三个“二次”之间的关系

x y o 1<>
三个二次的关系问题
◎复习目标：（1）掌握二次函数的对称性、增减性及其图像与性质的关系 （2）理解二次函数与二次方程、二次不等式之间的内在联系 ◎知识梳理：
（1）二次函数的解析式的三种形式：一般式：2
(0)y ax bx c a =++≠ 顶点式：2
()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 为二次函数的图像的顶点坐标。

两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，其中12(,0),(,0)x x 为二次函数的图像与x 轴交点的坐标。

（2）二次函数的图像是一条抛物线，当0a >时，图像开口朝上；当0a <时，图像开口朝下。

图像的对
称轴为2b x a
=-。

当判别式2
40b ac ∆=->时，二次函数的图像与x 轴有两个交点，当0∆=时，二次函数的图像与x 轴有且仅有一个交点，当0∆<时，二次函数的图像与x 轴没有交点。

（3）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间有紧密的关联。

一元二次不等式
20(0)ax bx c a ++>>的解集就是二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像中在x 轴上方的点的横坐标x
的集合，一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。

◎例题精讲：
例1、设0abc >,二次函数2
()f x ax bx c =++的图像可能是（ ）D
变式训练：设0b >，二次函数2
2
1y ax bx a =++-的图象如下图所示之一，则a 的值为（ ）B
C 15
-- D 、
A 、1B
15
-+
例2、二次函数2
()25f x x bx =++，若p q ≠，使()()f p f q =，则()f p q += 5
变式训练：已知函数2
2
()2,()962f x x x a f bx x x =++=-+，其中,,x R a b ∈为常数，则方程
()0f ax b +=的解集为 ∅
x y o x y o x
y o
例3、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A ．),3()1,3(+∞⋃- B.),2()1,3(+∞⋃- C ． ),3()1,1(+∞⋃- D. )3,1()3,(⋃--∞
变式训练1：已知函数2,
0()2,
0x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是（ ）A
A 、[1,1]-
B 、[2,2]-
C 、[2,1]-
D 、[1,2]-
变式训练2：函数2
44,1
()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨
-+>⎩
的图像和函数2()log g x x =的图像的交点个数是 个。

例4、已知函数(4),0
()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩
，求(1)f 、(3)f -、(1)f a +的值.
变式训练1：设二次函数2
()f x ax bx c =++的最大值为2,(1)6,(0)3,f f -=-=-求()f x 的表达式。

解：依题意知263424a b c c ac b a
⎧
⎪++=-⎪⎪
=-⎨⎪-⎪=-⎪⎩解得9,6,3a b c =-==-或1,2,3a b c =-=-=- 故所求二次函数解析式为2
()963f x x x =-+-或2
()23f x x x =---
变式训练2：已知二次函数()f x 的图像关于2x =对称，其图象顶点为A ，图象与x 轴交于点(1,0)B -和C 点，且ABC ∆的面积为18,求此二次函数的解析式。

解：因为对称轴为2x =，故B 、C 关于2x =对称，(5,0)C ∴()0f x ∴=有两根－1,5,可设
2()(1)(5)(2)9f x a x x a x a =+-=--，由18ABC S ∆=得
16|9|182a ⨯⨯=，2
3
a ∴=±，故所求为22810()333f x x x =
--或22810
()333
f x x x =-++ 例5、已知不等式2
0ax bx c ++>的解为(0)x αβαβ<<<<，求不等式2
0cx bx a ++<。

变式训练：若不等式2
0ax bx c ++>的解集为(4,1)-，则不等式2
(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（A ）
A 、4
(,1)3
-
B 、4(,1)(,)3
-∞-⋃+∞
C 、(1,4)-
D 、(,2)(1,)-∞-⋃+∞
三个二次的关系问题专题训练
1. 已知函数2
4(13)y x ax x =-≤≤是单调递增函数, 则实数a 的取值范围是 ( ) A
A. ]2
1 ,(-∞ B. ]1 ,(-∞ C. ]23 ,21[ D. ) ,2
3 [∞+
2、下列图中bx ax y +=2
与)0(≠+=ab b ax y 的图像只可能是 ( ) D
3. 函数x x y 22
-=，∈x [0，3]的值域是
（ ）B
A 、[)+∞-,1
B 、[－1，3]
C 、[0，3]
D 、[－1，0] 4. 不等式2
20ax bx ++>的解集是)3
1
,21(-
, 则b a -等于 ( ) C A. －4 B. 14 C. －10 D. 10
5. 若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则（ ）D A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-=
6. 已知2
()(0)f x ax bx c a =++>的对称轴方程为2x =, 则下列判断正确的是 ( ) C
A. )(f )2(f π=-π
B. )(f )22(
f π< C. )(f )22(f π> D. )(f )2
2
(f π≤ 7.设二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠，若12()()f x f x =（其中12x x ≠），则12()2
x x f +等于（ ）D
A.－a b 2
B.－a
b
C.c
D.a b ac 442-
8.不等式04)2(2)2(2
<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_ (]2,2-_
9.已知二次函数12)(2
++=ax ax x f 在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为 －3或
8
3 10. 已知f x ax bx ()=+2
，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.[6,10]
11. 已知函数2
()4(0)f x ax x b a =++<，设关于x 的方程()0f x =的两实根为12,x x ，()f x x =的两实根为,αβ
（1）若,a b 均为负整数，||1αβ-=，求()f x 的表达式 （2）若a 为负整数，(1)0f =，求证：121||2x x ≤-<
21244()
42,|||2
|2[1,2)f x x x x x a a。