全国通用近年高考数学一轮复习第十四单元椭圆、双曲线、抛物线高考达标检测(四十二)圆锥曲线的综合问题

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第十四单元椭圆、双曲线、抛物线高考达标检测（四十二）圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明问题理
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高考达标检测（四十二） 圆锥曲线的综合问题—-最值、范围、证明问
题
1．已知A ，B 分别是椭圆C :错误!＋错误!＝1（a >b 〉0)的长轴与短轴的一个端点，F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，D 是椭圆上的一点，△DF 1F 2的周长为6，｜AB ｜＝7.
(1）求椭圆C 的方程；
(2)若P 是圆x 2＋y 2
＝7上任一点,过点P 作椭圆C 的切线，切点分别为M ，N ，求证：PM ⊥PN 。

解：（1）由△DF 1F 2的周长为6，得2a ＋2c ＝6,
由|AB |＝错误!，得a 2＋b 2＝7,
又b 2＋c 2＝a 2，∴a ＝2，b ＝3，c ＝1。

故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1。

（2）证明:①当切线PM 的斜率不存在或为零时，此时取P (2，错误!）,
显然直线PN :y ＝错误!与直线PM :x ＝2恰是椭圆的两条切线．
由圆及椭圆的对称性，可知PM ⊥PN .
②当切线PM ，PN 斜率存在且不为零时，
设切线PM 的方程为y ＝k 1x ＋m ， PN 的方程为y ＝k 2x ＋t ，P （x 0，y 0）（x 0≠±2)，
由错误!消去y ，得（4k 错误!＋3)x 2＋8k 1mx ＋4(m 2
－3)＝0，
∵PM 与椭圆C 相切,
∴Δ＝64k 错误!m 2－16（4k 错误!＋3）（m 2－3）＝0，
∴m 2＝4k 错误!＋3。

∵y 0＝k 1x 0＋m ,∴m ＝y 0－k 1x 0，
∴（y 0－k 1x 0)2＝4k 错误!＋3.
即（x 错误!－4）k 错误!－2x 0y 0k 1＋y 错误!－3＝0；
同理（x 错误!－4）k 错误!－2x 0y 0k 2＋y 错误!－3＝0，
∴k 1，k 2是方程(x 错误!－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 错误!－3＝0的两个根，
又∵点P 在圆上,∴x 错误!＋y 错误!＝7，∴y 错误!＝7－x 错误!,
∴k 1k 2＝错误!＝错误!＝－1，∴PM ⊥PN 。

综上所述,PM⊥PN。

2．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋错误!2＝错误!上．
(1)求椭圆C的方程；
(2）过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求｜AB|＋｜CD｜的最小值．
解：（1)由题意可知2b＝2，b＝1.
又椭圆C的顶点在圆M上，则a＝错误!，
故椭圆C的方程为y2
2
＋x2＝1。

（2)当直线AB的斜率不存在或为零时，
｜AB｜＋｜CD|＝3错误!；
当直线AB的斜率存在,且不为零时,
设直线AB的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1)，B（x2，y2）, 联立错误!消去y，整理得(k2＋2）x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝－错误!，
故|AB｜＝错误!·错误!＝错误!。

同理可得:｜CD|＝错误!，
∴｜AB|＋｜CD|＝错误!.
令t＝k2＋1，则t＞1,0〈错误!<1,
∴｜AB|＋｜CD|＝错误!＝错误!＝错误!，
当0〈错误!<1时，2＜－错误!2＋错误!≤错误!，
∴错误!≤｜AB｜＋|CD｜＜3错误!，
综上可知，错误!≤｜AB｜＋|CD｜≤3错误!，
∴|AB|＋|CD|的最小值83
3。

3．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a>b>0）的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为错误!，P 为C上的动点,且满足错误!＝λ错误! (λ〉0)，｜错误!|＝｜错误!1｜，△QF1F2面积的最大值为4。

（1)求点Q 的轨迹E 的方程和椭圆C 的方程；
（2）直线y ＝kx ＋m (m ＞0）与椭圆C 相切且与曲线E 交于M ，N 两点，求S △F 1MN 的取值范围．
解：（1)由椭圆定义得:｜F 2Q |＝｜F 2P |＋|PQ |＝|F 2P |＋|PF 1｜＝2a ,
所以点Q 的轨迹是以F 2为圆心,2a 为半径的圆．
当QF 2⊥F 1F 2时，△QF 1F 2面积最大，
所以错误!×2c ×2a ＝4，即ac ＝2.
又错误!＝错误!，可得a ＝2，c ＝1。

所以点Q 的轨迹E 的方程为x 2＋（y ＋1）2＝16,椭圆C 的方程错误!＋错误!＝1.
（2）由错误!消去y ，整理得（3k 2＋4）x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，
则Δ＝36k 2m 2－4（3k 2＋4)(3m 2－12）＝0，
化简得3k 2－m 2＋4＝0，即k 2＝错误!.
由k 2＝错误!≥0及m ＞0，得m ≥2.
设圆心F 2(0，－1）到直线MN 的距离为d ,
则d ＝|m ＋1｜1＋k
2＝ 错误!， 所以弦长|MN ｜＝2错误!＝2 错误!。

设点F 1（0，1)到直线MN 的距离为h ，
则h ＝错误!＝ 错误!,
所以S △F 1MN ＝错误!｜MN |·h ＝ 错误!＝ 错误!.
由m ≥2，得 错误!∈［错误!，错误!)，
所以S △F 1MN 的取值范围为[错误!，错误!）．
4。

如图，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1,F 2，|AB |＝4，｜F 1F 2｜＝2错误!.
（1)求椭圆E 的方程；
（2）直线y ＝kx ＋m （k ＞0）交椭圆于C ,D 两点，与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于M ，N 两点（M ，N 不重合)，且｜CN ｜＝｜DM ｜,求k 的值；
(3)在(2)的条件下，若m ＞0，设直线AD ,BC 的斜率分别为k 1，k 2,求错误!的取值范围．
解:(1）设椭圆E 的方程为x 2
a
2＋错误!＝1（a >b >0),
由｜AB｜＝4，|F1F2｜＝2错误!，可知a＝2，c＝错误!,则b＝1，
所以椭圆E的方程为错误!＋y2＝1.
（2)设D(x1，y1），C(x2，y2），易知N(0，m)，M错误!，由错误!消去y，整理得(1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＞0，得4k2－m2＋1＞0,即m2＜4k2＋1,
且x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.
又|CM｜＝|DN|，即错误!＝错误!,可得x1＋x2＝－错误!，即错误!＝－错误!，解得k＝错误!。

(3)错误!＝错误!＝错误!
＝2－x12－x2
2＋x12＋x2
＝错误!＝错误!2.
由题知，点M，F1的横坐标x M≥xF1,有－2m≥－错误!,则m∈错误!,满足m2＜2.
即k
1
k
2
＝－
m＋1
m－1
＝－1＋错误!，则错误!∈(1,7＋4错误!］，
所以错误!的取值范围为(1，97＋56错误!］．
已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的右准线l的方程为x＝错误!，短轴长为2.
(1）求椭圆C的方程；
（2)过定点B（1，0)作直线l与椭圆C相交于P,Q(异于A1,A2)两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M(2x0，y0）．
①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；
②求证：点M始终在一条定直线上．
解：（1）由错误!解得错误!或错误!
故椭圆C的方程为错误!＋y2＝1或错误!＋y2＝1.
(2)①不妨取椭圆C的方程为错误!＋y2＝1，A1（－2,0),A2（2,0）,
则MA1的方程为：y＝错误!（x＋2），
即x＝错误!y－2,代入错误!＋y2＝1, 得错误!2＋y2＝1,
即错误!y2－错误!y＝0。

∴y P＝错误!＝错误!,
则x P＝2x0＋2
y
·错误!－2＝错误!－2.
即P错误!.
同理:MA2的方程为y＝错误!（x－2),即x＝错误!y＋2,代入错误!＋y2＝1, 得错误!2＋y2＝1，
即错误!y2＋错误!y＝0。

∴y Q＝错误!＝错误!。

则x Q＝错误!·错误!＋2＝错误!＋2。

即Q错误!。

②证明：设P(x P，y P)，Q(x Q，y Q），
∵P，Q，B三点共线,∴k PB＝k QB，即
y P
x P－1
＝错误!。

∴错误!＝错误!，
即错误!＝错误!.
由题意知,y0≠0，
∴错误!＝错误!。

即3(x0＋1)(x0－1)2－(x0＋1)y错误!＝（x0－1)(x0＋1）2－3（x0－1）y错误!.∴（2x0－4)（x错误!＋y错误!－1)＝0。

则2x0－4＝0或x错误!＋y错误!＝1。

若x2，0＋y错误!＝1，即错误!＋y错误!＝1,
则P，Q，M为同一点,不合题意．
∴2x0－4＝0，即点M始终在定直线x＝4上．。