高三复习：数列求和、求通项的技巧(含答案)

(
∴数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-32n c 从第2项起，是以9
3
322-=
-
a c 为首项，以32为公比的等比数列 故 ()n n n n n a a c c 3
2332933232322
2
2
2----=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
()323232+-=∴-n n n a c 又n n n a c 3
=，所以()12
322
3--⋅+⋅-=n n n a a a a =1 不适合上式 ()()()
⎩⎨⎧≥⋅+⋅-==∴--23
22
311
2
n a n a a n n n
【变式2】已知数列的前项和为，且满足：，，，则__________.
【答案】
【解析】，则
，化为：
．由
，
，
可得，因此对都成立．∴数列
是等比数列，首项为2，公比为
2．∴，即
，故答案为
.
【变式3】已知数列{}n a 满足12a =，2
121n n n a a a +=+，设1
1
n n n a b a -=
+，则数列{}n b 是（ ） A ．常数列 B ．摆动数列 C ．递增数列
D ．递减数列
【数列求和技巧】
1.错位相减法求和
（1）这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
的前n项和为____
答案：
2.反序相加法求和
（2）求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++⋅⋅⋅+++的值
解：设
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2
++⋅⋅⋅+++=S …………. ① 将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）
又因为 1cos sin ),90cos(sin 2
2
=+-=x x x x
①+②得 （反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴ S ＝44.5
3.裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 （7）)1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
（8）111
n a n n n n ==+-++
（3）
答案：.
（4）求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设
89
cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=
S ∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝
]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1
sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
4.分奇偶求和法
（5）若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1
·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D .2
解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n =
答案：A
（6）设，则
＝___
答案：2.
（7）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21017,100a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（等差罗列，易）
（2）若数列{}n b 满足*
cos()2()n n n b a n n π=+∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.
【课后练习】
一、选择题
1．(2017·皖西七校联考)在数列{a n }中，a n ＝2n －12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝321
64，则n ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选D 由a n ＝2n －12n ＝1－12n 得S n ＝n －12＋122＋…＋12n ＝n －⎝⎛⎭⎫1－12n ，则S n ＝321
64＝n －⎝⎛⎭⎫1－12n ，将各选项中的值代入验证得n ＝6.
2．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋5
2，a 11
成等比数列．若p －q ＝10，则a p －a q ＝( )。