湖南省长沙市实验中学2024-2025学年高三上学期第三次阶段性测试数学试题

湖南省长沙市实验中学2024-2025学年高三上学期第三次阶段
性测试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}
3217x
A x =<<，{}0,1,2,3,4,5
B =，则A B =I （ ）
A ．{}0,1
B ．{}0,1,5
C ．{}2,3,4
D ．{}4
2．已知复数z 满足()()i 1i 3i z --=+，z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为（ ） A ．3
B ．3i
C ．3i -
D ．3-
3．若a b c ===a b c 、、的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．c b a <<
D ．b a c <<
4．已知2b a =r r ，若a r 与b r 的夹角为60︒，则2a b -r r 在b r 上的投影向量为（ ） A ．12
b r
B ．12b -r
C ．32b -r
D ．32
b r
5．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120,ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则4a c +的最小值为（ ） A ．16
B ．18
C ．20
D ．14
6．已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a >- B ．49
103
a -
<<- C ．49
33
a -
<<- D ．103a -<<-
7．若5π,,2π,2αβγ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos
sin cos 2cos cos 02222βγβγβγβγαα+-+--=-=，则()sin αβ-=（ ）
A ．1
2±
B ．12
C ．
D ．8．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为f ′ x ，且满足
()()()f x y f x f y xy +=++，f 1 =0，()1
12
f '=，则()2f '=（ ） A ．0
B ．1
C ．32
D ．52
二、多选题
9．已知复数12,z z ，满足120z z ⋅≠，下列说法正确的是（ ） A ．若12=z z ，则2212z z = B ．1212z z z z +≤+ C ．若12z z ∈R ，则
1
2
z z ∈R D ．1212z z z z =
10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为R
的水车，一个水斗从点()
3A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋到点P ，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+π0,0,2t ωϕ⎛
⎫≥>< ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（ ）
A ．6R =，π
30ω=
，π6
ϕ=- B ．当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6 C ．当[]35,55t ∈时，函数()y f t =单调递减 D ．当20t =
时，PA =11．定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A ．()1
f x x
=
在()0,∞+上是“弱减函数”
B ．()e
x x
f x =
在()1,2上是“弱减函数” C ．若()ln x
f x x
=
在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥ D ．若()2
cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤
三、填空题
12．若曲线ln x
y x
=
上点P 的切线平行于直线10x y -+=，则点P 的坐标是. 13．在ABC V 中，已知3DC BD =u u u r u u u r ，P 为线段AD 的中点，若BP BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则11
λμ
+=．
14．已知函数()π2sin 0,02y x ωϕωϕ⎛
⎫=+>≤≤ ⎪⎝
⎭的图象经过点(，且在y 轴右侧的第一
个零点为π
4
，当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与()2sin y x ωϕ=+的交点有个，
四、解答题
15．如图，已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
cos cos 2A a
C b c
=-.
(1)求A 的值；
(2)若24c b ==，M 为边BC 上一点，且2BM MC =，求AM 的长.
16．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，π
6
BCD BDC ∠=∠=，P 为棱AC 的中点，点Q 在棱CD 上，PQ BC ⊥，且2DQ QC =.
(1)证明：AB ⊥平面BCD ；
(2)若AB BD =，求平面CPQ 与平面ABD 的夹角的余弦值.
17．已知函数()e cos x
f x a x =+在0x =处的切线方程为2y x =+.
(1)求实数a 的值；
(2)探究()f x 在区间3π
,2⎫⎛-+∞ ⎪⎝⎭
内的零点个数，并说明理由.
18．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦距为4，离心率为2，1F ，2F 分别为C 的左、
右焦点，两点()11,A x y ，()22,B x y 都在C 上. (1)求C 的方程；
(2)若222AF F B =u u u u r u u u u r
，求直线AB 的方程；
(3)若12//AF BF ，且120x x <，120y y >，求四个点A ，B ，1F ，2F 所构成四边形的面积的最小值.
19．随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES 、DES 、RSA 等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA 的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA 加密算法中的应用.设p ，q 是两个正整数，若p ，q 的最大公约数是1，则称p ，q 互素.对于任意正整数n ，欧拉函数是不超过n 且与n 互素的正整数的个数，记为()n ϕ. (1)试求()()19ϕϕ+，()()721ϕϕ+的值；
(2)设p ，q 是两个不同的素数，试用p ，k 表示()
k
p ϕ（*k ∈N ），并探究()pq ϕ与()p ϕ和()
q ϕ的关系；
(3)设数列{}n a 的通项公式为()53
32
m m m a ϕ-=（*N m ∈），求该数列的前m 项的和m T .。