巧拓展思维，妙解三角形——兼谈2021年高考数学新高考Ⅰ卷第19题的解法

!
若7$
#8!则有H! ,Fra bibliotek$78$
#8!! ,
根据余弦
定理有
21@3(')
7! *8! "H! $ !78
$
#8! %
*8!
"
!8!
#8! ,
$ $+
&#!舍去&
,
" 若7$, !8!则有H! $78$, !8!!
根据余弦
定理有
21@3(')
7! *8! "H! $ !78
$
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
! 真题呈现
高考真题)!"!#年高考数学新高考 ( 卷第#% 题*记 2(') 的内角(!'!) 的对边分别为7!H!8!已 知H! $78!点 = 在边() 上!'=@563(')$7@56)!
)#*证明%'= $H& )!*若(= $!=)!求21@3(')! 此题通过两小题 的 合 理 设 置!综 合 利 用 正 弦 定 理$余弦定理列出方程求解问题!考查逻辑推理$数学 运算等数学 核 心 素 养!破 解 问 题 的 关 键 在 于 善 于 审 题!妙用定理!借助公式!采用有效的策略!合理转化! 优化过程!提升效益!
所以
21@3(')
*21@3')>
7! *8! "H!
$
!H!
*
7!
*
#8! &
H!
"
%H! &
$"!
结合H! $78!整理可得+7! "##78*,8! $"! 即),7"8*)!7",8*$"!
解得8$,7 或8$! ,7!
! 当8$,7 时!则有H! $78$,7!!
根据
余弦定理有
21@3(')
" 真题破解
解析)#*证明%根据正弦定理@563H(') $@568)! 结合 '=@563(') $7@56)! 可得 '=0H$78! 又由于H! $78! 可得 '=0H$H!! 所以'= $H! 直接 利 用 正 弦 定 理!化 角 为 边!并 结 合 题 目条件即可直接证明!轻松解决!合理设置!形成一定 的梯度!使得大部分考生这一小问都可以顺利得分! )!*方法!)互补余弦定理转化法#* 由)#*得'= $H!由于(= $!=)! 则知(= $! ,H!=)$# ,H!
由于 3'=( * 3'=)$'!
则有21@3'=( *21@3'=)$"!
可得#,H! "%8! #!H!
#"H! "%7! * +H!
$"!
化简有##H! $,8! *+7!! 结合H! $78!整理有+7! "##78*,8! $"! 即),7"8*)!7",8*$"!
解得7$ # ,8 或7$ , !8!
)!*借助坐标法 加 以 转 化 与 应 用!合 理 构 建 平 面 直角坐标 系!把 三 角 形 放 置 在 平 面 直 角 坐 标 系 中!通 过点的坐 标 的 建 立$直 线 方 程 的 确 定$角 的 表 示 与 应 用等!化 几 何 图 形 为 纯 代 数 问 题!利 用 平 面 解 析 几 何 来分析与处理!
图#
由于)>
9
('!则有()>'
=> $'=
)= $(=
$# !!
可得)>
$# !8!=>
$
# !H!
根据余弦定理有21@3(')
7! $
*8! "H! !78
7! $
*8! "H!! !H!
7! *)>! "'>! 21@3')> $"21@3(')$ !70)>
7! $
*
# &8! H!
"
% &H!!
确定对应 线 段 的 长 度利 用 余 弦 定 理结 合 两 平 行 线
所对应的同旁内角互补的特点建立关系式结合方程
的转化与求解确定7 与8 的长度关系通过分类讨
论结 合 余 弦 定 理 的 应 用 来 分 析 与 处 理!利 用 互 补 角
在不同三角形内的关系建立余弦定理关系式经常可
在 2('= 中!根据余弦定理知!
21@3'=(
'=! *(=! "('! $ !'=0(=
H! $
*
&H! %
"8!
!H0!H
$#,H#!!H"!%8!&
,
在 2)'= 中!根据余弦定理知!
21@3'=)$'=!!*'=)=0!)"=')!
H! $
* #%H! "7! !H0#,H
#"H! "%7! $ +H! !
),*借助平面几 何 加 以 转 化 与 应 用!合 理 构 建 平 面几何图形中的边$角$线段等!通过平面几何的相关 知识来转 化 边$角 关 系!以 初 中 平 面 几 何 知 识 交 汇 高 中三角函数等相关知识来综合与应用!*
! *&
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
以达到有效转化巧妙处理!
# 教学启示
解决有关解三角形问题!常见的思维方式主要有 以下几种%
)#*借助正弦定理$余弦定理加以转化与应用!合 理沟通三 角 形 中 的 边 与 角!通 过 正 弦 定 理$余 弦 定 理 实现转化!把条件与结论合理沟通!或解方程!或解三 角函数等!借助代数运算!进行逻辑推理与运算处理!
互补角的余弦值之和为"建立关系式结合方程的转
化与求解确定7 与8 的长度关系通过分类讨论结
合余弦定理 的 应 用 来 分 析 与 处 理!在 现 成 的 三 角 形
中利用互补角的性质在不同三角形内的关系建立余
弦定理关系式思路自然水到渠成!
方法")互补余弦定理转化法!*
如图#所示!延长'=!过点) 作)> 9(' 交'= 的延长线于点 >!
命题
!"!!年!月 上半月!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!新颖试题
考试
巧拓展思维妙解三角形
*** 兼谈!"!#年高考数学新高考 ( 卷第#%题的解法
" 江苏省灌南高级中学 ! 杨 银
解三角形问题经 常 与 平 面 几 何$函 数 与 方 程$三 角函数$平 面 向 量$基 本 不 等 式 等 相 关 知 识 加 以 交 汇 与综合!充分落实新课标中'在知识交汇点处命题(的 指导思想!是 高 考 命 题 中 的 一 大 基 本 考 点!下 面 笔 者 结合!"!#年高考数学新高考 ( 卷中第#%题谈谈解三 角形问题思路分析与破解策略!
7! *8! "H! $ !78
$
7! *%7! ",7! +7!
$ $+
&#!舍去&
"
当8$
! ,7
时!则有H!
$78$
!7!! ,
根据
余弦定理有
21@3(')
7! *8! "H! $ !78
$
7!
*
&7! %
"
&7!
!7! ,
$ $#!
%#!成立!
,
综上分析!可知21@3(')
$ $#!!
根据辅助线的 构 造通 过 平 行 的 比 例 关 系
*% !
命题 考试 新颖试题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"!!年!月 上半月
%8! &
*8! " ,8!
,8! !
$ $#!
%#!成立!
综上分析!可知21@3(')
$ $#!!
根据三角形中两个角 3'=( 与 3'=)互
补的性质利 用 余 弦 定 理 建 立 对 应 的 关 系 式通 过 两