《微积分II》期中综合练习X(解答)

《微积分II 》期中综合练习（解答） 2012.4.17
一、填空题：（每小题4分，共32分） 1、001
2
11(1)11
lim
lim
.(1)2(1)2
x
x x t dt
x x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
→→--=====---⎰
型
2、
33
2
2e
e e
221
1d d ln lim 1 1.(ln )(ln )(ln )(ln )A x x x x x x A +∞
+∞+∞→+∞
⎛⎫
==-=-= ⎪⎝⎭
⎰
⎰ 3、设()f x 连续，且120
()3(),()f x x f x dx f x =-=⎰
则21
().4
f x x =-
【注】 等式两边积分得
11
1
1112
2300
0111
()d d 3()d ()d d .41212
f x x x x f x x f x x x x x =-⇒
===⎰
⎰⎰⎰
⎰
4、
设()f x =
则定义域f D =22{(,)|14}.x y x y ≤
+<
5、6666600000cos cos 1d d d d cos d sin .2
x y x x y x x y x x x x x ππ
πππ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 6、设(,),
(,)f x y x y xy f x y -+==
则2
21().4
y x - 【注】221
(,)[()()].4
f x y x y xy x y x y -+==
+-- 7、函数ln(2)z x x y =+的偏导
z y ∂=∂22x x y
+， 222
22(2)24.2(2)(2)
z z x x y x y
y x x y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-==== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂+++⎝⎭⎝⎭ 8、设3
3
z x y xy =+，则 2332(1,1)
(1,1)d [(3)d (3)d ]|4d 4d .z
x y y x x xy y x y =+++=+
二、计算下列各题：（每小题8分，共40分） 1
、
(
)π
ππ2
2sin 2
333πππ1
666
π14sin d (22cos2)d 2sin 2.32x t
x t t t t t t =======-=-=-⎰⎰令 2、
e
e
e
e
e
22
111
1
1
(ln )d [(ln )]2ln d e 2[ln ]2d e 2.x x x x x x x x x =-=-+=-⎰
⎰⎰
3、设函数(,)z f x y =由方程1z
e x y z =++-确定，求
.z z x y
∂∂∂∂、。

解：方程两边分别关于x 、y 求偏导得
1;1.z
z
z z z z
e e x x
y y
∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂ 由此分别解得
1
1;.11
z z z z x e y e ∂∂==∂-∂- 4、设,y z f xy x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，其中f 可微，求,
z z
x y
∂∂∂∂。

12212,;1,.z y y f xy f y f x x x x z y f xy f x f y y x x
∂∂⎛⎫
==-+ ⎪∂∂⎝⎭
∂∂⎛⎫==+ ⎪∂∂⎝⎭解:
5、
D
xydxdy ⎰⎰ ，其中D 是由1
1,2,,2x x y y x ====所围平面图形。

()22
2222111
112
2
1111:
d d d d d 4d 22112ln (6ln 2).22
x x
D
xy x y x xy y x y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
==
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=
-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解
三、应用题：（24分）
1、（12分）求曲线2
y x =与直线y x =所围成的平面图形的面积及所围图形 绕x 轴旋转一周的体积。

x
解：令解得(正值)
x =1, y =1 . 于是所求平面图形的面积为
1
1
2
2300
1
11
()d .2
36
S x x x x x ⎛⎫=-=-= ⎪
⎝⎭⎰1
1
2
4
3500
1
12π
π()d π.3
515
x V x x x x x ⎛⎫=-=-=
⎪
⎝⎭⎰所围图形绕x 轴旋转一周的体积为
2y x y x
=⎧⎨=⎩
2、（12分） 某工厂生产两种电子元件，单位产品的成本分别为36元和40元，销售量分别为 1122400.5,
600.4q p q p =-=-其中12,p p 分别为两种电子元件的售价，问
两种元件如何定价，才能使厂家获得最大利润？最大利润是多少？
解：所求利润函数为
22121122121122(,)()(3640)3840580.5700.4.
L p p p q p q q q p p p p =+-+=-+-+-
分别关于 p 1、p 2 求偏导并分别令其为0得
12112
2580,58,
87.5.700.80,p p L p p p L p '
≡-=⎧=⎧⎪⇒⎨
⎨'
=≡-=⎩⎪⎩
所以两种元件分别定价为 58元和 87.5元，才能使厂家获得最大利润。

此时最大利润为
22max (58,87.5)58580.5587087.50.487.53840().L L ==⋅-⋅+⋅-⋅-元??
四、证明题：（4分） 设()f x 在[]0,1上连续，且
10
()0f x dx =⎰
，则至少存在一点()0,1ξ∈ 使
()(1)0f f ξξ+-=。

证：令 F (x )=()f x +f (1－x )， 则
111
1
1
1
1
d d ()d ()d (1)d ()d ()d 2()d 0.x t x t
F x x f x x f x x f x x f t t f x x =-=-=+-=====-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰令
根据积分中值定理，存在一点()0,1ξ∈ 使1
()()(10)()d 0F F F x x ξξ=-=
=⎰。

故得
()(1)0f f ξξ+-=。

(证毕)。