4-2函数的凸性4-4作图

x

2

x

0
4．拐点
称连续函数f ( x ) 凹凸性的分界点为曲线 y = f ( x ) 的拐点．
表示法 x0 , f ( x0 )
曲线的弯曲方向——凹凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; (1) 拐点的必要条件：
曲线的拐点必是二阶导数为零或二阶导数不存在的点．
(2) 拐点的充分条件：
若 f ( x)在 x0左右异号，则 x0 , f ( x0 )是曲线y = f ( x )
f
( x)


4( x x3
2)
,
f
( x)

8( x x4
1
x2
e 2 的图像．
2
【解】 定义域： (, ) 偶函数
(x)
1
x2
xe 2 ,

( x)
( x 1)( x 1) x2 e2
2
2
( x) 0 x1 0, ( x) 0 x2 1, x3 1
x (, 1) 1 (1, 0) 0 (0,1) 1 (1, )
A oa
曲线的纵坐标
x0 b x
切线的纵坐标
证明：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
(
2!
)
(
x

x0
)2
介于x与x0之间
由 f ( x) 0 得 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
(2) 若f ( x ) 是[a, b]上二阶可导的凸函数，则

f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0


0

x


2

所以f ( x )是凹函数，又
f
(0)
f

2


0
由凹函数性质：
其表示的曲线上任两点间的曲线段均在两点连线上方．

x


0,

2
，有f
(
x)

sin
注意 (1) 若f (x) 0 ，而取等号的点是孤立点，则结果仍成立．
(2) 函数的凸性是相对于一个区间而言，而不能指某一点．
3．性质
(1) f ( x ) 是二阶可导的凸函数，则其图像上任一点处的
切线总在曲线下方．
y
y f ( x) B 即 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
的拐点．
【例3】求 y ( x 1) 3 x2 的凹凸区间及拐点．
【解】
y


5
x3

2
x3


5 3
2
x3

2 3

x
1 3
y

10
1
x3

2
4
x3

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10 x 2
9
9
93 x4
令
y

0得
x1


1， 5
y 不存在的点 x2 0 .
x

,

x1 2
x2
2

x12
2
x22
【证明】令 f ( x) x2 ，则 f ( x) 2 0 可知 f ( x)
x1, x2 R
( x1 x2 )
有
f ( x1 ) 2
f ( x2 )
f

x1
2
x2

即

x1
2
x2
lim f ( x) ax2 bx c 0
x
(4) 当 y = f (x) 有斜渐近线 y = ax +b 时，有 f (x) = ax + b + o(1)
即当 x 充分大时有 f ( x) ax b
三、函数作图
利用导数全面讨论函数： 利用 f (x) 讨论f (x) 的单调性及其极值． 利用 f (x) 讨论f (x) 的凹凸性及其拐点．
(x

x1 )
y x1 (1 )x2

f ( x1 )
f
( x1 ) x1

f ( x2 ) x2
(
x1

(1

)x2

x1 )
f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
【例1】证明不等式 x1 x2 x12 x22
2
2
分析：
变形后的不等式
§4.2 函数的凸性与作图
凹凸性与拐点 渐近线 函数作图
一、函数的凸性
1．定义
设f ( x ) 在[a, b]上有定义，若x1, x2 a,b ( x1 x2 ) ，有
(1)
f ( x1 ) 2
f ( x2 )

f

x1 x2 2
,则称f ( x )是[a, b]上的凸函数．
2
f ( x )是凸函数，图像向下凸，记作f ( x )
f ( x )是凹函数，图像向下凹，记作f ( x )
2．判别
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
f ( x)递增
oa
bx
f (x)递减
定理：设f ( x ) 在[a, b]上连续，在(a, b)内有二阶导数．

1 5

1 5


1 5
,
0

0
0,
拐点：
y

0
不
存
在




1 5
,

5
6 3 25


y

拐 点


说明 拐点也可用三阶导数判断．
若 f ( x )在 x0 的邻域内三阶可导，且 f ( x0 ) 0 ，
但 f ( x0 ) 0，那么 x0, f ( x0 )是曲线 y = f ( x )的拐点．

2

令

0
得
x0

arccos
2


x (0, x0 ), f ( x) 0 f ( x) f ( x) f (0) 0
x


x0
,

2

,
f (x) 0
f (x)

f (x)
f


2


0
证法二：令x f(0x,)2s，in有x f
【例】 y x 1 sin x x
a
lim x
f (x) x

lim
x
x
1 sin x x x

lim
x

1

1 x2
sin
x


1
b lim f ( x) ax lim 1 sin x 0
x
x x
所以有斜渐近线 y = x
注意 (1) a = 0 即为水平渐近线． (2) a, b 有一不存在，说明无斜渐近线． (3) 依此法，也可求出曲线 y = f (x) 的渐近抛物线．
f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) f ( x0 ) (1 ) f ( x0 ) f ( x0 )
即 f x1 (1 )x2 f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
说明
① 当 1 时，即为凸函数定义．
2 0,
y

7
4



20
所以曲线在 (0, 2 ) 内有两个拐点
3
4
,
0

,

7
4
,
0

二、渐近线
定义：当曲线 y=f(x) 上的一动点P沿着曲线移向 无穷远点时，如果点P到某定直线L的距离趋近于零， 那么直线 L 就称为曲线 y=f(x) 的一条渐近线。
x
x
的图形的水平渐近线．
例如 y = arctan x 水平渐近线为：y
2
3．斜渐近线
若曲线 y = f (x) 有斜渐近线 y = ax +b
已知y = f (x)，求 a , b．
解 由图 AB 0 AC 0 而 AC f ( x) ax b
2 ②凸函数的曲线上任意两点的连线必在曲线上方．
y
f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
f x1 (1 )x2 A
y f (x)
B
x2
x1
o x1 (1 )x2 x
AB方程:
y
f ( x1 )
f
( x1 ) x1

f ( x2 ) x2
2

x12
2
x22
x1 x2 2
x1 x2 2

x12 x22 2
当x1 x2 时，等号成立．
证毕．
【例2】证明：当

0 x 2
时，有 2 x sin x x

证法一：(常规证法) 令 f ( x) sin x 2 x 则
f
(x)

cos
x
x1, x2 [a, b] ( x1 x2 ) 及 (0,1) 有
f x1 (1 )x2 f ( x1 ) 1 f ( x2 ) (Jensen不等式)
证明： (0,1) x0 x1 (1 )x2 介于x1与x2之间
【例4】求曲线 y = sin x + cos x 在 (0, 2 ) 内的拐点．
【解】 y cos x sin x, y sin x cos x, y cos x sin x
令 y 0
得
x1

3
4
,
x2

7
4
y

3
4


(1)若 f ( x) 0 ，则f ( x )在[a, b]上是凸函数．
(2)若 f ( x) 0 ，则f ( x )在[a, b]上是凹函数．
反之，设f ( x ) 在[a, b]上连续，在(a, b)内有二阶导数．
若f ( x )在[a, b]上是凸(凹)函数，则 f ( x) 0或 0
(2)
f ( x1 ) 2
f ( x2 )

f

x1 x2 2
,则称f ( x )是[a, b]上的凹函数．
y
几何意义：
y f (x)
y
y f (x)
图形上任意
图形上任意
弧段位于所
弧段位于所
张弦的下方 o
张弦的上方
x1
x1 x2 2
x2
x
o x1 x1 x2 x2 x
① f (x) 0, f (x) 0 f (x)
② f (x) 0, f (x) 0 f (x)
③ f (x) 0, f (x) 0 f (x)
④ f (x) 0, f (x) 0 f (x)
函数图形可看成分段拼装的曲线构件．
x
，则
sin
x

2

x

0
x
f
(x)
x cos x sin x x2

cos x x2
( x tan x)
0

0

x


2


f
(
x)
,
x


0,

2


f (x)
f


2


2

证法三：(利用凹凸性)
令 f ( x) sin x 2 x ，则
y = ax +b
B C y = f (x) A
x
lim f ( x) ax b 0 (＊) x
f ( x) ax b
lim
0
x
x
即
lim
x

f (x) a x
b x


0
f (x) a lim
x x
再由(＊)式得 b lim f ( x) ax x
(x)

0

( x)

0

0
(x)
拐 点

1,

1
2
e

极
拐
大
点
值
1 2

1,

1
2
e

lim( x) 0 水平渐近线 y = 0
x
( x)
1
x2
e2
2
【例2】作函数
f
(x)

4( x 1) x2

2的图像．
【解】定义域：x 0
函数作图的一般步骤 (1) 定义域 、奇偶性、周期性、间断点、与坐标轴的交点； (2) 求出 f (x), f (x) 的零点和不存在的点； (3) 列表讨论单调区间、极值、凸性区间、拐点； (4) 确定渐近线，观察函数的变化趋势； (5) 作图.(除特殊点外，必要时可再多求几个点)
【例1】作函数 ( x)
由性质(1)得
f ( x1) f ( x0 ) f ( x0 )( x1 x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )(1 )( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x2 x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x2 x1)
1．垂直渐近线
若 lim x x0
f (x) 或
lim
x x0
f ( x) ，则
x

x0 是函数 y = f (x)
的图形的垂直渐近线．
例如
y

1 ( x 1)( x 3)
垂直渐近线为： x = 1 和 x = －3
2．水平渐近线
若 lim f ( x) A或 lim f ( x) A，则 y = A 是函数 y = f (x)