山东省威海市2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案

高三数学（答案在最后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{||1|}A x x =-≥1，2{|20}B x x x =--<，则A B = A.(20)
-, B.(10)
-, C.(20]
-, D.(10]
-,2.已知向量(22)=,a ，(1)x =,b ，若∥a b ，则||=b A.1
D.2
3.若复数z 满足(1i)|1|z -=+，则z =A .1i
- B.1i
+ C.22i
- D.22i
+4.cos 28cos73cos62cos17︒︒︒︒+=
A.
2
B.2
-
C.
2
D.2
-
5.若正实数a ，b ，c 满足235a b c ==，则A.a b c
<< B.b a c
<< C.b c a
<< D.c b a
<<6.已知函数()y f x =的图象是连续不断的，且()f x 的两个相邻的零点是1，2，则“0(12)x ∃∈,，0()0f x >”是“(12)x ∀∈,，()0f x >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知1F ，2F 分别为双曲线22
221(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦点，过点1F 的直线与圆
222x y a +=相切于点P ，且与双曲线的右支交于点Q ，若2||||PQ QF =，则该双曲线的离
心率为A.2
B.3
C.2
D.5
8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，二面角P AD B --为60︒，则该四棱锥外接球的表面积为
A.
163
π
B.
283
π C.
649
π D.20π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

9.某学校从高一年级1000名学生中抽取部分学生某次考试的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则A.0.010
a =B.估计高一学生数学成绩的平均分落在[8090),C.估计高一学生数学成绩的第三四分位数为84D.估计高一学生数学成绩在[80100),的学生人数为30010.在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为线段1BD ，1A D 上的动点，则
A.存在P ，Q 两点，使得PQ AB ∥
B.11
A P DC ⊥C.AP 与11D C 所成的最大角为
4
πD.BQ 与面11A DC 所成的最大角的正弦值为
223
11.质点P 和Q 在以原点O 为圆心，半径为1的O ⊙上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P 的角速度大小为2/rad s ，起点为O ⊙与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5/rad s ，起点为射线(0)y x x =-≥与O ⊙的交点.则当Q 与P 重合时，P 的坐标可以为
A.1(22
-,
B.1(
)22
,
C.(
)22
, D.(01)
-,12.定义在[0)+∞,上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当[03]x ∈,时，(6)()0f x f x -+=.当[01]x ∈,时，()sin f x x =π；当(13)x ∈,时，2()(2)f x x =-.若关于x 的方程()f x m =([11])m ∈-,的解构成递增数列{}n x ，则
A.(2024)0
f =B.若数列{}n x 为等差数列，则公差为6C.若0m =，则1
(1)
2
n
i i n n x =-=
∑D.若10m -<<，则421
127n
i i x n n
==+∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1(1))A f ,处的切线与直线310x y -+=垂直，则实数a 的值为________.
14.6()(2)x y x y +-展开式中含34x y 项的系数为.
15.已知函数()tan()(0)4f x x ωωπ=-
>在(22
ππ
-,上是增函数，则ω的取值范围是_______.16.已知抛物线28C x y =：的焦点为F ，P 是C 上的动点，过点F 作直线(2)2y k x =-+的垂线，垂足为Q ，则||||PQ PF +的最小值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）
在ABC △中，角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,记ABC △的面积为S ，已知32AB AC S ⋅=
.
（1）求角A 的大小；
（2）若23a =，求22b c +的最大值.
18.（12分）
如图，在多面体中，四边形ABEF 为直角梯形，ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，1EF =，26BC AB ==，AB EF ∥，2
ABE π
∠=
，G 是BC 的中点，AG 与BD 相交于点H .
（1）证明：FH ∥平面BCE ；
（2）若4AF =，求平面BDF 与平面BCF 所成角的正弦值.
19.（12分）
记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，2
11421n n n S a a ++=-+.
（1）若{}n a 为等差数列，求n a ；（2）若14a =，证明：12111
1n
S S S +++< .20.（12分）
甲、乙、丙3人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余2
人之一，设n P 表示经过n 次传递后球传到乙手中的概率.
（1）求1P ，2P ；
（2）证明：1
{}3
n P -是等比数列，并求n P ；
（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且(1)1(0)i i i P X P X q ==-==，12i n = ,,,,则1
1
(
)n n
i
i
i i E X q
===∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次传球）中球传到乙手中的次数为Y ，
求()E Y ．
21.（12分）
已知椭圆22
221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点F 的坐标为
(10),，过点F 作直线交C 于P ，Q 两点（异于1A ，2A ），当PQ 垂直于x 轴时，3PQ =.
（1）求C 的标准方程；
（2）直线2QA 交直线4x =于点M ，证明：1A ，P ，M 三点共线.
22.（12分）
已知函数432
122()()432
a f x x x x a a -=++-∈R .
（1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；
高三数学参考答案
一、选择题：每小题5分，共40分。

题号12345678答案
D
B
A
C
D
C
D
B
二、选择题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）。

题号9101112答案
AC
ABD
BD
ACD
三、填空题：每小题5分，共20分。

题号13141516答案
5
-80
1(0,]2
3
四、解答题：17.（10分）
解：（12AB AC S ⋅=
，
cos sin A bc A =，-------------------------------------------------------------------2分
可得tan A =，--------------------------------------------------------------------------------3分因为0A <<π，所以3
A π=.------------------------------------------------------------------5分
（2）由余弦定理可知2222cos
3
a b c bc π=+-，即2212b c bc =+-，----------------------------------------------------------------------------6分因为2
2
2b c bc +≥，所以22
2
b c bc +≤，--------------------------------------------------7分
所以22
2
2
122
b c bc b c +=+-≤，可得2224b c +≤，----------------------------------9分
当且仅当23b c ==时等号成立，所以22b c +的最大值为24.---------------------10分18.（12分）
法一：（1）证明：在线段AB 上取点M 使得1BM =，连接HM ，FM ，
由//AD BG ，2AD BG =，可得
2
1
AH HG =，所以
AH AM
HG MB
=
，所以//HM BG .----------------------------------------------------------2分又//MB EF ，1MB EF ==，
所以四边形BMFE 为平行四边形，---------------------------------------------------------3分所以//MF BE .
又HM MF M = ，HM ⊂平面FHM ，MF ⊂平面FHM ，
所以平面//FHM 平面BCE ，----------------------------------------------------------------5分因为FH ⊂平面FHM ，
所以//FH 平面BCE .--------------------------------------------------------------------------6分(或在BG 上取点N 使得2BN =，连接HN ，EN ，证明//FH EN 亦可.）（2）因为四边形ABCD 为矩形，所以CB AB ⊥，
又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，所以CB ⊥平面ABEF ，又2
ABE π∠=
，所以BA ，BC ，BE 两两垂直.-------------------------------------------------------------7分以B 为坐标原点，BC ，BA ，BE
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则(210)H ，，，(013F ，(600)C ，，，(630)D ，，，
所以(630)BD = ，，
，(01)BF = ，(600)BC = ，，，------------------------8分
设平面BDF 的一个法向量为111()x y z =，，m ，则00
BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
m m
，可得11116300x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
令1x =
，则(1)=-m ；-----------------------------------------------------9分设平面BCF 的一个法向量为222()x y z =，，v ，则00
BF BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
v v
，可得222060y x ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩，令21z =-
，则(01)=-v .-----------------------------------------------------------10分
因为|cos ,|||||⋅<>=
=
|m v |m v m v ，---------------------------------------------------------11分所以平面BDF 与平面BCF
所成角的正弦值为
4
.-----------------------------------12分法二：（1）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以CB AB ⊥，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，所以CB ⊥平面ABEF ，又2
ABE π∠=
，所以BA ，BC ，BE 两两垂直.---------------------------------------------------------------1分以B 为坐标原点，BC ，BA ，BE
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，---------------------------------------------------------2分则(210)H ，，，设(01)F z ，，，可得(20)FH z =-
，，，-----------------------------3分
又平面BCE 的一个法向量为(010)=，，n ，---------------------------------------------4分可得0FH ⋅=
n ，又FH ⊄平面BCE ，
所以//FH 平面BCE .--------------------------------------------------------------------------6分（2）若4AF =
，则(01F ，又(600)C ，，，(630)D ，，，
所以(630)BD = ，，
，(01)BF = ，(600)BC = ，，，------------------------8分
设平面BDF 的一个法向量为111()x y z =，，m ，则00
BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m
，可得11116300x y y +=⎧⎪⎨
+=⎪⎩，
令1x =
，则(1)=-m ；-----------------------------------------------------9分设平面BCF 的一个法向量为222()x y z =，，v ，则00BF BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
v v
，可得222060y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令21z =-
，则(01)=-v .-----------------------------------------------------------10分
因为|cos ,|||||4
⋅<>=
=|m v |m v m v ，---------------------------------------------------------11分
所以平面BDF 与平面BCF
所成角的正弦值为4
.-----------------------------------12分19.（12分）
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
当1n =时，2
122421a S a =-+，--------------------------------------------------------------1分当2n ≥时，2
112
1421421n n n n n n S a a S a a ++-⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩①
②，-①②得，22
112()n n n n a a a a ++-=+，
所以111()()2()n n n n n n a a a a a a +++-+=+，---------------------------------------------------3分
因为0n a >，所以12n n a a +-=，2n ≥，因为{}n a 为等差数列，
所以2d =，---------------------------------------------------------------------------------------4分所以2111(2)2()421a a a =+-++，
化简得121102a a +=-，所以11a =，-------------------------------------------------------5分所以21n a n =-.----------------------------------------------------------------------------------6分
（2）当1n =时，2
122421a S a =-+，因为14a =，可得2222150a a --=，
因为0n a >，可得25a =，--------------------------------------------------------------------7分由（1）可知，当2n ≥时，12n n a a +-=，所以21(2)n a n n =+≥，-----------------8分2123(521)(1)
()4212
n n n n S a a a a n n ++-=++++=+
=++ ，
当1n =时也符合上式，
所以221n S n n =++.------------------------------------------------------------------------------9分法一：因为
211111
(1)1
21n S n n n n n n =<=-
++++，-----------------------------------------10分所以
1211111111111122311
n S S S n n n +++<-+-++-=-<++ .---------------------12分法二：因为
2111111
()(2)22
21n S n n n n n n =<=++++，-----------------------------------10分1211111111111111111(1)(1)2324351122212
n S S S n n n n n n +++<-+-+-++-+-=+---++++ 所以
121113111
()14212
n S S S n n +++<-+<++ .--------------------------------------------12分
20.（12分）
解：（1）112P =，2111(1224
P =-⨯=.---------------------------------------------------4分（2）记n A 表示事件“经过n 次传递后球传到乙手中”，若1n A +发生，则n A 一定不发生，所以11(1)2n n P P +=-⋅，即11122n n P P +=-+，---------------------------------------------6分即1111(323n n P P +-=--，又11136
P -=，所以数列1{}3n P -是以16为首项，12
-为公比的等比数列，--------------------------7分所以1111()362n n P --=-，即1111(623
n n P -=-+.------------------------------------------8分（3）由（2）可知1111()623i i P -=
-+，则1111111()()[1()]623923n n
i n i i i n n E Y P -====-+=--+∑∑.----------------------------------12分21.（12分）
解：（1）由22221c y a b +=，可得2
b y a
=±，所以2
2||3b PQ a
==，---------------------------------------------------------------------------1分即232
a b =，因为222a b c =+，所以2312a a =
+，解得2a =，23b =，----------------------------------------------------3分所以C 的标准方程为22
143
x y +=.------------------------------------------------------------4分
（2）由题意知，直线PQ 斜率不为0，
设1PQ x my =+：，11223()()(4)P x y Q x y M y ,,,,,,由22
1431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
,,整理得22(34)690m y my ++-=，----------------------------------5分所以122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪-⎪+⎩
, =,----------------------------------------------------------------6分因为22A M A Q k k =，所以
32222y y x =-，即23222y y x =-，----------------------------------7分则1131121221112123(2)(2)2623(2)3(2)(2)A M A P y y y y y x y x k k x x x x x --+-=-=-=++-+-1221121212123(1)(3)23()3(2)(2)3(2)(2)y my y my my y y y x x x x --+-+==+-+-----------------------------------------9分22129623()343403(2)(2)m m m m x x -⨯--++=
=+-，-------------------------------------------------------11分所以11A M A P k k =，又因为有公共点1A ，
所以1A ，P ，M 三点共线.-----------------------------------------------------------------12分22.（12分）
解：（1）当1a =-时，322()23(23)(3)(1)f x x x x x x x x x x '=+-=+-=+-，------1分当(3)x ∈-∞-,时，()0f x '<，当(30)x ∈-,时，()0f x '>，当(01)x ∈,时，()0f x '<，当(1)x ∈+∞,时，()0f x '>，------------------------------3分所以()f x 的单调递增区间为(30)-,，(1)+∞,；单调递减区间为(3)-∞-,，(01),.-----------------------------------------------------------5分
（2）设2()(1)()(1)()()x h x x g x x x a e f x =-=-+-，当1x <时，由于10x -<，所以()g x 与()h x 正负相反，又(0)(0)0g h ==，所以0x =是()g x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极小值点，-------------------6分2()(1)(22)x h x x e x x a '=-++-，可知(1)0x x e -≥，-------------------------------------7分令2()22m x x x a =++-，4(3)a ∆=-，①当3a ≥时，0∆≤，则当(1]x ∈-∞,时，()0m x ≥，即()0h x '≥，所以()h x 在(1]-∞,上单调递增，因此0x =不是()h x 的极小值点；----------------8分
②当23a <<时，10-，当11x -<时，()0m x >，即()0h x '≥，
所以()h x 在(11)-上单调递增，因此0x =不是()h x 的极小值点；------------------------------------------------------------9分③当2a =时，()(1)(2)x h x x e x x '=-+，当(20)x ∈-,时，()0h x '<，当(01)x ∈,时，()0h x '>，所以()h x 在(20)-,上单调递减，在(01),上单调递增，因此0x =是()h x 的极小值点，满足题意；-----------------------------------------------10分
④当2a <时，10-，记0min{11x =-,，可知00x >，
则当01x x -<时，()0m x <，即()0h x '≤，
所以()h x 在0(1)x -上单调递减，因此0x =不是()h x 的极小值点.--------11分综上可知，2a =.12分。