稷山县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

稷山县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设a=0.5，b=0.8
，c=log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
2． 设a=60.5，b=0.56，c=log 0.56，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a
3． 已知集合{}
2
|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ）
①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4． 已知平面向量(12)=，
a ，(32)=-，
b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．1
5
- B ．119 C ．11 D ．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力． 5． 在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 6． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则
()()
21
0x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞，
，
C ．()1-∞-，
D ．()1+∞，
7． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高 杂质低 旧设备 37 121 新设备
22
202
根据以上数据，则（ ） A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关 C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
8． 在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=8，则a 7=（ ）
A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
9． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ）
A ．S 10
B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
10．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，
则a =（ ）
A ． 1±
B ． ±
C ．
D ．11．已知2,0
()2, 0
ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）
A ．716-
B ．916-
C ．12-
D ．14
-
12．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，点P 在线段AD ′上运动，则异面直线CP 与BA ′所成的角θ的取值范围是（ ）
A ．0＜
B ．0
C ．0
D ．0
14．已知全集U R =，{|239}x
A x =<≤，{|02}
B y y =<≤，则有（ ）
A ．A Ø
B B ．A B B =
C ．()R A B ≠∅ð
D ．()R A B R =ð
15．过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点，与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为（ ）
A ．2x+y ﹣5=0
B ．2x ﹣y+1=0
C ．x+2y ﹣7=0
D ．x ﹣2y+5=0
二、填空题
16．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称； ③y=（
）﹣x
是增函数；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0．
17
由表中数据算出线性回归方程为
=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为
万元．
18．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第
3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．
19()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．
三、解答题
20．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2A=a ．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若c 2=b 2
+
a 2，求B ．
21．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点C 为圆O 上一点，CP 为圆的切线，CE 为圆的直径，3CP =.
（1）若PE 交圆O 于点F ，16
5
EF =
，求CE 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于,A B 两点，CD OP ⊥于D ，求CD 的长.
23．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．
24．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥SC；
（Ⅱ）设D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，求证：FG∥平面SBC；
（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A﹣FD﹣G的余弦值．
25．（本题满分15分）
已知函数c bx ax x f ++=2)(，当1≤x 时，1)(≤x f 恒成立． （1）若1=a ，c b =，求实数b 的取值范围；
（2）若a bx cx x g +-=2
)(，当1≤x 时，求)(x g 的最大值．
【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．
稷山县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵a=0.5，b=0.8
，
∴0＜a ＜b ， ∵c=log 20.5＜0， ∴c ＜a ＜b ， 故选B ．
【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．
2． 【答案】A
【解析】解：∵a=60.5＞1，0＜b=0.56＜1，c=log 0.56＜0， ∴c ＜b ＜a ． 故选：A ．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：{}1,1A =-，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 4． 【答案】A
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B =⇒=，即s
i n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或
2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答
问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 6． 【答案】B 【解析】
试题分析：由
()()()()()2121
02102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()
()11-∞-+∞，，．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 7． 【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表 杂质高 杂质低 合计 旧设备 37 121 158 新设备 22 202 224 合计
59
323
382
由公式κ2
=
≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
8． 【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n }中a 1=2，a 3+a 5=8， ∴2a 4=a 3+a 5=8，解得a 4=4，
∴公差d==，
∴a 7=a 1+6d=2+4=6 故选：B ．
9． 【答案】C
【解析】解：∵S 16＜0，S 17＞0， ∴
=8（a 8+a 9）＜0，
=17a 9＞0，
∴a 8＜0，a 9＞0， ∴公差d ＞0． ∴S n 中最小的是S 8． 故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：由圆226260x y x y +--+=，可得22(3)(1)4x y -+-=，所以圆心坐标为(3,1)，半径为2r =，要使得圆上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于
1
2
r
，即1=
，解得a =，故选B. 1 考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于1
2
r 是解答的关键.
11．【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2
y ax x =+图象相切时，916
a =-，切点横坐标为83，函数2
y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，
观察图象可得1
2
a ≤-，选C ． 12．【答案】A 【解析】
解：
=1×
故选A ．
13．【答案】D
【解析】解：∵A 1B ∥D 1C ，
∴CP 与A 1B 成角可化为CP 与D 1C 成角．
∵△AD 1C 是正三角形可知当P 与A 重合时成角为
，
∵P 不能与D 1重合因为此时D 1C 与A 1B 平行而不是异面直线，
∴0＜θ≤
．
故选：D ．
14．【答案】A
【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，3(log 2,2]A =，(0,2]B =，∵3log 20>，∴A ØB ，选A ． 15．【答案】A
【解析】解：联立，得x=1，y=3，
∴交点为（1，3），
过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点， 与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0， 把点（1，3）代入，得：2+3+c=0， 解得c=﹣5，
∴直线方程是：2x+y ﹣5=0， 故选：A ．
二、填空题
16．【答案】 ②④
【解析】解：①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称，故正确； ③y=（
）﹣x
是减函数，故错误；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0，故正确． 故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．
17．【答案】
．
【解析】
解：由条件可知
=（3+5+10+14）=8
，
=（2+3+7+12）=6， 代入回归方程，可得a=
﹣
，所以
=
x
﹣
，
当x=8时，
y=
，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：
．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
18．【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19． 19．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝
⎦ 【解析】
试题分析：
作出函数y =
()23y k x =-+的图象，
如图所示，
函数y =的图象是一个半圆，直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303
224
k -=
=+，当直线()23y k x =-+
2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤
⎥⎝⎦.111]
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
三、解答题
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2
AsinB+sinBcos2A=sinA，
即sinB（sin2
A+cos2A）=sinA
∴sinB=sinA，=
（Ⅱ）由余弦定理和C2
=b2+a2，得cosB=
由（Ⅰ）知b2
=2a2，故c2=（2+）a2，
可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45°
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
22．【答案】（1）4CE =；（2）CD =. 【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；（2）由切割线定理可得2(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：
（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，0
90CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,
设CE x =，EP =，又因为ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，
所以2
x =
4x =.
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质. 23．【答案】
【解析】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的普通方程为．
∵曲线C的极坐标方程是ρ=4，∴ρ2=16，
∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=16．
（2）⊙C的圆心C（0，0）到直线l：+y﹣4=0的距离：
d==2，
∴cos，
∵0，∴，
∴．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，
连结AH，DM，GF，FM，
∵D，F分别是AC，SA的中点，
点G是△ABD的重心，
∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，
由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1），
=（0，2，﹣1），=（），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），
则，取y=1
，得=（2，1，2），
又平面AFD
的法向量=（1，0，0）， cos
＜
，＞
=
=．
∴二面角A ﹣FD ﹣G
的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
25．【答案】
【解析】（1）]0,222[-；（2）2.
（1）由1=a 且c b =，得4
)2()(2
22
b b b x b bx x x f -++=++=，
当1=x 时，11)1(≤++=b b f ，得01≤≤-b ，…………3分
故)(x f 的对称轴]21,0[2∈-=b x ，当1≤x 时，2
min max ()()1
24
()(1)11
b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩
，………… 5分 解得222222+≤≤-b ，综上，实数b 的取值范围为]0,222[-；…………7分
112≤+=，…………13分
且当2a =，0b =，1c =-时，若1≤x ，则112)(2
≤-=x x f 恒成立， 且当0=x 时，2)(2
+-=x x g 取到最大值2．)(x g 的最大值为2.…………15分。