人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 习题练习(附答案)

人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）
一、选择题
1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()
A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个
2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.
①△OB1C∽△OA1D;
②OA·OC＝OB·OD；
③OC·G＝OD·F1；
④F＝F1.
其中正确的说法有()
A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个
3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()
A．△AED与△ACB
B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE
D．△AEC与△DAC
4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()
A ． 6米
B ． 8米
C ． 10米
D ． 12米
5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )
A ． (1，32)
B ． (2,6)
C ． (2,6)或(－2，－6)
D ． (1，32)或(－1，−32)
6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )
A ． 540元
B ． 1 080元
C ． 1 620元
D ． 1 800元
8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm
9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )
A ．CD EF ＝AD AF
B ．AB CD ＝B
C EC
C．AD
BC ＝AF
BE
D．CE
BE ＝AF
AD
10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()
A． 4∶9
B． 2∶5
C． 2∶3
D．√2∶√3
11.若a
5＝b
7
＝c
8
，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()
A． 14 B． 42 C． 7 D．14
3
12.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()
A． 2或8
B． 8 或4.5
C． 4.5 或2
D． 2,8或4.5
13.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()
A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2
二、填空题
14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．
15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)
16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.
17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．
18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝
√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．
19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.
三、解答题
20.如图，△ABC 在方格纸中．
(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．
(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.
(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .
21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．
22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．
(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；
(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；
(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．
23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．
图①
图②
答案解析
1.【答案】B
【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，
∴x可能是斜边或4是斜边，
∴x＝5或√7.
∴x的值可以有2个．
故选B.
2.【答案】D
【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，
∴B1C∥A1D，
∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；
∴OC
OD ＝
OB
OA1
，
由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，
∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；
由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；
∴F1
G ＝OC
OD
＝
OB1
OA1
＝OB
OA
是定值，
∴F1的大小不变，
∴F＝F1，故④正确．
综上所述，说法正确的是①②③④.
故选D.
3.【答案】C
【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠E＝∠E，
∴△BAE∽△ACE.
故选C.
4.【答案】B
【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，
∴△ABP ∽△CDP ，
∴AB CD ＝BP PD
， 即1.4CD ＝2.112，
解得CD ＝8米．
故选B.
5.【答案】D
【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，
∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．
故选D.
6.【答案】C
【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，
∴∠C ＝∠D ＝90°，
∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，
设PD ＝x ，则PC ＝8－x .
①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，
则x 8−x ＝25，
解得x ＝167；
②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，
则x 5＝28−x ，
解得PD ＝4±√6，
所以这样的点P 存在的个数有3个．
故选C.
7.【答案】C
【解析】∵一块10 cm×
5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185
元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元
故选C.
8.【答案】C
【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，
∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，
∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，
设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，
∴△DEF 的最长边为15 cm ，
故选C.
9.【答案】C
【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，
∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，
∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，
故选C.
10.【答案】A
【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，
∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.
11.【答案】D
【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，
又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，
得k ＝13，
即a ＝53，b ＝73，c ＝83，
所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.
12.【答案】D
【解析】设这个数是x ，
则3x ＝4×
6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，
所以，这个数是2,8或4.5.
故选D.
13.【答案】D
【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，
∴它们的相似比为1∶2，
∴它们的周长比为1∶2.
故选D.
14.【答案】5∶3∶2
【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，
∵D 为BC 的中点，
∴PD ∶BF ＝1∶2，
∵E ，F 为AB 边三等分点，
∴PD ∶AF ＝1∶4，
∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，
∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16
AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，
MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，
∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.
15.【答案】∠D ＝∠B
【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，
∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，
即∠DAE ＝∠BAC ，
又∵∠D ＝∠B ，
∴△ADE ∽△ABC .
16.【答案】1∶3∶5
【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，
∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，
∵AD ＝DF ＝FB ，
∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，
∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，
∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.
17.【答案】113°或92°
【解析】∵△BCD ∽△BAC ，
∴∠BCD ＝∠A ＝46°，
∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，
∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，
①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，
∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，
②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，
∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°
. 18.【答案】√364
a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34
a ＝√3
22a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2
【解析】由题意可得DE ∥AB ，
∴△CDE ∽△CAB ，
∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，
解得DE ＝2，
20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，
可知B 的坐标为(2,1)；
(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；
(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.
【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)直接利用三角形面积求法得出答案．
21.【答案】解在△ABC与△AMN中，AC
AB ＝30
54
＝5
9
，AM
AN
＝1?000
1?800
＝5
9
，∴AC
AB
＝AM
AN
，又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AMN，
∴BC
MN ＝AC
AM
，即45
MN
＝30
1?000
，
解得MN＝1 500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；
【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；
故答案为(－2，－5)；
(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；
(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，
四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.
故答案为6√2＋4√5.
【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．
23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，
∵AP＝AQ，
∴BP＝CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BPE和△CQE中，
∵{BE＝CE，
∠B＝∠C，
BP＝CQ，
∴△BPE≌△CQE(SAS)；
(2)解连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴BP
CE ＝
BE
CQ
，
∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，
∴BE＝CE＝3√2，
∴BC＝6√2
【解析】。