 1) 2).
()()()()()()()()()()()
().
1!
51!5a !50f ,!
n x !3x !2x 0x f .
a !k x f a !k x f ,a .x x a ,k .
x f ,x -x a x x f .255n
32k 0k k 0k k k
0k 0k n
0n 0===++++==-∑∞
则
处的幂级数展开式为在已知例如
得则由
取出其系数即次项找出上述幂级数的解法：求高阶导
处的幂级数展开式为在已知问题
第二部分 常数项级数敛散性的判定
敛散性的一般思路：
判定任意项级数敛散性结论级数与熟记几何级数∑∑∑∞
=∞
∞
1
n n 0p 1
-n 0
u 2.
n 1
P aq 1
.
,1r ,,r u u
,,.
,,n ,n ,u 1:
u ,*n 1n n 1
n n 比值法失效时且；才能进一步运用比值法时存在或为仅当该极限
务必求出极限结果对于由比值法例如以比值法为重点）（或根值法则优先考虑比值法有关的阶乘或出现与置同时出现在底或指数位中若在）的常用判敛思路正项级数关于其中=∞+∞
=∑.
.v ,v ,v ,1r v v lim v ,v *n n n n
1
n n n n 域可用于求幂级数的收敛此原理也发散原级数发散收敛的必要条件知不但则由级数
则因此时必有满足级数得出相应的正项若利用比值法或根值法对于任意项级数∑∑∑
∑∞
∞
+∞→∞
∞
∞→>=的依据）定的等价无穷小量作为确时（特殊情形下可寻求为参照级数级数多以且可考虑比较法出现仅以幂函数的类似形式中若在）p u n .n
1
P ,,n ,u 2n 1n p
n ∞→∑
∞
= 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！
同步练习册P26 Ex4 1) 3); P27 Ex1 1) 2), Ex2 1) 2); P29 Ex1 1)~ 4).
第三部分 求幂级数的和函数——此部分教学要求较简单, 仅掌握提纲所列即可
().
,,,.1,1x ,x
1x n
右边得出相应的和函数级数左边得出题目中的新幂积两边对此公式求导或求基础上在此
首项公式熟记几何级数的和函数原理：-∈-=∑∞
配套练习） ∑∑∞
=+∞
=+0
n 1
n 1n 1
-n 1n x 2nx
1））求和函数： (可参见课堂相关例) 另，掌握幂级数的收敛域求法，建议依据以下练习进行总结复习： 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！
同步练习册 P31 Ex1 1) 2), Ex2 1).
第四部分 某些一阶微分方程的解法
（初值解）
代入初始条件即得特解在能求出通解的基础上注意：后布置的作业）
（以上均可密切结合课例公式例例解法参见与一阶线性方程离变量方程、齐次方程能识别并求解一阶可分,.6,5311),179(P3093,P3081,P306,P
配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册 P33 Ex1 1) 3) 6).。