【高考数学二轮复习思想方法与解题技巧】第55讲 整体与局部与第56讲 整体代换法-原卷+解析

第55讲整体与局部
事物的发展变化本来就是一个整体和系统, 故观察事物必须着眼于整体和系统,运用整体观来处理问题, 同时事物的发展变化,必然会凸显某些关键的部分, 而对这“部分”的结构特征和变化特点或趋势作深人分析, 往往能体现出事物整体结构特征及其变化发展的趋势甚至规律,这就启发我们在分析解决数学问题时既要着眼于整体又必须关注局部, 就是通常讲的从整体着眼, 从局部人手,得出初步结论后,再进一步研究. 一个较为复杂的数学问题, 有时局部处理得当有助于整体的解决, 局部处理又可分为局部解决、局部固定和局部调整3 种类型.
典型例题
-的高为2,AB=其内部有一个球与它的4 个面【例1 】已知正三棱雉P ABC
都相切,求:
-的表面积;
（1）正三棱雉P ABC
-内切球的表面积与体积.
（2）正三棱雉P ABC
【例2】四面体的6 条棱中, 有5 条棱长都等于a.（1）求该四面体体积的最大值;
（2）当四面体的体积最大时,求其表面积.
【例 3 】如图 10 - 3 所示, 已知点 D 为 Rt ABC 斜边 BC 上一点, 且 AB AD =,
记
,CAD ABC ∠α∠β==.
(1) 证明: sin cos20αβ+=.
(2) 若 AC =, 求
β 的值.
第56讲 整体代换法
在解题过程中, 将已知某个部分整体代人达到简化运算、迅速使原问题获解的方法称 之为整体代换法.
典型例题
【例 1】 若正数 ,x y 满足 35x y xy +=, 则 34x y + 的最小值是 （ ）。

A. 24
5 B.
285
C. 5
D. 6
【例 2】 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大 值为 3 , 最小值为 1 . （1）求椭圆 C 的标准方程;
（2）若直线 :l y kx m =+ 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点 (,A B 不是左右顶点),且以
AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点, 并求出该定点的坐标.
【例3】对任意*n N ∈,求证:11(11)11432n ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
第55讲 整体与局部
事物的发展变化本来就是一个整体和系统, 故观察事物必须着眼于整体和系统,运用 整体观来处理问题, 同时事物的发展变化,必然会凸显某些关键的部分, 而对这“部分”的 结构特征和变化特点或趋势作深人分析, 往往能体现出事物整体结构特征及其变化发展的趋势甚至规律,这就启发我们在分析解决数学问题时既要着眼于整体又必须关注局部, 就是通常讲的从整体着眼, 从局部人手,得出初步结论后,再进一步研究. 一个较为复杂的 数学问题, 有时局部处理得当有助于整体的解决, 局部处理又可分为局部解决、局部固定和局部调整 3 种类型.
典型例题
【例 1 】已知正三棱雉 P ABC - 的高为 2,AB =其内部有一个球与它的 4 个面都相 切,求:
（1）正三棱雉 P ABC - 的表面积;
（2）正三棱雉 P ABC - 内切球的表面积与体积.
【分析】 思考下列启发式问题：
(1) 要求正三棱雉内切球的表面积与体积, 公式 2
4S R π=琭 与 3
43
V R π=琲 中需要求 出哪些量?
(2) 上一问,显然只要求出球的半径
R 即可,那么半径 R 与三棱雉的各棱长或者各个 面
有什么联系? 这些互相联系的数量如何求出来?
（3）如果用等体积法求解, 那么如何对三棱雉这个整体进行适当分割, 即如何实现整 体与局部之间的转化呢? 【解析】
(1) 如图 101- 所示, 底面三角形中心 O 到 AC 的距离 13DO ==
则
正
三
棱
锥
侧
面
的
斜
高
为
PD ==.
1
32
S ∴=⨯⨯=侧.
故
2 122
S S S =+=⨯⨯=魝全底
（2）设正三棱锥 P ABC - 的内切球球心为 1O , 联结 1111,,,O P O A O B O C , 而点 1O 到三棱雉的 4 个面的距离都为球的半径 r .
1111 11
33
P ABC O PAB O PBC O PAC O ABC ABC
V V V V V S r S
r -----∴=+++=⋅+⋅钊
((
11
33
S r r r =⋅=⋅=全
211 232P ABC V -=⨯⨯=又
(
r ∴=)
2
2
r ==
)(
2 4[2
2]325S ππ∴==-内彻浗
)
()
3 4
64
[2
2]223
3
V ππ==
内彻球
【例 2】 四面体的 6 条棱中, 有 5 条棱长都等于 a . （1）求该四面体体积的最大值;
（2）当四面体的体积最大时,求其表面积. 【分析】
从整体上求四面体体积,可运用公式 1
3
V S h =
⋅底, 但这个 h 比较难 求,故可寻找四面体的直截面(与侧棱垂直且过一条底边的截面),把这个整体分割为两个 雉体求体积, 再求和,这是一种通解通法. 由于本例涉及最值问题,一般思路是在得到解析 式后利用函数思想或基本不等式进行求解. 【解析】
()
1 如图 102- 所示, 在四面体 A BCD - 中, 设
,AB BC CD AC BD a AD x ======, 取 AD 的中点为 ,P BC 的中点为 E , 联
结 ,,BP EP CP , 由
AD ⊥ 平面 BPC 可得13
A BCD A BPC D BPC BPC
V V V S AD
---=+=
⋅
1132x =⋅⋅23
2
3.1228
a a a =
⋅=当且仅当x =，A BCD V -的最大值为3
8
a
(2) 由 ()1 知 22
1222S =+⋅=表。

【例 3 】如图 10 - 3 所示, 已知点 D 为 Rt ABC 斜边 BC 上一点, 且 AB AD =,
记
,CAD ABC ∠α∠β==.
(1) 证明: sin cos20αβ+=.
(2) 若 AC =, 求
β 的值.
【分析】
证明 sin cos20αβ+=, 即把 sin cos2αβ+ 看作一个整体, 求出它的值为 0 , 另外, 在解三角形问题时,必须抓住三内角之和为 π 这一整体. 【解析】 (1)
,,2AB AD ABD ADB BAD ∠∠β∠πβ=∴===-,
22
BAD π
α∠απβ∴+=+-=
, 即
22
παβ=-
. sin sin 2sin 2cos222ππαβββ⎛⎫⎛⎫
∴=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
即 sin cos20αβ+=.
(2) 在
ADC 中, 由正弦定理得
()sin sin sin CD AC απββ
==
-, ))
2sin cos22sin 1αβββ==-=-,
令 sin t β=, 则 2
0t -=, 解得 12t t =
= (舍去).
sin 3π
ββ∴=
=
第56讲 整体代换法
在解题过程中, 将已知某个部分整体代人达到简化运算、迅速使原问题获解的方法称 之为整体代换法.
典型例题
【例 1】 若正数 ,x y 满足 35x y xy +=, 则 34x y + 的最小值是 （ ）。

A.
245 B.
285
C. 5
D. 6
【分析】
在解题过程中,将已知某个部分整体代入可简化运算. 比如本例条件 35x y xy += 可变形为
11315y x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
, 即把 1 用 1135y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 代换 ; 这是一种常值代换,若 设 34t x y =+
代入 35x y xy +=, 则为整体代换, 可使原问题转化为求 t 的最小值. 【解析 】
【解法1】
（将已知条件进行转化,通过常值代换, 再利用基本不等式求解)
0,0x y >>, 由 35x y xy += 得 11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
, ()11334345x y x y y x ⎛⎫∴+=
++ ⎪⎝⎭1312495x y y
x ⎛⎫
=+++ ⎪⎝
⎭131312131 5.5555x y y x ⎛⎫=
+++⨯= ⎪⎝⎭(当且仅当 2x y = 时取等号) 34x y ∴+ 的最小值为 5 , 故选 C .
【解法2】
（整体代换)设 34t x y =+,()234,
2051035t x y y t y t x y xy
=+⎧+-+=⎨
+=⎩由得，① 0y >所以方程①由两个正根，()
251020020
25(1)800,t t
t t --
⎪-⎧⎪⎪⎪⎨>>∆=-⎪⎪⎩
解得5t
34x y ∴+ 的最小值为 5 , 故选 C.
【例 2】 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大 值为 3 , 最小值为 1 . （1）求椭圆 C 的标准方程;
（2）若直线 :l y kx m =+ 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点 (,A B 不是左右顶点),且以
AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点, 并求出该定点的坐标.
【分析】
设 ()()1122,,,A x y B x y , 以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,则必定有斜率之
积为
1- 这个关系式,从而出现用 12121212,,,x x x x y y y y ++ 表示的等式,联立直线 l 与
椭圆 C 的方程通过消元并运用韦达定理可得 12121212,,,x x x x y y y y ++ 用参 数 ,m k 表示的关系式,通过整体代入进行求解. 这种“设而不求”是处理解析几何问题最基本的思路,解题过程简捷,计算量小, 实质上是利用问题中整体与局部的关系,通过整体代 入、整体运算、
整体消元等方法简化运算过程,顺利求解.
【解析】
(1) 设椭圆的标准方程为 22
221(0),3,1x y a b a c a c a b
+=>>+=-=, 2
2,1,3a c b ∴===, 因此, 椭圆 C 的标准方程为 22
143x y +=. (2) 设 ()()1122,,,A x y B x y , 由 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()()
222348430k x mkx m +++-=, 则 ()()222222Δ64163430,340m k k m k m =-+->+->.
由韦达定理得 ()2121222438,3434m mk x x x x k k
-+=-=++. ()()()()22
2212121212234.34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=+⋅+=+++=
+
以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ()2,0D , 故 1AD BD k k ⋅=-.
1212122
y y x x ∴⋅=---, 整理得 ()121212240y y x x x x +-++=. 代人得 ()()22222234431640343434m k m mk k k k --+++=+++, 化简得 2271640m mk k ++=, 由此解得 1222,.7
k m k m =-=- 且满足 22340k m +->. 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),而(2,0)为右顶点,与已知矛盾; 222,:,,0.777k m l y k x 当时直线过定点⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 例3对任意*n N ∈,求证
:11(11)11432n ⎛
⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭解题策略不等式左边是n 个因式的连乘积,直接证明肯定困难,解题关键是对不等式左边部分的结构特点有清晣的认识.
若设112583431(11)11.4321473532
n n n a n n n --⎛
⎫⎛⎫=+++=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
显然n a 是代数式23456789103131234567893231n n n n -⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--31313n n n +=+中的一部分.这个代数式就是整体,而n a 是它的局部,我们再构造两个相关式36933347103231,2583431369333n n n n n n b c n n n n --+=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯---. 显然,n n b c 也是上述代数式的局部,即上述代数式n n n a b c =⋅⋅,利用这种整体与局部的关系,结合放缩法可顺利获证. 证明设112583431(11)11.4321473532n n n a n n n --⎛⎫⎛⎫=++
+=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 构造相关式369333,2583431n n n b n n -=⨯⨯⨯⨯⨯--47103231369333n n n c n n -+=⨯⨯⨯⨯⨯-， 311131111,11,,,32323131323n n n n n n a b a c n n n n n n -=+>+=+>+∴>>----- 故33 1.n n n n a a b c n >⋅⋅=+
从而11(11)11432n ⎛⎫⎛⎫++
+> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。