广东省深圳市普通高中学校高三数学3月月考模拟试题02

2018高考高三数学3月月考模拟试题02
共150分.时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. i 是虚数单位，复数
i
i
+12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-
2. 设全集R U =，集合{}
2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U N
M =ð
A ．{}|21x x -≤<
B ．{}|01x x <≤
C ．{}|11x x -≤≤
D ．{}|1x x < 3. 下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．)22sin(π
-
=x y B. )2
2cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π
+=x y
4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S = A ．90 B ．54
C ．54-
D ．72-
5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥
B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//
C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//n
D ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m
6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是
A ．16π
B ．14π
C ．12π
D ．8π
7. 已知抛物线x y 42
=的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，l PA ⊥，垂足为A ，4PF =，则直线AF 的倾斜角等于
正视图 俯视图
左视图
A ．
712π B.
23
π C ．
34π D. 56π 8. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a
=-=+，则向量a b +与b a -的夹角为
A ．6π
B ．3
π
C ．32π
D ．65π
9. 已知函数2, 0
(), 0
x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点，则实数m 的
取值范围为 A ．1[,1]2-
B ．1[,1)2-
C ．1(,0)4-
D ．1(,0]4
- 10. 已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式1
()n
x x
-展开式中2
x 项的系数为 A ．15 B ．15- C ．30 D ．30-
11. 已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数
()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则
A ．2(2)(3)(log )a
f f f a << B ．2(3)(lo
g )(2)a
f f a f << C ．2(lo
g )(3)(2)a
f a f f <<
D ．2(log )(2)(3)a
f a f f <<
12. 定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d =-+-=
. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1
gx x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x gx <解集区间的长度为5，则k 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 某程序框图如右图所示，若3a =,则该程序运行
后，输出的x 值为 ; 14. 若
1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>⎰，则a 的值 是 ;
15. 已知,x y 满足约束条件2
2
4200x y x y y ⎧+≤⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
,则目标函
数2z x y =+的最大值是 ;
16．给出以下命题：
① 双曲线2
212
y x -=
的渐近线方程为y =； ② 命题:p “+
R x ∀∈，1
sin 2sin x x
+
≥”是真命题； ③ 已知线性回归方程为ˆ32y
x =+，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④ 设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)0.2P ξ>=，则(10)0.6P ξ-<<=； ⑤ 已知
2622464+=--，5325434+=--，7127414+=--，102
210424
-+=---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为
824(8)4
n n
n n -+=---，（4n ≠） 则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3
π
上单调
递增,在区间2[
,]33
ππ
上单调递减;如图,四边形OACB
中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边，且满
足A
C
B A
C B cos cos cos 3
4sin sin sin --=+ω
. （Ⅰ）证明：a c b 2=+；
（Ⅱ）若c b =，设θ=∠AOB ，(0)θπ<<,22OA OB ==， 求四边形OACB 面积的最大值. 18．（本小题满分12分）
现有长分别为1m 、2m 、3m 的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,19n ≤≤），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．
（Ⅰ）当3n =时,记事件A ={抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求()P A ； （Ⅱ）当2n =时,若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求ξ的分布列； ②令2
1ηλξλ=-++，()1E η>，求实数λ的取值范围．
如图，几何体111ABCD B C D -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，AB a =， 面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,
且1BB =，E 为1CC 的中点，F 为AB 的中点.
（Ⅰ）求证：1DB E ∆为等腰直角三角形； （Ⅱ）求二面角1B DE F --的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知N n *
∈,数列{}n d 满足2
)1(3n n d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+；又知
数列{}n b 中，21=b ，且对任意正整数n m ,，n
m m n b b =.
（Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）将数列{}n b 中的第．1a 项，第．2a 项，第．3a 项，……，第．n a 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2013项和. 21．（本小题满分13分）
已知向量(,ln )x
m e x k =+，(1,())n f x =，//m n （k 为常数， e 是自然对数的底数），曲
线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()x
F x xe f x '=． （Ⅰ）求k 的值及()F x 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数2
()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，求实数a 的取值范围．
1
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为,离心率为,其右焦点为F ,过点
(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .
(Ⅰ)若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;
(Ⅱ)若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 22221
3
x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，
且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当25
PG PH -<时，求实数t 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B A C D A B B C A C B
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 31 14. 2 15. ．①③⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知：
243π
πω=
，解得：3
2
ω=， ……………………………2分
A
C
B A
C B cos cos -cos -2sin sin sin =
+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴
A C A
B A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………………………4分
a c
b A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分
（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形
21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………………………8分
22sin (-2cos )4
OA OB OA OB θθ=+
+⋅ ……………………………………………9分
435cos 3-sin +
=θ
θ2sin (-)3πθ= ………………………………………10分 (0)θπ∈，,2--3
3
3
πππ
θ∴∈(，)，
当且仅当-
3
2
π
π
θ=
，
即56
π
θ=时取最大值,OACB S
的最大值为2+………………12分
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)事件A 为随机事件，
121
3363
99
()14
C C C P A C ==………………………………………4分 （Ⅱ）①ξ可能的取值为2,3,4,5,6
23291
(2)12C P C ξ===
1133291(3)4C C P C ξ=== 211333291(4)3C C C P C ξ+=== 11
33291
(5)4
C C P C ξ===
23291
(6)12
C P C ξ===
∴ξ的分布列
为：
……………………………………………………9分 ②11111
()2345641243412
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………………10分 21ηλξλ=-++，2()()1E E ηλξλ∴=-++241λλ=-++
()1E η>，21
41104
λλλ∴-++>⇒<<
…………………………………………12分 19．（本小题满分12分）
解：（I ）连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以BD a = 因为1BB 、1CC 都垂直于面
ABCD ,∴11//BB CC ，又面111B C D ∥面ABCD ,11//BC B C ∴
1
所以四边形11BCC B 为平行四边形 ,则11B C BC a ==……………………………2分 因为1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,
则1DB =
==
2
DE ===
12
B E ===
…4分 所以22
2
2
22116634
a a DE B E a DB ++=
== 所以1DB E ∆为等腰直角三角形 ………………………………………………5分 （II ）取1DB 的中点H ，因为,O H 分别为1,DB DB 的中点，所以OH ∥1BB 以,,OA OB OH 分别为,,x y z 轴建立坐标系，
则1(0,,0),(,0,),(0,),(,,0)222244
a a a D E a a B F a -
- 所以13233
(0,,2),(,,),(,,0)224
a DB a a DE a a DF a a ==-
= ………………7分 设面1DB E 的法向量为1
111(,,)n x y z =，
则1110,
0n DB n DE ⋅=⋅=，即110ay =
且111022
a y az ++= 令11z =，则1(0,n = ………………………………………………………………9分 设面DFE 的法向量为
2222(,,)n x y z =， 则2
20,0n DF n DE
⋅=⋅=即223044ay +=
且2220222
a ax y az -++= 令21x
=
，则2(1,)33
n =
-
……………………………………………………11分
则12
cos ,2n n +
==,则二面角1B DE F --的余弦值为2 …12分
20．（本小题满分12分）
解：2)1(3n n d -+= ,∴1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+3232
n n ⨯== …………………3分
又由题知：令1m = ，则22212b b ==,33
312
b b ==12n n n b b == ………………5分
若2n n b =，则2m nm n b =，2n mn m b =，所以m n
n m b b =恒成立
若2n n b ≠,当1m =,m n n m b b =不成立,所以2n
n b = ……………………………………6分
（Ⅱ）由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{}n c 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是12b =，24b =公比均是,8 …………9分
201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
1007100610062(18)4(18)208618187
⨯-⨯-⨯-=+=--…………………………………………12分
21．（本小题满分13分）解：（I ）由已知可得：()f x =1x
nx k e
+1
ln ()x x k x f x e --'∴=， 由已知，1(1)0k
f e
-'=
=，∴1k = …………………………………………………………2分 ∴()()x F x xe f x '=1
(ln 1)1ln x x x x x x
=--=--所以()ln 2F x x '=-- …………3分
由21()ln 200F x x x e
'=--≥⇒<≤， 由2
1()ln 20F x x x e '=--≤⇒≥
()F x ∴的增区间为21(0,
]e ，减区间为21[,)e
+∞ ………………………………………5分 （II ）
对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，
∴max max ()()g x F x < ……………………………………………………………………6分
由（I ）知，当21x e =
时，()F x 取得最大值2211
()1F e e
=+.………………………………8分 对于2
()2g x x ax =-+，其对称轴为x a = 当01a <≤时，2max ()()g x g a a ==， ∴2
21
1a e
<+
，从而01a <≤………………10分 当1a >时，max ()(1)21g x g a ==-， ∴21211a e -<+，从而2
1
112a e <<+……12分
综上可知： 21
012a e
<<+
………………………………………………………………13分
22．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)
由题意知：c =
2
c e a =
=，又222
a b c -=，
解得：a b ==椭圆C 的方程为：22
163
x y += …………………………2分
可得：B
，F ,设00(,)A x y
，则00()AB x y =-
，(3,BF =，
6AB BF ⋅=
-
，00)6y =
-，即00y x =
由220000163
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪
=-⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪
⎩
03
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即(0,A
，或A …………………………………………………………4分
①当A 的坐标为(0,
时，OA OB OF ===∴ABF ∆
外接圆是以O 为半径的圆，即2
2
3x y +=……………………………………………………………5分 ②当
A
的坐标为时，1AF k =，1BF k =-，所以ABF ∆为直角三角形，其外接圆是以线段
AB
为直径的圆，圆心坐标为
，半径为12AB =， ABF
∴∆
外接圆的方程为225((3
x y +-= 综上可知：ABF ∆外接圆方程是2
2
3x y
+=
，或225
((333
x y -+-= ……7分 (Ⅱ)由题意可知直线GH 的斜率存在.
设:(2)GH y k x =-，11(,)G x y ，22(,)H x y ，(,)P x y
由22
(2)
12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(12)8820k x k x k +-+-=
由4
2
2
644(21)(82)0k k k ∆=-+->得：2
1
2
k <
（*） ………………………9分 22121222
882
,1212k k x x x x k k -+==++
253PG PH -<
，253HG ∴
<
123
x -<
422
222
648220
(1)[4](12)129
k k k k k -∴+-⨯<++ 214k ∴>
，结合（*）得：2
1142
k << ………………………………………………11分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=
从而21228(12)x x k x t t k +==+，1212
214[()4](12)y y k
y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，22
222
84[]2[]2(12)(12)
k k t k t k -∴+=++，整理得：22216(12)k t k =+
即2
2
8
812t k
=-+，23t ∴-<<-，或23t <<………………………………13分。