【苏教版】2019版高考文数一轮优化探究练习 第六章 第二节 等差数列及其前n项和 含解析

一、填空题
1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．
解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2x ，
x ＋2x ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .
∴a b ＝13.
答案：13
2．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．
解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，
∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．
答案：2
3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.
解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2
＝8×182＝72. 答案：72
4．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9
等于________．
解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553
. 答案：3553
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.
解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1
S n －S n －1， n ≥2，
可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8.
答案：8
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，
d ＝2.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .
答案：2n
7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2
＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )2
12(2a 1＋11d )2
＝9d 30d ＝310. 答案：310
8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝a 1＋3d ＝1
S 5＝5a 1＋10d ＝10
，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．
答案：4或5
9．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．
解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .
答案：n 2＋n
二、解答题
10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.
(1)求a 2及{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .
解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，
即a 1＋a 2－2a 1＝1.
又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1.
∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n .
(2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，
若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n )
＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q
. 若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2
＝n (n ＋3)2. 11．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．
(1)试判断数列{1a n
}是否成等差数列；
(2)设{b n }满足b n ＝1a n
，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)由已知可得1a n －1a n －1
＝3(n ≥2)， 故数列{1a n
}是以1为首项、公差为3的等差数列． (2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3， 所以b n ＝3n －2，
所以S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2
. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；
(2)若数列{1a n a n ＋1
}的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？ 解析：(1)当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)， 得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)． 所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列． 所以a n ＝2n －1.
(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1
. 由T n ＝n 2n ＋1
>100209 ，得n >1009，满足T n >100209的最小正整数为12.。