苏州市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

苏州市八年级上学期期末数学试卷 （解析版）
一、选择题
1．如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ）
A ．y=-x+2
B ．y=x+2
C ．y=x-2
D ．y=-x-2
2．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图象过点(0,2)，则不等式20kx b +->的解集是
（ ）
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x <
D ．2x >
3．如图，已知O 为ABC ∆三边垂直平分线的交点，且50A ∠=︒，则BOC ∠的度数为
（ ）
A ．80︒
B ．100︒
C ．105︒
D ．120︒ 4．在平面直角坐标系中，点P （﹣3，2）在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．3
329a b a b a b a
（a ＞0，b ＞0）的结果是（ ） A 5
3
ab B 2
3
ab C 17
9
ab D 8
9
ab 6．如图，已知△ABC 的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有乙
7．如图，正方形OACB的边长是2，反比例函数
k
y
x
=图像经过点C，则k的值是（）
A．2B．2-C．4D．4-
8．已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y=－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是( )
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．以上都不对9．下列标志中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
10．下列各点中，位于平面直角坐标系第四象限的点是（）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
二、填空题
11．若函数y＝2x+3﹣m是正比例函数，则m的值为_____．
12．已知点P（a，b）在一次函数y=x+1的图象上，则b﹣a=_____．
13．3
-的绝对值是．
14．3
x-有意义的x的取值范围是__________．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于1
2
AB的
长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．
16．点（−1，3）关于x 轴对称的点的坐标为____．
17．如图，在ABC 中，∠A =60°，D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ，∠ABC 的平分线BF 交DE 于ABC 内一点P ，连接PC ，若∠ACP =m °，∠ABP =n °，则m 、n 之间的关系为______．
18．比较大小：5-_______6-. 19．若分式
22
23
x x -+的值为零，则x 的值等于___．
20．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝22.5°，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，EC ＝1，则三角形ACE 的面积为__．
三、解答题
21．已知BC ＝5，AB ＝1，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，动点P 在线段BC 上（不与点B ，C 重合），过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连接AD ． （1）如图1，若BP ＝4，判断△ADP 的形状，并加以证明． （2）如图2，若BP ＝1，作点C 关于直线DP 的对称点C ′，连接AC ′． ①依题意补全图2；
②请直接写出线段AC ′的长度．
22．已知：如图，点E 在ABC ∆的边AC 上，且AEB ABC ∠=∠.
（1）求证：ABE C ∠=∠；
（2）若BAE ∠的平分线AF 交BE 于点F ，FD BC 交AC 于点D ，设8AB =，
10AC =，求DC 的长.
23．某玉米种子的价格为a 元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A 的坐标为(2,10)，请你结合表格和图象： 付款金额y a
7.5 10 12 b
购买量x （千克）
1
1.5
2
2.5
3
（1）a = ，b = ；
（2）求出当2x >时，y 关于x 的函数解析式；
24．某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等． （1）求该公司购买的A 、B 型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯
片？
25．某列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶150km，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？（用含v的式子表示）
四、压轴题
26．阅读并填空：
如图，ABC是等腰三角形，AB AC
=，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD BE
=，为什么？
解：过点E作EF AC交BC于F
所以ACB EFB
∠=∠（两直线平行，同位角相等）
D OEF
∠=∠（________）
在OCD与OFE
△中
()
________
COD FOE
OD OE
D OEF
⎧∠=∠
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
所以OCD OFE
△≌△，（________）
所以CD FE
=（________）
因为AB AC
=（已知）
所以ACB B
=
∠∠（________）
所以EFB B
∠=∠（等量代换）
所以BE FE
=（________）
所以CD BE
=
27．如图，直线
1
1
2
y x b
=-+分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线
2
6
y kx
=-交于点()
C4,2．
（1）b= ；k= ；点B坐标为；
（2）在线段AB 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线交直线y 2于点F ，设点E 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，
B 四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说
明理由．
28．已知三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点D （0，－4），M （4，－4）．
（1）如图1，若点C 与点O 重合，A （－2，2）、B （4，4），求△ABC 的面积； （2）如图2，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，若∠AOG ＝55°，求∠CEF 的度数； （3）如图3，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，N 为AC 上一点，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，∠NEC+∠CEF ＝180°，求证∠NEF ＝2∠AOG ．
29．如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点
M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．
(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ； (2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，
①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值； ②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；
(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
30．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”
（1）求∠DFC的度数；
（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），
∵一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，∴在直线y=-x中，令x=-1，解得：y=1，则B的坐标是（-1，1）．把A（0，2），B（-1，1）的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b
得：
2
{
1
b
k b
=
-+=
，解得
2
{
1
b
k
=
=
，
该一次函数的表达式为y=x+2．
故选B．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
由图知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，2），且y随x的增大而增大，由此得出当x＞0时，y＞2，进而可得解．
【详解】
根据图示知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，2），且y随x的增大而增大；即当x＞0时函数值y的范围是y＞2；
因而当不等式kx+b-2＞0时，x的取值范围是x＞0．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，在解题时，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
延长AO交BC于D，根据垂直平分线的性质可得到AO=BO=CO，再根据等边对等角的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再由三角形的外角性质可求得∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA，从而不难求得∠BOC的度数．
【详解】
延长AO交BC于D．
∵点O 在AB 的垂直平分线上． ∴AO=BO ． 同理：AO=CO ．
∴∠OAB=∠OBA ，∠OAC=∠OCA ．
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA ，∠COD=∠OAC+∠OCA ． ∴∠BOD=2∠OAB ，∠COD=2∠OAC ．
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC ）=2∠BAC ． ∵∠A=50°． ∴∠BOC=100°． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查：（1）线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据各象限的点的坐标的符号特征判断即可． 【详解】 ∵-3＜0，2＞0，
∴点P （﹣3，2）在第二象限， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
23a b a a b a ⨯⨯即可求解． 【详解】
解：∵a ＞0，b ＞0，
23a b a a b a ⨯⨯=故选：A ．
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简；能够根据二次根式的性质，将所求式子进行正确的化简是解题的关键.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据三角形全等的判定定理SSS 、SAS 、 AAS 、ASA 、HL 逐个进行分析即可． 【详解】
解：甲三角形有两条边及夹角与△ABC 对应相等，根据SAS 可以判断甲三角形与△ABC 全等；
乙三角形只有一条边及对角与△ABC 对应相等，不满足全等判定条件，故乙三角形与△ABC 不能判定全等；
丙三角形有两个角及夹边与△ABC 对应相等，根据ASA 可以判定丙三角形与△ABC 全等； 所以与△ABC 全等的有甲和丙， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据正方形的性质，即可求出点C 的坐标，然后代入反比例函数解析式里即可． 【详解】
解：∵正方形OACB 的边长是2， ∴点C 的坐标为（2,2） 将点C 的坐标代入k
y x
=
中，得 22
k =
解得：4k = 故选C ． 【点睛】
此题考查的是求反比例函数的比例系数，掌握用待定系数法求反比例函数的比例系数是解决此题的关键．
8．A
解析：A 【解析】
【详解】
∵k=﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵1＜2，
∴a＞b．
故选A．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的性质对各项进行判断即可．
【详解】
A. 是轴对称图形；
B. 不是轴对称图形；
C. 是轴对称图形；
D. 是轴对称图形；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A、（1，2）在第一象限，故本选项错误；
B、（﹣1，2）在第二象限，故本选项错误；
C、（1，﹣2）在第四象限，故本选项正确；
D、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
二、填空题
11．【解析】
直接利用正比例函数的定义得出答案．
【详解】
∵函数y=2x+3﹣m是正比例函数，
∴3﹣m=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的定义，一般
解析：【解析】
【分析】
直接利用正比例函数的定义得出答案．
【详解】
∵函数y=2x+3﹣m是正比例函数，
∴3﹣m=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
【点睛】
（k是常数，k≠0）的函数叫做正比本题考查的是正比例函数的定义，一般地形如y kx
例函数．
12．1
【解析】
∵点P（a，b）在一次函数y=x+1的图象上，
∴b=a+1，
∴b-a=1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是把点P （a，b）代入一次函数
解析：1
【解析】
∵点P（a，b）在一次函数y=x+1的图象上，
∴b=a+1，
∴b-a=1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是把点P（a，b）代入一次函数的解析式．
【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是．
．
【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的
，所以
14．【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的
x≥
解析：3
【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
x≥
故答案为3
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数；
15．【解析】
分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD 中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD．
∵PQ垂直平
解析：8 5
【解析】
分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=17
5
，
∴CD=BC﹣DB=5﹣17
5
=
8
5
，
故答案为8
5．
点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．（-1，-3）．
【解析】
【分析】
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】
解：点（-1，3）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-3），
故答案是：（-1，
解析：（-1，-3）．
【解析】
【分析】
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】
解：点（-1，3）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-3），
故答案是：（-1，-3）．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
17．m+3n=120
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，结合角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，从而得到m、n之间的关系．
【
解析：m+3n=120
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，结合角平分线的定义，可得
∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，从而得到m、n之间的关系．
【详解】
解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，
∵∠A=60°，∠ACP=m°，
∠+∠+∠=︒
A ABC ACB
180,
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°-m°，
∴3∠ABP=120°-m°，
∴3n°+m°=120°，
故答案为：m+3n=120．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质的运用，角平分线的定义，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形内角和等于180°．
18．＞
【解析】
【分析】
先把两个数分别平方，再根据两个负数的比较方法比较即可.
【详解】
解:∵，
∵5＜6
∴.
【点睛】
本题考查实数的大小比较，解答本题的关键是熟练掌握两个负数的比较方法：两个
解析：＞
【解析】
【分析】
先把两个数分别平方，再根据两个负数的比较方法比较即可.
【详解】
解:∵2(5=，2(6=
∵5＜6 ∴
>
【点睛】
本题考查实数的大小比较，解答本题的关键是熟练掌握两个负数的比较方法：两个负数，绝对值大的反而小.
19．【解析】
【分析】
当分式的值为0时，分式的分子为0，分母不为0，由此求解即可.
【详解】
解：∵分式的值为零，且
∴x ﹣2＝0，
解得：x ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了分式值为0的
解析：【解析】
【分析】
当分式的值为0时，分式的分子为0，分母不为0，由此求解即可.
【详解】 解：∵分式
2223
x x -+的值为零，且2230x +≥ ∴x ﹣2＝0，
解得：x ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，灵活利用分式值为0的条件是解题的关键.
20．．
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质可知EA＝EB，由等边对等角的性质及外角的性质可得∠AEC＝45°，易知△ACE为等腰直角三角形，可得CA长，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
解
解析：1
2
．
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质可知EA＝EB，由等边对等角的性质及外角的性质可得∠AEC＝45°，易知△ACE为等腰直角三角形，可得CA长，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：∵DE垂直平分AB交BC于点E，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝22.5°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，
∵∠C＝90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴CA＝CE＝1，
∴三角形ACE的面积＝1
2
×1×1＝
1
2
．
故答案为：1
2
．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形的两底角相等，灵活利用这两个性质是解题的关键.
三、解答题
21．（1）△ADP是等腰直角三角形．证明见解析；（2）①补图见解析；
【解析】
【分析】
（1）先判断出PC=AB，再用同角的余角相等判断出∠APB=∠PDC，得出△ABP≌△PCD
（AAS），即可得出结论；
（2）①利用对称的性质画出图形；
②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q，先求出CP=4，AB=AP，∠CPD=45°，进而得出C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，再判断出四边形BQC'P是矩形，进而求出AQ=BQ﹣
AB=3，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）△ADP是等腰直角三角形．证明如下：
∵BC=5，BP=4，∴PC=1．
∵AB=1，∴PC=AB．
∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°，
∠PDC+∠DPC=90°，∴∠APB=∠PDC．
在△ABP和△PCD中，∵
B C
APB PDC
AB PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP=PD．
∵∠APD=90°，∴△ADP是等腰直角三角形．
（2）①依题意补全图2；
②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q．
∵BP=1，AB=1，BC=5，∴CP=4，AB=AP．
∵∠ABP=90°，∴∠APB=45°．
∵∠APD=90°，∴∠CPD=45°，连接C'P．
∵点C与C'关于DP对称，∴C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，∴∠CPC'=90°，
∴∠BPC'=90°，∴∠Q=∠ABP=∠BPC'=90°，∴四边形BQC'P是矩形，∴C'Q=BP=1，
BQ=C'P=4，∴AQ=BQ﹣AB=3．在Rt△AC'Q中，AC′10
=．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解答本题的关键．
22．（1）详见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）在三角形ABE与三角形ABC中，由一对公共角相等，以及已知角相等，利用内角和
定理即可得证；
（2）由FD 与BC 平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据AF 为角平分线得到一对角相等，再由AF=AF ，利用ASA 得到三角形ABE 与三角形ADF 全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=AD ，由AC-AD 求出DC 的长即可．
【详解】
（1）证明：在ABE ∆中，180ABE BAE AEB ∠=-∠-∠︒，
在ABC ∆中，180C BAC ABC ∠=︒-∠-∠，
∵AEB ABC ∠=∠，BAE BAC ∠=∠，
∴ABE C ∠=∠；
（2）解：∵FD BC ，∴ADF C =∠∠，
又ABE C ∠=∠，∴ABE ADF ∠=∠，
∵AF 平分BAE ∠，∴BAF DAF ∠=∠，
在ABE ∆和ADF ∆中，
ABE ADF AF AF
BAF DAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴()ABE ADF ASA ∆∆≌， ∴AB AD =，∵8AB =，10AC =，
∴1082DC AC AD =-=-=．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．（1）5,14a b ==；（2）42y x =+
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象可得：购买量是函数的自变量x ，也可看出2千克的金额为10元，从而可求1千克的价格，即a 的值，由表格可得出：当购买量大于等于2千克时，购买量每增加0.5千克，价格增加2元，进而可求b 的值；
（2）先设关系式为y=px+q ，然后将（2，10），且x=3时，y=14，代入关系式即可求出p ，q 的值，从而确定关系式；
【详解】
解：（1）购买量是函数中的自变量x ，
设射线OA 解析式为：y=mx ，
把A （2，10）代入得：10=2m ，即m=5，
∴射线OA 解析式为y=5x ，
把x=1代入得：y=5，
即a=5；
根据题意得：b=2×5+（3-2）×5×80%=10+4=14；
故答案为：5；14.
（2）当x ＞2时，设y 与x 的函数关系式为：y=px+q ，
∵y=px+q 经过点（2，10），
又x=3时，y=14，
∴210314
p q p q +=⎧⎨+=⎩， 解得：42p q =⎧⎨
=⎩， ∴当x ＞2时，y 与x 的函数关系式为：y=4x+2；
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知得出图表中点的坐标是解题关键．
24．（1）A 型芯片的单价为26元/条，B 型芯片的单价为35元/条；（2）80．
【解析】
【分析】
（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据题意得： 312042009x x
=-， 解得：x ＝35，
经检验，x ＝35是原方程的解，
∴x ﹣9＝26．
答：A 型芯片的单价为26元/条，B 型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据题意得：
26a +35（200﹣a ）＝6280，
解得：a ＝80．
答：购买了80条A 型芯片．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25．3vkm/h
【解析】
【分析】
设提速前列车的平均速度为x /km h ，则依题意可得等量关系：提速前行驶150千米所用
的时间
=提速后行驶(15050)+千米所用的时间，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
解：设提速前列车的平均速度为x /km h ，则依题意列方程得
15015050x x v
+=+， 解得：3x v =，
经检验，3x v =是原分式方程的解，
答：提速前列车的平均速度为3/vkm h ．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 四、压轴题
26．见解析
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．
【详解】
解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，
∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），
∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），
在OCD 与OFE △中
()()()COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）
∴CD FE =（全等三角形对应边相等）
∵AB AC =（已知）
∴ACB B =∠∠（等边对等角）
∴EFB B ∠=∠（等量代换）
∴BE FE =（等角对等边）
∴CD BE =；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.
27．（1）4；2；(0，4)；（2）125m =或285
m =；（3）存在．Q 点坐标为()
-，()
4，()0,4-或()5,4． 【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，将点C (4，2)代入解析式可求解；
（2）设点E (m ，142
m +)，F (m ，2m -6)，得()154261022EF m m m =-+--=-，由平行四边形的性质可得BO =EF =4，列出方程即可求解；
（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P 点坐标，再确定O 点坐标即可求解．
【详解】
解：（1）（1）∵直线y 2=kx -6交于点C (4，2)，
∴2=4k -6，
∴k =2， ∵直线212y x b =-
+过点C (4，2)， ∴2=-2+b ，
∴b =4， ∴直线解析式为：212y x b =-
+，直线解析式为y 2=2x -6， ∵直线212
y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点， ∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8，
∴点B (0，4)，点A (8，0)，
故答案为：4；2；(0，4)
（2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ， ∴1,42E m m ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭，(),26F m m -， ∴()154261022
EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形，
∴EF BO =， ∴51042
m -=，
解得：125m =或285m =时， ∴当125m =或285
m =时，四边形OBEF 是平行四边形． （3）存在．此时Q 点坐标为()45,4-，()
45,4，()0,4-或()5,4．
理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况：
①以AB 为边，如图1所示．
因为点()8,0A ，()0,4B ，
所以45AB =．
因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，
所以AP AB =或BP BA =．
当AP AB =时，点()845,0P -或()
845,0+；
当BP BA =时，点()8,0P -． 当(
)845,0P -时，()8458,04Q --+，即()45,4-； 当()845,0P +时，()8458,04Q +-+，即()
45,4； 当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-．
②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．
可得5AP =，
点P 坐标为()3,0．
因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，
所以点Q 坐标为()5,4．
综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-，()
45,4，()0,4-或()5,4．
【点睛】
本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
28．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）作AD ⊥ x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,由点A,B 的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;
（2）作CH ∥x 轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;
（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．
【详解】
解：（1）作AD ⊥x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,如图1,
∵A （﹣2,2）、B （4,4）,
∴AD ＝OD ＝2,BE ＝OE ＝4,DE ＝6,
∴S △ABC ＝S 梯形ABED ﹣S △AOD ﹣S △AOE ＝
12×（2+4）×6﹣12×2×2﹣12
×4×4＝8; （2）作CH // x 轴,如图2,
∵D （0,﹣4）,M （4,﹣4）,
∴DM // x轴,
∴CH // OG // DM,
∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,
∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,
∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,
∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;
（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,
而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,
∴∠NEC＝∠HEC,
∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,
∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,
∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
29．（1）20
3
；（2）①t＝
8
3
；②a＝
18
5
；（3）t＝6.4或t＝
10
3
【解析】
【分析】
（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；
（2）①由题意得：BM＝CN＝3t，则只可以是△CMN≌△BAM，AB＝CM，由此列出方程求解即可；
②由题意得：CN≠BM，则只可以是△CMN≌△BMA，AB＝CN＝12，CM＝BM，进而可得3t＝10，求解即可；
（3）分情况讨论，当△CMN≌△BPM时，BP＝CM，若此时P由A向B运动，则12－2t＝20－3t，但t＝8不符合实际，舍去，若此时P由B向A运动，则2t－12＝20－3t，求得t
＝6.4；当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，可得3t＝10，t＝10
3
，再将t＝
10
3
代入分别求得AP，BP的长及a的值验证即可．【详解】
解：（1）20÷3＝20
3
，
故答案为：20
3
；
（2）∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵△CNM与△ABM全等，
∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，①由题意得：BM＝CN＝3t，
∴△CMN≌△BAM ∴AB＝CM，
∴12＝20－3t，
解得：t＝8
3
；
②由题意得：CN≠BM，
∴△CMN≌△BMA，
∴AB＝CN＝12，CM＝BM，
∴CM＝BM＝1
2 BC，
∴3t＝10，
解得：t＝10 3
∵CN＝at，
∴10
3
a＝12
解得：a＝18
5
；
（3）存在
∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵△CNM与△PBM全等，
∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，
当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，
若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，
∴12－2t＝20－3t，
解得：t＝8 (舍去)
若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，
∴2t－12＝20－3t，
解得：t＝6.4，
当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，
∴CM＝BM＝1
2 BC
∴3t＝10，
解得：t＝10 3
当t＝10
3
时，点P的路程为AP＝2t＝
20
3
，
此时BP＝AB－AP＝12－20
3
＝
16
3
，
则CN＝BP＝16 3
即at＝16
3
，
∵t＝10
3
，
∴a＝1.6符合题意
综上所述，满足条件的t的值有：t＝6.4或t＝10 3
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．
30．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；
（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；
（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，
又△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，
在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，
∴α＋β＝60°，
∴∠DFC=α＋β＝60°；
（2）EF=AF+FC，证明如下：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，
∴CF＝2DF，
在EC上截取EG＝CF，连接AG，
又AE=AC，
∴∠AEG=∠ACF，
∴△AEG≌△ACF（SAS）,
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，
又∠CAF=∠BAD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，
即EF=AF+FC；
（3）补全图形如图所示，
结论：AF=EF+2DF．证明如下：
同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，
∴∠CAE＝180°－2β，
∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，
∴∠AFC=β－α＝60°，
又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，
∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，
在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，
又AB=BE，
∴△ABG≌△EBF（SAS），
∴BG＝BF，
又AF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠BFA=∠AFC=60°，
∴△BFG为等边三角形，
∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，
∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．。