一元一次不等式的定义和解法

巩教固学提目升
标
A
B
课堂小结
一元一次不等式
1.定义：含有一个未知数，未知数的次数都是1的不等式．
2.解一元一次不等式的一般步骤： (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1.
课教后学练目习
标
课本124页第1、2题； 课本126页第1、3题.
3
2
解：根据题意，得
x 5 3x 2
>1，
3
2
2（x＋5）－3（3x－2）>6，
2x＋10－9x＋6>6，
－7x＋16>6，
－7x>－10，
得
x< 10
7
所以，当x=1时，满足题意要求．
综教合学扩目展
标
一、利用不等式的解集求字母的值：
例3.关于x的不等式3x-2a≤-2的解集如图所示,求a的值.
总结
判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤： 先对所给不等式进行化简整理，再看是否同时满足： (1)不等式的左、右两边都是整式； (2)不等式中只含有一个未知数； (3)未知数的次数是1且系数不为0.
例教题学讲目解
标
例1：解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)2(1+x) < 3 ；
解：
(2) 2+x 2x 1 .
小结
解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
步骤
注意问题
1 去分母 2 去括号 3 移项
每一项都要乘最小公分母
乘法分配律 移项变号
4
合并同类项，得ax>b， 或ax<b (a≠0)
只合并系数
5
系数是负数要变不等号的方向
解下列不等式，并在数轴上表示解集 （1） 2(x 5) 3(x 5)
（2） x 1 2x 5
移项、得
3x－2x≥12＋9
合并同类项，得
x≥21
0
21
10．如果不等式3x-m≤0的正整数解是1、2、3， 则m的取值范围是_9_≤_m__＜__1_2__． m 分析：不等式3x-m≤0的解为：x≤ 3
0
1
2
可得： 3 ≤ m＜4 3
3 m4 3
例11 当x取何正整数时，代数式 x 5
的值比 3x 2 的值大1？
去分母 拆括号 移项 合并同类项
X>1
系数化1
0
1
7． 解不等式3－x＜2x＋6并把它的解集表示在 数轴上．
解：两边都加上ｘ，得 3＜2x+6+x
合并同类项，得
3<3x+6
两边都减去6，得 3-6<3x+6-6
合并同类项，得
-3<3x
两边都除以3，得 -1<x
即
x>-1
这个不等式的解集在数轴上表示如下图：
而满足x＜3的正整数有1，2，3， 所以不等式的正整数解为1，2，3．
2. 利用不等式的性质解不等式．
x3 8x 23
解 ：去分母，得 3(x－3) ≥2(8－x)
去括号，得
3x－9≥16－2x
移项、得
3x＋2x≥16＋9
合并同类项，得 5x≥25
两边都除以5，得 x≥5
3. 解不等式 2（x+3）＜3（x-3）． 解：
去括号得：
2x+6＜3x-9
移项得：
2x-3x＜-9-6
合并得：
-x＜-15
系数化为1得： x＞15
4. 解不等式： 2x 1 13x 2 6x 4
4
6
3
解：去分母，得 3(2x＋1) ＜2(13x－2) －4(6x＋4)
去括号，得 6x＋3＜26x－4－24x－16
移项，得 6x－26x＋24x＜－4－16－3
判别条件： (1)不等号两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的次数是1； (4)未知数系数不为0.
一元一次方程和一元一次不等式的联系与区别?
一元一次方程
一元一次不等 式
未知数个
1个
数
1个
未知数次
数
1次
1次
式子形式
未知数系 数
等式 不为0
不等A
解析：(1)中未知数的最高次数是2，×； (2)中左边不是整式，×； (3)中有两个未知数，×； (4)是一元一次不等式．
一元一次不等式
一元一次不等式的定义和解法
数学rj版 七年级下
课教前学回目顾
标
不等式的性质
不等式的性质1:不等式的两边加（或减）同一个数(或式 子)，不等号的方向不变.
不等式的性质2:不等式的两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变.
不等式的性质3:不等式的两边乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变.
x 3m 1 x 7m 1的解大于2．
63
2
解：解这个方程
x 2(3m 1) 6x 3(7m 1)
x 3m 1
根据题意，得
3m 1 2
解得 m＞1
9．（1）解不等式 x 3 6 x ，并把它的解
23
在数轴上表示出来．
解 ：去分母，得 3(x－3) ≥2(6＋x)
去括号，得
3x－9≥12＋2x
问教题学探目究
标
问题1 观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？
x-7>26 3x<2x+1 -4x>3
共同特征： 1.只含有1个未知数； 2.未知数的次数是1； 3.不等式.
问题：这些不 等式叫做什么 呢？
讲教授学新目课
标
一元一次不等式定义：
含有一个未知数，未知数的次数都是1的不等式
叫做一元一次不等式．
7
3
5x 15 4x 1
x 1 2x 5 1 64
当X或以满足什么条件时，下列关系成立？
• （1）2（x+1）大于或等于1； • （2）4x与7 的和不小于6； • （3）y与1的差不大于2y与3的差； • （4）3y与7的和的四分之一小于-2.
1. 求不等式x+3＜7的正整数解．
解：不等式x+3 ＜7的两边都减去3，得： x+3 -3＜7-3 ∴x＜4
2
3
解：去分母，得3(2+x)≥2(2x-1).
去括号，得 6+3x ≥4 x-2 .
移项，得 3x- 4x ≤ -2-6 .
合并同类项，得 -x ≥ -8 .
系数化为1，得x ≤ 8 .
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示 .
总结
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似， 其根据是不等式的基本性质，其步骤是：去分母、去括 号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为 1．
例5.解关于x的不等式mx+2x<5m+1
解：合并得:（m+2）x<5m+1 • 分类讨论：
巩教固学提目升
标
1.下列不等式，是一元一次不等式的是 ( D )
解析：A含有两个未知数，×；B不是不等式，×； C没有含有未知数，×.
巩教固学提目升
标
2.下列不等式中，不含有x＝－1这个解的是 ( A )
A. 2x＋1≤－3
B. 2x－1≥－3
C. －2x＋1≥3
D. －2x－1≤3
3.已知(a－3)xb＋2＜2是一元一次不等式，那么此时，
a ≠3 ，b =-1
.
巩教固学提目升
标
4.不等式2x＋1＜3的解集是 ( A )
A. x ＜ 2
B. x≥2
C. x≤－1
D. x≥－1
5.不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示的是( D )
解：移项，得 3x≤2a-2
-1 0 1
由图可知：x ≤-1
综教合学扩目展
标
二、求一元一次不等式的特殊解：
例4.求不等式3(1-x) ≤2(x+9)的负整数解.
解：解不等式3(1-x) ≤2(x+9)，得x≥-3 因为x为负整数 所以x=-3,-2,-1.
综教合学扩目展
标
三、解含字母系数的一元一次不等式：
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
拓展训练
8.
5x 1
6
2
x
4
5
解：不等式两边同时乘以12，得
2(5x+1)-2×12>3(x-5) 10x+2-24>3x-15 10x-3x>24-2-15 7x>7
去分母 去括号 移项 合并同类项
X>1
系数化1
0
1
9． m取何值时，关于x的方程
合并，得 4x＜－23
x 23 4
5 解不等式 5(x+2)>4x-4．
解： 去括号得：
5x+10>4x-4
移项得：
5x-4x>-4-10
合并得
x>-14
6.
5x
6
1
2
x
5 4
解：不等式两边同时乘以12，得
2(5x+1)-2×12>3(x-5) 10x+2-24>3x-15 10x-3x>24-2-15 7x>7