四川省阆中中学校高一数学下学期第一次段考试题理

阆中中学校2016年春高2015级第一学段教学质量检测
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（60分，每小题5分）
1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a ==，则公差d 等于（ ） A ．1 B ． C ．﹣2 D ．3 2．sin 77cos 47sin13sin 47-的值等于（ ）
A ．
12 B ．3 C ．2
D ．2 3．在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ， 则这个三角形的最大内角为（ ） A ． 30 B ． 90 C ． 120 D ． 60 4．在△ABC 中，a=4，b=4
，A=30°，则B 等于（ ）
A ．30° B．30°或150° C．60° D ．60°或120° 5．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若3a =8，则5S =（ ） A ．16
B ．24
C ．32
D ．40
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（ ） A.
54钱 B.43钱 C.32钱 D.53
钱
7．已知cos 23
θ=
，则44
sin cos θθ-的值为（ ）
A ．
3
B ．3-
C ．1118
D ．29-
8．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 如果cos cos sin 0b C c B a A +-=, 那么 △ABC 的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
9．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气 球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ） A ．m
B ．m
C ．m
D ．m
10．在∆ABC 中．2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（ ） A ．（0，6π] B ． D ．[3π
，π） 11．已知2132tan131cos50
cos6sin 6,,221tan 13a b c -=-==
+，则（ ） A ．
B.
C.
D.
12．在直角△ABC 中，两直角边和斜边分别为,,a b c ，若边长,,a b c 满足a b cx +=，那么实数x 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（20分，每小题5分） 13．已知1
sin cos 3
αα+=
，则sin 2α= ． 14．只有黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n 个图案中有白色地面砖 块．
15．在数列}{n a 中，已知11=a ，52=a ，且21(N*)n n n a a a n ++=-∈，那么2016a 的值
为 ．
16．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足
112
a b c
+=，则称a ，b ，c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a ，b ，c 是等差的，若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合{|||2014,}M x x x Z =≤∈，集合{,,}P a b c M =⊆，则 “好集”P 中的元素最大值为 ．
三、解答题（本答题共6个小题，共65分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知tan 2θ=. （1）求tan(
)4
π
θ-的值 ；
（2）求cos 2θ的值.
18．（本小题满分10分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且B c b sin 23=. （1）求角C 的大小 ；
（2）若c ＝7，且5a b +=，求△ABC 的面积 ．
19．（本小题满分10分）数列{}n a 满足：11a ＝，1()(1)1n n na n a n n ＋＝＋＋＋，*
n ∈N ．
（1）令n
n a b n
=
，求证：数列{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．
20．（本小题满分10分）在ABC ∆中，设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 并且满足()().a b c a b c ac ++-+= （1）求角B 的大小；
（2）若sin sin A C =，求角C ． 21．（本小题满分12分）
设函数()f x m n =⋅，其中向量()2cos ,1m x =，()
cos 2n x x =， x R ∈． （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若不等式()0f x m ->对于任意的0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
都成立，求实数m 的取值范围．
22．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且251,5a a ==-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设5,22
n c n
n n a c b -=
=，记数列{}2log n b 的前n 项和为n T ，求n T 的 最小值.
阆中中学校2016年春高2015级第一学段教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分细则
选择题（每小题5分）：
1--5：CACDD 6--10:BBABC 11--12：CA 填空题（每小题5分）： 13：8
9
-
14：42n + 15：4- 16：2012 解答题：
17.（1）2tan =θ tan tan 121
4
tan(
)4
123
1tan
tan 4
π
θ
π
θπ
θ
--∴-=
==-++........5分 （2）
sin tan 22sin 2cos cos θ
θθθθ
=∴
=∴=
又
22
sin cos 1θθ+= 所以 21cos 5
θ=..................8分 23
cos 22cos 15
θθ∴=-=-.................10分
18. （1）由B c b sin 23=及正弦定理得，
()
2sin 22sin sin 1R B R C B ⋅=⋅⋅ 2
3
0=
∴≠SinC SinB ............4分 ABC ∆是锐角三角形， 3
C π
∴=
..................5分
（2）由余弦定理得2
2
222cos 7,73
a b ab a b ab π
+-=+-=即 ........7分
变形得73)(2
=-+ab b a
65b a =∴=+ab ........8分 2
3
323621sin 21=
⨯⨯==
∴∆C ab S ABC ..................10分 解法2：前同解法1，联立方程组求得23
32
a a
b b ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩或（详解略）
19.（1）证法一证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a
n n
+-=+ 所以{
}n a n 是以111
a
=为首项，1为公差的等差数列．........5分 （2）由（1）知1(1)1n b b n n =+-⨯=， ........8分 所以21
n n
a n
b == ........10分
20.（1）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222
a c
b a
c +-=-， .......3分
由余弦定理得2221
cos 22
a c
b B a
c +-=
=-，因此0120B =． .......5分 （2）由（1）知0
60A C +=，所以sin sin sin sin(60)A C A A =- ........6分
2111cos sin 2cos 2244A A A A A =
-=+-=
........8分
所以sin(2)6
A π
+
=
，即22633A πππ+=或，那么=15=45A A 或 ........10分
21.（1）2()2cos 2f x x x =
=cos221x x + =2sin 26x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
+12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 令-
222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 解得-
2,3
6
6
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈
故()f x 的单调递增区间为()-
,36k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
：...6分（若没写k Z ∈，扣1分）
（2）易知：原问题⇔min ()f x m >，其中0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. ........8分 当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ........10分
所以1sin(2)126x π-
≤+≤，即min 1
()2()102
f x =⨯-+=，故0m <. 22.（1）设{}n a 的公差为d ，由已知条件有：
{
111
45a d a d +=+=-， ........2分
解得：13,2a d ==- ........4分 所以，1(1)25n a a n d n =+-=-+. ........6分 （2）由（1）知：5,222
n c n n
n n a c n b -=
=== ........8分 所以21212log log ?...log n n T b b b =+++=2222log 2log 2?...log 2n +++
(1)
12 (2)
n n n +=+++=
........10分 由2016n T ≥得(1)4032n n +≥ ，即6463n n ≤-≥或 ........12分 所以n 的最小值为63. .......13分。