21-22版：2.1.2 椭圆的几何性质(二)（创新设计）

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(1)∵P(0,1)，∴|O→P|＝1，|O→A|＝2，即 b＝2，且 B(3,1). ∵B 在椭圆上，∴a92＋14＝1，得 a2＝12， ∴椭圆 C 的标准方程为1x22 ＋y42＝1.
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(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为
(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.
y＝kx＋t，
由则xx221＋ ＋yx22＝ ＝1－，1得 ＋4k(2t1k＋2，2xk12x)x2＝2＋124＋t2k－t2xk＋22. 2t2－2＝0，
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所以|OM|·|ON|＝kx1＋x1t－1·kx2＋x2t－1 ＝k2x1x2＋k（t－1）（x1xx12＋x2）＋（t－1）2
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
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Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，
故两切线方程为 y＝32x＋4 和 y＝32x－4，
由图可知 y＝32x－4 距 l 最近，
故最短距离 d＝
|－16＋8| ＝
32＋－22
813，
P 点为切点，即 P32，－74.
∴|AB|＝ x1－x22＋kx1－kx22
＝ 1＋k2 x1－x22
＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2，
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或|AB|＝
1ky1－1ky22＋y1－y22
＝
1＋k12 y1－y22
＝
1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
其中，x1＋x2，x1x2 或 y1＋y2，y1y2 的值，可通过由直线方程与
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：
a92＋3－t2 t2＝1，解得
33－t2
a2＝
.
3－2t
33－t2
∵a2>b2>0，∴
>(3－t)2>0.
3－2t
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∴ 3 >1，即 3 －1＝ 2t >0，
3－2t
3－2t
3－2t
∴所求
t
的取值范围是
3 0<t<2.
2t2－2
1＋2k2
＝k2·12＋t2－2k22＋k（t－1）·－1＋4k2tk2＋（t－1）2
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＝211－＋tt. 又|OM|·|ON|＝2，所以 211－＋tt＝2. 解得 t＝0，所以直线 l 经过定点(0，0).
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规律方法 处理直线与椭圆相交问题的通法是联立直线与椭 圆的方程，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，利用根与 系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用 点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即 得弦的中点与斜率的关系.
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.
解 ∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，
即△BAP 是等腰直角三角形，|A→B|＝
→ 2|AP|.
∵A→B·A→P＝9， ∴|A→B||A→P|cos 45°＝ 2|A→P|2cos 45°＝9，∴|A→P|＝3.
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4x－5y＋k＝0
由方程组 2x52 ＋y92＝1，
消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.
②
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令方程②的根的判别式Δ＝0，
得64k2－4×25(k2－225)＝0.
③
解方程③得k1＝25，或k2＝－25. 由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，
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(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
解 方法一 设l的斜率为k，
则其方程为y－2＝k(x－4).
联立3x62 ＋y92＝1， y－2＝kx－4，
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0. 32k2－16k
若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 1＋4k2 ，
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课堂反馈
检测成效
课堂达标
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1.AB 为过椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦
点，则△AFB 面积的最大值为( D )
A.b2
B.ab
C.ac
D.bc
解析 当直线 AB 为 y 轴时面积最大，|AB|＝2b， △AFB 的高为 c，∴此时 S△AFB＝12·2b·c＝bc.
第二章——
2.1.2 椭圆的几何性质(二)
学习目标
1.进一步巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
知识探究 题型剖析 检测成效
课前预习
知识探究
[知识链接] 已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？
所以 a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1. (2)证明 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线 AP 的方程为 y＝y1x－1 1x＋1. 令 y＝0，得点 M 的横坐标 xM＝－y1x－1 1.
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又 y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝kx1＋x1t－1. 同理，|ON|＝kx2＋x2t－1.
答案 直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方
程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)
的一元二次方程的根的判别式来判断.
Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切；
Δ<0⇔直线和椭圆相离.
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[预习导引]
1.点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔ax202＋by202＝1； 点 P 在椭圆内⇔ax202＋by202<1； 点 P 在椭圆外⇔ax202＋by202>1.
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跟踪演练 3 如图，点 A 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的短轴位
于 y 轴下方的端点，过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B，
若
P
在
y
轴上，且
BP∥x
→→ 轴，AB·AP＝9.
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(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；
0)，且经过点 A(0，1). (1)求椭圆C的方程； (2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P， Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2， 求证：直线l经过定点.
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(1)解 由题意，得 b2＝1，c＝1，
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由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以x1＋2 x2＝116＋k2－4k82k＝4，解得 k＝－12，且满足 Δ>0. 这时直线的方程为 y－2＝－21(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
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方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有33xx662122 ＋ ＋yy991222＝ ＝11， ，
无解
Δ＝ 0 Δ< 0
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3.弦长公式 设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为ax22＋by22＝1 (a>b>0)或ay22＋bx22＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)， B(x2，y2)，
则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22，
解得－ 25≤m≤ 25.
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(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0， ∴x1＋x2＝－25m，x1x2＝15(m2－1)，
所以|AB|＝ x1－x22＋y1－y22
此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.
直线 m 与直线 l 间的距离 d＝ 所以，最小距离是1451 41.
|4420＋－－255| 2＝1451 41.
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题型二 直线与椭圆的相交弦问题
例 2 (2019·北京卷)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为(1，
即x＋2y－8＝0.
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题型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
4x2＋y2＝1， 解 由
y＝x＋m
得 5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
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2.直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：
y＝kx＋m， 联立ax22＋by22＝1.
消 y 得到一个关于 x 的一元二次方程，再依
据右表判断. 位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ> 0
相切 相离
一解
两式相减得x22－36x21＋y22－9 y21＝0，
整理得 kAB＝yx22－ －yx11＝－396xy22＋＋xy11， 由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
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于是 kAB＝－396××84＝－12， 于是直线 AB 的方程为 y－2＝－12(x－4)，
＝ 2x1－x22＝ 2[x1＋x22－4x1x2]
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＝
242m52－45m2－1＝25 10－8m2.
∴当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
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规律方法 解析几何中的综合性问题很多.而且可与很多知识 联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函 数的最值等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与 方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与 系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的 判别式来确定参数的限制条件.
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跟踪演练 2 已知椭圆3x62 ＋y92＝1 和点 P(4,2)，直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点. (1)当直线 l 的斜率为12时，求线段 AB 的长度；
解 由已知可得直线 l 的方程为 y－2＝12(x－4)，
即 y＝12x.由
y1x 2
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2.直线 y＝x＋2 与椭圆xm2＋y32＝1 有两个公共点，则 m 的取值范 围是( )
A.(1，＋∞)
B.(1,3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞)
D.(0,3)∪(3，＋∞)
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2.1.2 椭圆的几何性质(二)
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规律方法 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转 化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线 方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程， 则(1)直线与椭圆相交⇔ Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔ Δ＝0；(3)直 线与椭圆相离⇔ Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程 及其判别式是最基本的工具.
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跟踪演练1 已知椭圆 2x52 ＋y92＝1 ，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆 上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
解 如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以
知道，直线l与椭圆不相交.设直线m平行于直
线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①
椭圆方程联立消去 y(或 x)后得到的关于 x(或 y)的一元二次方程
求得.
2.1题型一 直线与椭圆的位置关系 例1 在椭圆 x42＋y72＝1 上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16 ＝0的距离最短，并求出最短距离. 解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y＝32x＋m， 代入x42＋y72＝1，
3x62 ＋y92＝1
可得x2－18＝0，
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即 x＝±3 2，则有 A(3 2，32 2)，B(－3 2，－23 2)或 A(－3 2，23 2)， B(3 2，32 2)， 所以|AB|＝ |3 2＋3 2|2＋|32 2＋32 2|2＝3 10.
所以线段 AB 的长度为 3 10.