高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新

解
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
解析
设对称点 M′的坐标为(a，b)，则
2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0， ba－－02×23＝－1， 设直线 m 与直线 l 的交点为 N，
解得 M′163，3103.
则由23xx－ －32yy＋ －16＝ ＝00， ， 得 N(4,3)． 又∵m′经过点 N(4,3)， ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.
[跟踪训练 3] 已知直线 l：x－2y＋8＝0 和两点 A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线 l 上求一点 P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线 l 上求一点 P，使||PB|－|PA||最大．
解 (1)易知 A，B 两点在直线 l 的同侧． 设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m，n)，
kAD＝－30－－3－4＝－3，kBC＝36－ －52＝－12.
解
所以 kAB＝kCD， 由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 AB∥CD， 由 kAD≠kBC，所以 AD 与 BC 不平行． 又因为 kAB·kAD＝13×(－3)＝－1， 所以 AB⊥AD.故四边形 ABCD 为直角梯形．
解
[条件探究] 已知点 A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点 D 的坐标，使四边
A．3x－2y＋2＝0
B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0
D．2x＋3y＋8＝0
答案
(3)点关于点对称 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，求直线 l 的方程． (4)线关于线对称 求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′的 方程．
解
(1)判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线都有斜率的前提下，只 需看它们的斜率之积是否等于－1 即可，但应注意有一条直线与 x 轴垂直， 另一条直线与 x 轴平行时，两直线也垂直．
(2)直接使用 A1A2＋B1B2＝0 判断两条直线是否垂直更有优势．
[跟踪训练 1] 已知直线 l1：mx＋4y－2＝0 与直线 l2：2x－5y＋n＝0 垂
[解析] (1)设对称点 Q 的坐标为(a，b)，
a－2 3＋b＋2 4－2＝0， ba－＋43＝1，
解得ab＝ ＝－ 5，2， 即 Q(－2,5)．
解析
(2)由平面几何知识易知所求直线与已知直线 2x＋3y－6＝0 平行，则可 设所求直线方程为 2x＋3y＋C＝0.
在直线 2x＋3y－6＝0 上任取一点(3,0)， (3,0)关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，∴C＝8. ∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0.
解 解法一：由直线 2x＋3y＋10＝0 得直线的斜率为 k＝－23，故所求 直线的斜率 k′＝－1k＝32，由直线的点斜式方程得直线 l 的方程为 y＋1＝32(x －1)，即 3x－2y－5＝0.
解法二：因为直线 l 与直线 2x＋3y＋10＝0 垂直，可设直线 l 的方程为 3x－2y＋D＝0，又因为直线 l 过点 P(1，－1)，所以 3×1－2×(－1)＋D＝0， 所以 D＝－5.
(1)若直线 ax＋2y－1＝0 与直线 2ax－2y＋1＝0 垂直，则 a 值为( D )
A．0 或 2
B．－ 2
C．±2 (2)已知直线
l1，l2
的斜率分别为
D．± k1，k2，且
2 k1＝3，l1⊥l2，则
k2＝___－__13___.
(3)已知直线 l1 的倾斜角为 30°，直线 l2 经过点 A(0,5)，B( 3，2)，则直 线 l1 与直线 l2 的位置关系为___l1_⊥__l2__.
所以直线 l 的方程为 3x－2y－5＝0. 解
题型三 对称问题
例 3 (1)点关于线对称
点 P(－3,4)关于直线 x＋y－2＝0 的对称点 Q 的坐标是( )
A．(－2,1)
B．(－2,5)
C．(2，－5)
D．(4，－3)
(2)线关于点对称
与直线 2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率 不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
第二章 平面解析几何
直线及其方程 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直 的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用． 学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条 件． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
③若 1－a≠0 且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，－1－a，k2＝－2a＋3.
解
当 l1⊥l2 时，k1k2＝－1， 即－a1＋ －2a·－2aa－＋13＝－1， ∴a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2. 解法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得 a＝±1， ∴a＝±1 时，l1⊥l2.
解
(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝0(m 为参 数)．
(2)与直线 y＝kx＋m 平行的直线方程可设为 y＝kx＋b(b≠m)；与它垂直 的直线方程可设为 y＝－1kx＋n(k≠0)．
[跟踪训练 2] 求过点 P(1，－1)与直线 2x＋3y＋10＝0 垂直的直线 l 的 方程．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
解
解法二：由解法一知，l1 与 l2 交点 P(0,2)， ∵直线 l 与 l3 垂直，∴kl＝－k13＝－43， ∴直线 l 的方程为 y－2＝－43x，即 4x＋3y－6＝0. 解法三：设过 l1，l2 交点的直线方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，① ∵l 与 l3：3x－4y＋5＝0 垂直， ∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0， ∴λ＝11，代入①式得 4x＋3y－6＝0， 即直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
解析 答案
题型二 利用垂直关系求直线方程
例 2 求经过两条直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P 且 与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程．
[解] 解法一：联立 l1，l2 的方程xx－ ＋2y－y＋24＝＝00， 得交点 P(0,2)，设过 P 点与 l3 垂直的直线方程为 4x＋3y＋D＝0，代入 P 点坐标得 4×0＋3×2＋ D＝0，所以 D＝－6.
1
PART ONE
核心概念掌握
在平面直角坐标系中，如何判断两条直线垂直？能否利用直线的斜率 关系来确定两直线垂直的条件？
两直线垂直，则它们的斜率有何关系？依此你能解决哪些问题呢？
知识点 两条直线的垂直 (1)一般地，若已知平面直角坐标系中的直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2，可得 l1⊥l2⇔ 01 _____k_1_k2_＝__－__1______. (2)设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.因为 v1＝(A1，B1) 是直线 l1 的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线 l2 的一个法向量，所以 l1⊥l2 ⇔ 02 _____v_1_⊥__v_2_____⇔ 03 _________A_1A__2＋__B__1B_2_＝__0__________.
解析
有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称 ①点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P′(x′，y′)满足xy′ ′＝ ＝22ab－ －xy， . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称 ①设点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为 A′(m，n)， mn－－ba×－AB＝－1， 则有 a＋m b＋n A· 2 ＋B· 2 ＋C＝0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
解析
(3)设 l1 与 l 的交点为 A(a,8－2a)， 则由题意知，点 A 关于点 P(0,1)的对称点 B(－a,2a－6)在 l2 上， 代入 l2 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上， ∴由两点式得直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0. (4)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂 直．( √ )
2．做一做
直且垂足为(1，p)，则 m－n＋p 的值为( )
A．－24
B．20
C．0
D．－4
解析 由已知，得 A1A2＋B1B2＝2m＋(－5)×4＝0，∴m＝10，l1 的方程 为 5x＋2y－1＝0，∴5×1＋2×p－1＝0，∴p＝－2，∴垂足为(1，－2)，∴
2×1－5×(－2)＋n＝0，∴n＝－12，∴m－n＋p＝10＋12－2＝20.故选 B.
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 两条直线的垂直
例 1 当 a 为何值时，直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0 与直线 l2：(a －1)x＋(2a＋3)y＋2＝0 互相垂直？
[解] 解法一：由题意，直线 l1⊥l2. ①若 1－a＝0，即 a＝1 时，直线 l1：3x－1＝0 与直线 l2：5y＋2＝0 显 然垂直；②若 2a＋3＝0，即 a＝－32时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2： 5x－4＝0 不垂直；