人教B版高中数学必修四翠园中学-第二学期期中考试

翠园中学2014-2015学年第二学期期中考试
高二理科数学
命题人：李明辉邹宁
本试卷共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1、121i
i
+=+ A ．31i 22--B ．31
i 22
-+C ．31i 22+D ．31i 22-
2、已知集合2
{||1|2},{|40}M x x N x x x =-≥=-≥，则M N =I A ．{|03}x x x ≤≥或B ．{|04}x x x ≤≥或 C ．{|13}x x x ≤-≥或D ．{|14}x x x ≤-≥或
3、函数x y 525-=
的值域是
A ．[0,)+∞
B ．[]5,0
C ．[)5,0
D ．()5,0
4、如图，在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，则AB u u u r ·BC uuu
r 的值是
A 、1
B 、－1
C 、1或－1
D 、不确定，与B 的大小，BC 的长度有关
5、设232555
322555
a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是
第4题
A ．b c a >>
B ．c b a >>
C ．b a c >
>D ．a c b >> 6、函数())(,0,)2
f x x x R π
ωϕωϕ=+∈><
的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分
别是 A 、2,3
π
-
B 、2,6
π
-
C 、4,6
π
-
D 、4,
3
π
7、x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若ax y z -=解不唯一．．．，则实数a 的值为 A 、
21或-1B 、2或2
1
C 、2或1
D 、2或-1 8、已知椭圆C ：
22
12516
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=
A 、10
B 、15
C 、20
D 、25
二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9、曲线
53x
y e x =--在点(0,5)-10、已知,2
0,1413)cos(,71cos παββ
αα<<<=-=
且则cos β11、若样本a 1,a 2,a 3的方差是a ，则样本13,13,13321+++a a a 的方差为_________.
12、已知数列{}n a 满足331log 1log ()n n a a n N *
++=∈，且2469a a a ++=，
则
3579log ()a a a ++13、若偶函数)(x f 对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，且当(]1,0∈x 时，
x x
f 2lo
g )(=，则)2
15
(
f
14、如图，过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .
若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝_______．
()()sin 24cos sin 26f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫=+--- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
设函数．
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间．
16.（本小题满分12分）
袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为，每个
球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得
红球之前已取出的白球个数为X.
（1）求袋子中白球的个数；
（2）求X 的分布列和数学期望.
()0f ()f x 1
7
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，
AD ＝CD ＝1，DB ＝2
2。

（1）证明：PA ∥平面BDE ；
（2）证明：AC ⊥PB ；
（3）求二面角E －BD －C 的余弦值；
18.（本小题满分14分）
设椭圆方程22
221x y a b
+=(0)a b >>，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于X
轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；
（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为1
2
-，是否存在动点00(,)P x y ，
若2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，有22
002x y +为定值．
19.（本小题满分14分）
已知函数2
()()f x x x a =-，2
()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；
（2）设0a >，问是否存在0(1,)3
a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 20、（本小题满分14分）
112
a =
数列的前n 项和为，已知，() .
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求数列的通项；
(Ⅲ)设,数列的前n 项和为,证明:(*n ∈N ).
翠园中学2014-2015学年第二学期期中考试
高二理科数学 参考答案
一、选择题：CDCBAADC
二、填空题：9.058=++y x ；10.2
1；11.9a ；
12．5；13．-1；14.4；
三、解答题： 15.
{}n a n S 2(1)
n n S n a n n =--n ∈*
N 23,a a {}n a +1
1n n n b S S ={}n b n T 52
n T <
16.（1）解：设袋子中有n (n ∈N *
)个白球，依题意得，
22717n C C =，…………………1分 即()
112767
2n n -=
⨯，化简得，2
60n n --=，…………………………2分
解得，3n =或2n =-（舍去）.…………………………3分 ∴袋子中有3个白球.…………………………4分
（2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球.…………………………5分
X 的可能取值为0,1,2,3，…………………………6分 ()407P X ==
，()342
1767P X ==⨯=，
()3244276535P X ==⨯⨯=
，
()32141
3765435P X ==⨯⨯⨯=.………………10分 ∴X 的分布列为：
…………………………11分 ∴
X 0 1 2 3 P 47 2
7 435 135
42413
123
7735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=
.…………………………12分
18.解：（1）因为24a =，所以，2a =--------------------------------2分
∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．
17.
∴由椭圆的对称性知，椭圆过点(,1)c ，即221
14c b +=--------------------4分
224c b =-，解得22b =
椭圆方程为
22
142
x y +=------------------------------------------------------------7分 （2）存在这样的点00(,)P x y .
设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则12121
2
OM ON y y k k x x =
=-，化简为121220x x y y +=---------------------9分 ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴22
11142
x y +=，
2222142x y += 由2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r 得012
1222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩-----------------------------------------11分
所以2
212212020)2(2)2(2y y x x y x +++=+
2222
11221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++444020=+⨯+=
即存在这样的点00(,)P x y -----------------------------------------------------14分 19.
解
：
（
1
）
2322()()2f x x x a x ax a x
=-=-+，则
22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，
令()0f x '=，得x a =或
3a ，而()g x 在1
2
a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-，或1323
a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-． （6分）
（2）假设存在，即存在(1,)3
a
x ∈-，使得
22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+
2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，(8分)
当(1,)3
a x ∈-时，又0a >，故0x a -<， 则存在(1,)3
a x ∈-，使得2
(1)10x a x +-+<，
（10分）
1o 当123a a ->即3a >时，2
(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得332a a ><-或，3a ∴>；
（12分）
2o
当1123
a a
--≤≤即03a <≤时，
24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解； 综上：3a >．
（14分）
20．【解析】(Ⅰ)当2n =时,
2242
S a =-,解得
25
6a =
；…………………1分
当3n =时,
3396
S a =-,解得
311
12a =
；………………………2分
(Ⅱ)方法一：当2n ≥时，
()21(1)
n n n S n S S n n -=---，整理得
()2
2
11(1)
n n n
S n S n n --=+-，即
()111
1
n n n S nS n n -+-=-…………………………5分
所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬
⎩
⎭是首项为1,公差为1的等差数列.……………………………6分 所以
()1n
n S n
n
+=，即
2
1n n S n =+………………………7分 代入
2(1)
n n S n a n n =--中可得
()
1
11n a n n =-
+.
当n=1时，,,2
1
上式成立=n a 故：
()
111n a n n =-
+，………………8分
方法二：由(Ⅰ)知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,……………………4分
下面用数学归纳法证明:
①当1n =时，
()
11
12111n a =
=-⨯+，猜想成立；………………5分
②假设
()
*n k k =∈N ,猜想也成立,即
()
1
11k a k k =-
+,则
n ∈*
N
当1n k =+时,有()()()
2
2111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+-
整理得
()122k k k a ka ++=+，从而
()()1112212211k k k a ka k k k k k +⎛⎫+=+=-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭，于是
()()11112k a k k +=-++
即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有
()
1
11n a n n =-
+.…………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)得
21n n S n =+,()22
1n n b n n +=+,…………………9分 当2k ≥时，
()2221121
121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫=
=⋅≤⋅==- ⎪
+++++⎝⎭
……11分
当1=n 时,
135
22T =
<
成立；………………………12分
当2n ≥时,所以
31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<
+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦L 综上所述,命题得证.………………………………………………………14分。